Конспект урока: Сложение вероятностей

Сложение вероятностей

Вы уже знаете, что суммой событий $A$ и $B$ называют событие C, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из двух событий $A$ или $B$. Слова «хотя бы одно из двух» означают, что может наступить: только событие $A$, только событие $B$, а также оба эти события.

Для примера рассмотрим эксперимент с игральным кубиком.

Найдём сумму событий $A$ и B, где $A$ – выпадет простое число, $B$ – выпадет нечётное число. Каждое событие представим в виде множества благоприятных исходов и найдём соответствующую сумму.

$A=\left\{2;3;5\right\}$, $B=\left\{1;3;5\right\}$. Тогда $A+B=\left\{1;2;3;5\right\}$. Заметим, что в данном примере события A и B совместны, т.е. могут наступить одновременно в результате одного испытания.

Найдём теперь сумму событий $A$ и $B$ при условии, что $A$ – выпадет тройка, $B$ – выпадет пятёрка. $A=\left\{3\right\}$, $B=\left\{5\right\}$. Тогда $A+B=\left\{3;5\right\}$. События $A$ и $B$ в данном случае несовместны, т.е. не могут наступить одновременно в результате одного испытания.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. $P\left(A+B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Доказательство

Пусть при некотором испытании, имеющем n равновозможных исходов, событию A благоприятствуют m₁ исходов, а событию $B–m_2$ исходов.

Если события $A$ и $B$ несовместны, то среди $n$ равновозможных исходов нет таких, которые бы благоприятствовали и событию $A$ и событию $B$. Значит, событию $A+B$ благоприятствуют m₁+m₂ исходов. Таким образом, 

$P\left(A+B\right)=\frac{m_1+m_2}{n}=\frac{m_1}{n}+\frac{m_2}{n}=P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Теорема доказана.

Из данной теоремы следует, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. $P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1$. Действительно, события $A$ и $\overline{A}$ несовместны. Следовательно, по теореме 1 $P\left(A+\overline{A}\right)=P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)$. При этом $A+\overline{A}=U$ - достоверное событие. Поэтому, $P\left(A+\overline{A}\right)=1\Rightarrow P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1$.

Рассмотренную теорему можно обобщить на любое число событий:

если $A_1, A_2, A_3, \dots , A_n$ - попарно несовместные события, то 

$P\left(A_1+A_2+A_3+\cdots +A_n\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+P\left(A_3\right)+\cdots +P\left(A_n\right)$.

Также можно обобщить и следствие из рассмотренной теоремы:

если $A_1, A_2, A_3, \dots , A_n$ представляют собой все элементарные события некоторого испытания, то 

$P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+P\left(A_3\right)+\cdots +P\left(A_n\right)=1$.

Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало очков, не меньшее, чем 3?

Решение:

Данную задачу можно решить, просто применив классическое определение вероятности. Выпадению не менее трёх очков благоприятствуют четыре элементарных равновозможных исхода {3; 4; 5; 6} из шести всех возможных исходов. Значит $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Рассмотрим решение этой задачи с помощью теоремы о сложении вероятностей несовместных событий.

Обозначим:

$A$ – выпадет число 3; $B$ - выпадет число 4; $C$ – выпадет число 5; $D$ – выпадет число 6.

Вероятность каждого из этих событий равна $\frac{1}{6}$

$P\left(A+B+C+D\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)+P\left(D\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Рассмотрим два несовместных события:

$A$ – школьнику достался вопрос на тему «Внешние углы»;

$B$ – школьнику достался вопрос на тему «Вписанная окружность».

Вероятность того, что произойдет или событие $A$, или событие $B$, равна сумме вероятностей этих событий:

$P\left(A+B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)=0,1+0,35=0,45$.

Ответ: 0,45.

Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадёт в мишень, равна 0,87. Какова вероятность того, что, выстрелив по мишени один раз, этот стрелок промахнётся?

Решение

Пусть событие A – попадание в цель при одном выстреле.

По условию $P\left(A\right)=0,87$. 

Противоположное событию $A$ событие $\overline{A}$ – промах.

$P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,87=0,13$.

Ответ: 0,13.

В магазине канцтоваров продается 120 ручек, из них 15 – красных, 22 – зеленых, 
27 – фиолетовых, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит синюю или зеленую ручку.

Решение

Рассмотрим два несовместных события:

$A$ – Алиса вытаскивает синюю ручку;

$B$ – Алиса вытаскивает зеленую ручку.

Найдём количество синих ручек $\frac{120-\left(15+22+27\right)}{2}=28$.

$P\left(A+B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)=\frac{28}{120}+\frac{22}{120}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взятых трех телевизоров будет хотя бы один неисправный.

Решение

Обозначим событие $A$ – среди взятых телевизоров нет ни одного неисправного.

Тогда $\overline{A}$ – есть хотя бы один неисправный. 

Найдём вероятность события $A$.

$P\left(A\right)=\frac{C_8^3}{C_{10}^3}=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}$.

Ответ: $\frac{8}{15}$.

Решение

8 карт из 36 можно выбрать $C_{36}^8$ способами, это число всех возможных исходов.

Обозначим за $A$ событие «среди выбранных будет хотя бы одна карта трефовой масти», тогда противоположное ему событие $\overline{A}$ это «среди выбранных карт не будет ни одной карты трефовой масти». Таких карт в колоде 27 штук. Тогда вероятность события $\overline{A}$ равна 

$P$ ($\overline{A}$) $=\frac{C_{27}^8}{C_{36}^8}=\frac{27! ·8! ·28!}{8! ·19! ·36!}=\frac{20 ·21 ·22 ·23 ·24 ·25 ·26 ·27}{29 ·30 ·31 ·32 ·33 ·34 ·35 ·36}$$=\frac{4485}{61132}.$

Тогда

 $P$ ($\overline{A}$) = $1-$ $P$ ($\overline{A}$) $=1 - \frac{4485}{61132}=\frac{56647}{61132}\approx 0,93.$

Ответ: $0,93.$

1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что, не глядя, будет взят цветной (не белый) мячик.
2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.
3. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов — выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов — выигрыши по 20 рублей, на 100 билетов — выигрыши по 5 рублей, остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.