Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Размещения

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Размещения

План урока

  • Размещения из m элементов по n элементов;
  • Применение формулы числа размещений при решении задач.

Цели урока

  • Знать, что такое размещения из m элементов по n элементов;
  • Знать вывод формулы для числа размещений из m элементов по n элементов;
  • Знать формулы для числа размещений из m элементов по n элементов в случаях, когда m=n и когда mn;
  • Уметь применять формулу для числа размещений из m элементов по n элементов при решении задач.

Разминка

  1. Вычислить 20!16!×4!.
  2. Решить уравнение (2n-3)!=23(2n-4)!, если nN.
  3. Из четырех цифр 1359 составили всевозможные варианты трехзначных чисел. Сколько существует таких вариантов? Сколько при этом получится чисел, кратных пяти?
  4. Формула перестановки из n элементов.

Пусть перед нами стоит задача: сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 2468 при условии, что одинаковых цифр в записи числа не будет?

 

Решим эту задачу двумя способами. Первый из них — метод перебора, возможны варианты: 242628464842688684648262, всего их 12. Второй способ — по правилу произведения: на первом месте может стоять любая из четырех цифр, на втором месте, при условии, что цифры не повторяются, — любая из трех оставшихся, поэтому всего вариантов 4×3=12

 

При решении этой задачи из данных четырех цифр были образованы всевозможные соединения по два элемента в каждом, любые два соединения отличались либо составом элементов (24 и 26), либо их порядком (26 и 62). Такие соединения называются размещениями. 


Размещениями из  m  элементов по  n  элементов  (nm) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m различных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

 

Обозначается число всевозможных размещений из m элементов по n элементов Amn и читают «А из эм по эн».


Выведем формулу для вычисления числа всевозможных размещений из mэлементов по n элементов, т. е. для Amn.

 

Пусть есть m различных элементов. 

 

Число размещений из одного элемента, выбранного из m элементов, равно m
т. е. Am1=m.

 

Составим размещения из m элементов по 2, для этого к каждому уже имеющемуся размещению из m элементов по 1 добавим по одному из оставшихся (m-1)элементов. Тогда количество таких соединений будет 

 

Am1×(m-1), т.е.

 

Am2=m(m-1).

 

Составим теперь размещения из m элементов по 3, для этого к каждому уже имеющемуся размещению из m элементов по 2 добавим по одному из оставшихся (m-2) элементов. Тогда количество таких соединений будет 

 

Am2×(m-2), т. е

 

Am3=m(m-1)(m-2)

 

Продолжая таким образом дальше (применяя правило произведения), для любого nm получим 

 

                       Amn=m(m-1)×(m-2)×...×(m-(n-1)).          (1)

 

Правая часть формулы (1) содержит произведение n последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно m.

 

Перепишем формулу (1) в виде

 

Amn=(m-n+1)(m-n+2)×...×(m-1)m.

 

Умножим обе части равенства на (m-n)!=1×2×3×...×(m-n) и упростим выражение:

 

 (m-n)!×Amn=1×2×3×...×(m-n)(m-n+1)(m-n+2)×...×(m-1)m

 

(m-n)!×Amn=m!тогда Amn=m!(m-n)!.

 

Пусть в (1) m=n, тогда Ann=n(n-1)×(n-2)×...×2×1=Pn, т. е. число размещений из n элементов по n элементов равно количеству перестановок из n элементов.


Размещения из  m  элементов по  n  элементов  (nm) вычисляют по формулам

 

                                           Amn=m!(m-n)!                                      (2)

 

                                              Ann=Pn                                         (3)


Пример 1

Вычислить A158+A157A156.


Решение

 

Применим формулу (2): 15!7!+15!8!15!6!=6!7!+6!8!=17+156=956.

 

Ответ: 956.


Пример 2

Сколько существует способов обозначения вершин четырехугольной пирамиды с помощью букв A, B, C, D, E, F.


Решение

 

Даны 6 букв. В четырехугольной пирамиде должны быть обозначены 4 вершины четырехугольника, лежащего в основании пирамиды и 1 вершина пирамиды. Порядок имеет значение. Тогда задача свелась к нахождению числа размещений из 6 элементов по 5, т. е. A65=6!1!=720.

 

Ответ: 720 способов.


Пример 3

На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?


Решение

 

Задача сводится к подсчету упорядоченных четверок участников, выбираемых из 10 человек, т. е. 

 

A104=10!6!=7×8×9×10=5 040.

 

Ответ: 5 040.


Упражнение

1. Полина купила в книжном магазине 7 книг, но потом поняла, что за один месяц сможет прочесть только 4 книги в любой последовательности. Сколькими способами она может выбрать эти 4 книги?

2. У Никиты есть 6 различных конвертов и 4 марки. Сколькими способами можно наклеить эти марки на 4 конвертах из 6 имеющихся (по одной на каждый конверт)?


Контрольные вопросы

 

1. Что называют размещениями из m элементов по n элементов?

2. Назовите формулу для вычисления числа размещений из m элементов по n элементов.

3. В каком случае вместо формулы для числа размещений из mэлементов по n элементов применяют формулу для числа перестановок из n элементов? 


Ответы

1. 840.

2. 60×10!.

3. 360.


Предыдущий урок
Бином Ньютона
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Следующий урок
Вероятность события
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
  • Понятие вектора. Равенство векторов

    Геометрия

  • М.А. Булгаков. «Мастер и Маргарита». Ч.1.

    Литература

  • М. Горький. «На дне». Спор о назначении человека. «Три правды» и их трагическое столкновение

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке