Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Бином Ньютона

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Бином Ньютона

План урока

  • Бином Ньютона;
  • Треугольник Паскаля;
  • Применение бинома Ньютона на практике.

Цели урока

  • Знать, что такое бином Ньютона, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля;
  • Уметь применять бином Ньютона при решении задач, строить треугольник Паскаля.

Разминка

  1. Формулы квадрата суммы и разности, куба суммы и разности.
  2. Формула для числа сочетаний из m элементов по n элементов.
  3. Свойства степени.

Большое количество выдающихся ученых внесли свой вклад в развитие комбинаторики. Одним из них был Исаак Ньютон и его бином. Часто это понятие употребляют в литературе, в повседневной жизни. Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: «Тоже мне бином Ньютона!», т.е. что вот бином Ньютона — это сложно, а у тебя что за проблемы. Так что же это за формула? В теории многочленов часто двучлены называют биномами. 

 

Пусть дан бином a+b ((a+b)0). Рассмотрим его целые неотрицательные степени:

 

(a+b)0=1,

(a+b)1=1×a+1×b,

(a+b)2=1×a2+2ab+1×b2,

(a+b)3=1×a3+3a2b+3ab2+1×b3,

(a+b)4=(a+b)3(a+b)1=1×a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1×b4,

(a+b)5=(a+b)4(a+b)1=1×a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1×b5, 

и т. д..

 

Таким образом можно доказать следующую формулу


Биномиальная формула Ньютона

 

(a+b)m=Cm0am+Cm1am-1b+Cm2am-2b2+...+Cmnam-nbn+...+

 

+Cmm-1abm-1+Cmmbm                   (1)

 

Числа Cmn называют биномиальными коэффициентами .

 

Cmn=m!n!(m-n)! .


Рис. 1. Фрагмент треугольника Паскаля Рис. 1. Фрагмент треугольника Паскаля

Для биномиальных коэффициентов Сmn на основании рекуррентного свойства числа сочетаний

 

Сmn+Сmn+1=Сm+1n+1 

 

и с учетом, что Сm0=Сmn=1 можно составить таблицу их значений, которую называют треугольником Паскаля (Рис.1). 

 

Найдем биномиальные коэффициенты при m=4: в предыдущей строке коэффициенты 1331, первую и последнюю единицы оставляем на своих местах, т. е. первым и последним коэффициентом будут единицы, и все коэффициенты последовательно складываем друг с другом, т. е. на втором месте — 1+3=4, на третьем — 3+3=6, на четвертом — 3+1=4, получили коэффициенты 14641.

 

При m=6: коэффициенты предыдущей строки 15101051, тогда получаем 

 

1;   1+5=6;   5+10=15;   10+10=20;   10+5=15;   5+1=6;   1.

 

Треугольник Паскаля наглядно иллюстрирует свойство числа сочетаний Сmn+Сmm-n. Его можно сформулировать так: числа, одинаково удаленные от концов строки треугольника Паскаля, равны.

 

Вообще, при записи разложения степени бинома, нужно следить за соблюдением следующих моментов:

 

1. В полученном многочлене членов на единицу больше показателя степени бинома, т. е. если степень бинома m, то членов m+1.

2. Показатели степени первого слагаемого последовательно убывают на единицу от m до 0, а показатели второго слагаемого последовательно возрастают на единицу от 0 до m.

3. Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения по формуле (1) равны между собой.


Пример 1

Записать разложение бинома (3x-2)5.


Решение

 

Запишем выражение (3x-2)5 в виде (3x+(-2))5 и применим формулу (1):

 

(3x+(-2))5=C50(3x)5+C51(3x)4(-2)+C52(3x)3(-2)2+C53(3x)2(-2)3+ 

 

+C54(3x)(-2)4+C55(-2)5=243x5+5×81x4(-2)+10×27x3×4+

 

+10×9x2(-8)+5×3x×16-32=243x5-810x4+1 080x3-720x2+240x-32.  

 

Ответ: 243x5-810x4+1 080x3-720x2+240x-32.


Пример 2

Возвести в степень (2-3)5.


Решение

 

Запишем выражение (2-3)5 в виде (2+(-3))5 и применим формулу (1):

 

(2+(-3))5=C50×25+С51×24(-3)+С52×23(-3)2+С53×22(-3)3+

 

+С54×2(-3)4+С55(-3)5+С55(-3)5=32-53×16+10×8×3-

 

-10×4×33+10×9-93=362-2093.  

 

Ответ: 362-2093.


Пример 3

Найти член разложения (x-12+x13)20, содержащий x5.


Решение

 

Общий член разложения двадцатой степени бинома x-12+x13 имеет вид C20n(x-12)20-n(x13)n

 

Для того, чтобы некоторый член разложения содержал x5 необходимо выполнение равенства (x-12)20-n(x13)n=x5. Упростим выражение в левой части равенства. 

 

(x-12)20-n(x13)n=x-10+56n

 

т. е. нужно решить уравнение x-10+56n=x5, откуда -10+56n=5n=18.

 

При n=18 имеем C2018=20!18!×2!=190.

 

Ответ: 190x5.


Упражнение 

1. Записать разложение бинома (2-a)6.

2. Возвести в степень (1+6)4.

3. Найти член разложения (c14+c12)14, содержащий c6.


Контрольные вопросы 

 

1. Запишите полностью треугольник Паскаля до шестой строки.

2. Чему равна сумма чисел в седьмой строке треугольника Паскаля?

3. Найдите самое большое число в восьмой строке треугольника Паскаля.


Ответы

Упражнение 

 

1. 64-192a+240a2-160a3+60a4-12a5+a6.

2. 73+286.

3. 1 001c6.


Предыдущий урок
Вероятность события
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Следующий урок
Первообразная
Интеграл
  • Россия в мировой экономике

    География

  • Размещения

    Алгебра

  • Гипотезы происхождения человека

    Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке