Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Сочетания и их свойства

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Сочетания и их свойства

План урока

  • Сочетания из m элементов по n элементов;
  • Свойства сочетаний;
  • Применение формулы числа сочетаний при решении задач.

Цели урока

  • Знать, что такое сочетания из m элементов по n элементов;
  • Знать вывод формулы для числа сочетаний из m элементов по n элементов;
  • Знать свойства сочетаний;
  • Уметь применять формулу для числа сочетаний из m элементов по nэлементов при решении задач.

Разминка

  1. Формула перестановки из n элементов.
  2. Формула числа размещений из m элементов по n элементов.
  3. Вычислить A106-A105A105-A104.
  4. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из горизонтальных полос, если есть материал пяти разных цветов?

В комбинаторике термином «соединения» называют три вида комбинаций, которые составляются из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному    и    тому    же    множеству.    Мы    уже   познакомились   с   двумя    видами соединений — перестановками и размещениями. В них важен порядок размещения элементов. Если же порядок не важен, то мы будем говорить о сочетаниях.


Сочетаниями из m элементов по n элементов в каждом nm называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

 

Обозначается число всевозможных сочетаний из m элементов по n элементов Cmn и читают «цэ из эм по эн».


Выведем формулу для вычисления числа всевозможных сочетаний из mэлементов по n элементов, т. е. для Cmnnm.

 

Пусть есть m различных элементов. Из них образуем соединения из n элементов без учета порядка их расположения. Из каждого такого соединения с помощью перестановки его элементов можно получить Pn=n! соединений, которые отличаются друг от друга только порядком расположения элементов. Таким образом получим все размещения из m элементов по n элементов, число которых равно Amn. Таких соединений по правилу произведения будет Cmn×Pn, т. е. Cmn×Pn=Amn, откуда Cmn=AmnPn. Зная, что Amn=m!(m-n)!Pn=n!, получим Cmn=m!n!(m-n)!.


Сочетания из m элементов по n элементов (nm) вычисляют по формулам

 

Cmn=m!n!(m-n)!                     (1)

 

Cmn=AmnPn                  (2)

 


           

Свойства сочетаний

 

1. Cmn=Cmm-n

 

Доказательство.

 

Применим формулу (1) к левой и правой частям выражения

 

Cmn=m!n!(m-n)!,

 

Cmm-n=m!(m-m+n)!(m-n)!=m!n!(m-n)!.

 

Таким образом Cmn=Cmm-n, что и требовалось доказать.

 

2.  Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1  (рекуррентное свойство).

 

Доказательство.

 

К левой части равенства применим формулу (2):

 

Cmn+Cmn+1=AmnPn+Amn+1Pn+1=m(m-1)...(m-(n-1))n!+m(m-1)...(m-(n-1))(m-n)(n+1)!= 

 

=m(m-1)...(m-(n-1))(n+1)+m(m-1)...(m-(n-1))(m-n)(n+1)!=

 

=m(m-1)...(m-(n-1))(n+1+m-n)(n+1)!=(m+1)m(m-1)...(m-(n-1))(n+1)!=Am+1n+1Pn+1=Cm+1n+1 .


Пример 1

Вычислить С1614+С1615.


Решение

 

Применим свойство 2, получим С1614+С1615=С1715, что по формуле (1) будет равно

 

 17!15!×2!=16×171×2=8×17=136.

 

Ответ: 136.


Пример 2

В классе учатся 15 мальчиков и 8 девочек. Для дежурства по школе нужно выделить четверых мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?


Решение

 

Выбрать четыре мальчика из 15 можно C154 способами, трех девочек из 8 — C83 способами. Так как при каждом выборе мальчиков можно C83 способами выбрать девочек, то выбрать четверых мальчиков и трех девочек можно C154×C83 способами.

 

C154×C83=15!4!×11!×8!3!×5!=12×13×14×15×6×7×81×2×3×4×1×2×3=76 440.

 

Ответ: 76 440 способов.


Пример 3

Из колоды, содержащей 36 карт, выбирают 2 карты червовой масти и 3 карты пиковой масти. Сколькими способами можно это сделать?


Решение

 

В колоде из 36 карт будет по 9 карт разных мастей. Поэтому выбрать 2 карты червовой  масти из 9 можно С92  способами, а 3 карты  пиковой  масти  из  9  можно C93 способами. Тогда сделать необходимый выбор можно C92×C93 способами.

 

C92×C93=9!×9!2!×7!×3!×6!=3 024.

 

Ответ: 3 024 способа.


Упражнение

1. В магазине есть шоколадки 6 видов по одной цене. У Маши денег хватит только на 4 шоколадки. Сколькими способами Маша может купить 4 шоколадки разных видов?

2. В вазе лежат 15 конфет, 9 из которых шоколадные, а остальные карамель. Сколькими способами можно выбрать 5 шоколадных и 2 карамельных конфеты?

3. В классе 30 человек, из них 4 отличника. Сколькими способами можно разбить класс на два класса по 15 человек, чтобы количество отличников в каждом из них было одинаковым?

4. В фирме работает директор и 10 сотрудников. Надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) директор фирмы должен ехать в командировку;

б) директор фирмы должен остаться?


Контрольные вопросы 

 

1. Какое число больше A83 или C84?

2. Сформулируйте определение числа сочетаний из m элементов по n элементов.

3. Запишите формулу для вычисления числа сочетаний из m элементов по n элементов. 


Ответы

Упражнение 

 

1. 15.

2. 1 890.

3.C42×C2613.

4. а) 210.            б) 252.


Предыдущий урок
Перестановки
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Следующий урок
Область определения и множество значений тригонометрических функций
Тригонометрия
  • Строение Вселенной. Основные методы исследования в астрономии. Определение расстояний до небесных тел

    Физика

  • Объём наклонной призмы

    Геометрия

  • Движения

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке