Размещения | Алгебра 11 класс

Размещения

План урока

Размещения из $m$ элементов по $n$ элементов;
Применение формулы числа размещений при решении задач.

Цели урока

Знать, что такое размещения из $m$ элементов по $n$ элементов;
Знать вывод формулы для числа размещений из $m$ элементов по $n$ элементов;
Знать формулы для числа размещений из $m$ элементов по $n$ элементов в случаях, когда $m = n$ и когда $m \neq n$ ;
Уметь применять формулу для числа размещений из $m$ элементов по $n$ элементов при решении задач.

Разминка

Вычислить $\frac{20!}{16! \times 4!}$ .
Решить уравнение $(2 n - 3)! = 23 (2 n - 4)!$ , если $n \in N$ .
Из четырех цифр $1$ , $3$ , $5$ , $9$ составили всевозможные варианты трехзначных чисел. Сколько существует таких вариантов? Сколько при этом получится чисел, кратных пяти?
Формула перестановки из $n$ элементов.

Пусть перед нами стоит задача: сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр $2$ , $4$ , $6$ , $8$ при условии, что одинаковых цифр в записи числа не будет?

Решим эту задачу двумя способами. Первый из них — метод перебора, возможны варианты: $24$ , $26$ , $28$ , $46$ , $48$ , $42$ , $68$ , $86$ , $84$ , $64$ , $82$ , $62$ , всего их 12. Второй способ — по правилу произведения: на первом месте может стоять любая из четырех цифр, на втором месте, при условии, что цифры не повторяются, — любая из трех оставшихся, поэтому всего вариантов $4 \times 3 = 12$ .

При решении этой задачи из данных четырех цифр были образованы всевозможные соединения по два элемента в каждом, любые два соединения отличались либо составом элементов ( $24$ и $26$ ), либо их порядком ( $26$ и $62$ ). Такие соединения называются размещениями.

Размещениями из $m$ элементов по $n$ элементов $(n \leq m)$ называются такие соединения, каждое из которых содержит $n$ элементов, взятых из данных $m$ различных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Обозначается число всевозможных размещений из $m$ элементов по $n$ элементов $A_{m}^{n}$ и читают «А из эм по эн».

Выведем формулу для вычисления числа всевозможных размещений из $m$ элементов по $n$ элементов, т. е. для $A_{m}^{n}$ .

Пусть есть $m$ различных элементов.

Число размещений из одного элемента, выбранного из $m$ элементов, равно $m$ ,
т. е. $A_{m}^{1} = m$ .

Составим размещения из $m$ элементов по 2, для этого к каждому уже имеющемуся размещению из $m$ элементов по 1 добавим по одному из оставшихся $(m - 1)$ элементов. Тогда количество таких соединений будет

$A_{m}^{1} \times (m - 1)$ , т.е.

$A_{m}^{2} = m (m - 1)$ .

Составим теперь размещения из $m$ элементов по 3, для этого к каждому уже имеющемуся размещению из $m$ элементов по 2 добавим по одному из оставшихся $(m - 2)$ элементов. Тогда количество таких соединений будет

$A_{m}^{2} \times (m - 2)$ , т. е

$A_{m}^{3} = m (m - 1) (m - 2)$ .

Продолжая таким образом дальше (применяя правило произведения), для любого $n \leq m$ получим

$A_{m}^{n} = m (m - 1) \times (m - 2) \times . . . \times (m - (n - 1))$ . (1)

Правая часть формулы (1) содержит произведение $n$ последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно $m$ .

Перепишем формулу (1) в виде

$A_{m}^{n} = (m - n + 1) (m - n + 2) \times . . . \times (m - 1) m$ .

Умножим обе части равенства на $(m - n)! = 1 \times 2 \times 3 \times . . . \times (m - n)$ и упростим выражение:

$(m - n)! \times A_{m}^{n} = 1 \times 2 \times 3 \times . . . \times (m - n) (m - n + 1) (m - n + 2) \times . . . \times (m - 1) m$

$(m - n)! \times A_{m}^{n} = m!$ , тогда $A_{m}^{n} = \frac{m!}{(m - n)!}$ .

Пусть в (1) $m = n$ , тогда $A_{n}^{n} = n (n - 1) \times (n - 2) \times . . . \times 2 \times 1 = P_{n}$ , т. е. число размещений из $n$ элементов по $n$ элементов равно количеству перестановок из $n$ элементов.

Размещения из $m$ элементов по $n$ элементов $(n \leq m)$ вычисляют по формулам

$A_{m}^{n} = \frac{m!}{(m - n)!}$ (2)

$A_{n}^{n} = P_{n}$ (3)

Пример 1

Вычислить $\frac{A_{15}^{8} + A_{15}^{7}}{A_{15}^{6}}$ .

Решение

Применим формулу (2): $\frac{\frac{15!}{7!} + \frac{15!}{8!}}{\frac{15!}{6!}} = \frac{6!}{7!} + \frac{6!}{8!} = \frac{1}{7} + \frac{1}{56} = \frac{9}{56}$ .

Ответ: $\frac{9}{56}$ .

Пример 2

Сколько существует способов обозначения вершин четырехугольной пирамиды с помощью букв A, B, C, D, E, F.

Решение

Даны 6 букв. В четырехугольной пирамиде должны быть обозначены 4 вершины четырехугольника, лежащего в основании пирамиды и 1 вершина пирамиды. Порядок имеет значение. Тогда задача свелась к нахождению числа размещений из 6 элементов по 5, т. е. $A_{6}^{5} = \frac{6!}{1!} = 720$ .

Ответ: $720$ способов.

Пример 3

На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете $4 \times 100$ м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Решение

Задача сводится к подсчету упорядоченных четверок участников, выбираемых из 10 человек, т. е.

$A_{10}^{4} = \frac{10!}{6!} = 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 5 040$ .

Ответ: $5 040$ .

Упражнение

1. Полина купила в книжном магазине 7 книг, но потом поняла, что за один месяц сможет прочесть только 4 книги в любой последовательности. Сколькими способами она может выбрать эти 4 книги?

2. У Никиты есть 6 различных конвертов и 4 марки. Сколькими способами можно наклеить эти марки на 4 конвертах из 6 имеющихся (по одной на каждый конверт)?

Контрольные вопросы

1. Что называют размещениями из $m$ элементов по $n$ элементов?

2. Назовите формулу для вычисления числа размещений из $m$ элементов по $n$ элементов.

3. В каком случае вместо формулы для числа размещений из $m$ элементов по $n$ элементов применяют формулу для числа перестановок из $n$ элементов?

Ответы

1. $840$ .

2. $60 \times 10!$ .

3. $360$ .

Конспект урока: Размещения

Элементы комбинаторики и теории вероятностей