Конспект урока: Независимые события. Умножение вероятностей

Независимые события. Умножение вероятностей

Рассмотрим два случайных события $A$ и $B$, связанные с одним и тем же случайным экспериментом. Предположим, что в результате эксперимента произошло  событие $A$. Можно ли в этом случае сказать что-либо о событии $B$? Изменились ли его шансы? Ответ на этот вопрос будет зависеть от того, о каких событиях идёт речь, и может быть, как положительным, так и отрицательным.

Рис. 1 Множества исходов, благоприятствующих событиям A и B, не пересекаются

Например, пусть события $A$ и $B$ несовместны, и в результате эксперимента произошло событие $A$ (рис. 1).

Что в этом случае можно сказать о событии $B$? Очевидно, что событие $B$ точно не произошло.

Рис. 2 Множества исходов, благоприятствующих событию A включено в множество исходов, благоприятствующих B

Рассмотрим другой пример.

Пусть множество исходов испытания, благоприятствующих событию $A$ является подмножеством множества исходов, благоприятствующих событию $B$ (рис.2).

Если при этом условии в результате испытания произошло событие $A$, то это означает, что в этом испытании произошло и событие $B$.

В этих двух примерах события $A$ и $B$ между собой сильно связаны, можно сказать, что они зависимы. 

А вот пример совсем другого рода.

Бросают два кубика. Рассмотрим два события:

$A$ – на первом кубике выпадет число 5;

$B$ – на втором кубике выпадет число 5.

Пусть известно, что событие $A$ произошло. Что можно сказать о событии $B$? 

Очевидно, что его шансы вообще никак не изменились. Согласно классическому определению вероятности $P\left(A\right)=\frac{1}{6}$, $P\left(B\right)=\frac{1}{6}$. Результат эксперимента с первым кубиком не может повлиять на результат эксперимента со вторым. В этом случае разумно считать события $A$ и $B$ независимыми.

Рассмотрим событие $AB$, состоящее в совместном наступлении событий $A$ и $B$ и найдём вероятность этого события. Каждому из шести возможных исходов, соответствующих бросанию первого кубика можно сопоставить по шесть возможных исходов, соответствующих бросанию второго кубика. Таким образом, общее количество возможных исходов при бросании двух кубиков равно $6·6=36$. Событию $AB$ благоприятствует только один из этих исходов – выпадение числа 5 на каждом кубике. Поэтому $P\left(AB\right)=\frac{1}{36}$.

Можно заметить выполнения равенства $P\left(AB\right)=P\left(A\right)·P\left(B\right)$.

Разбирая и другие примеры независимых событий, можно также видеть справедливость данного равенства. Именно выполнение этого равенства, которое называют формулой умножения вероятностей, говорит о том, что рассматриваемые события независимы.

События $A$ и $B$ называются независимыми, если выполняется равенство

$P\left(AB\right)=P\left(A\right)·P\left(B\right)$.

Выясните, являются ли события $A$ и $B$ независимыми, если:

1. $P\left(A\right)=\frac{2}{5}, P\left(B\right)=\frac{3}{4}, P\left(AB\right)=0,3$;
2. $P\left(A\right)=0,4, P\left(B\right)=0,8, P\left(AB\right)=0,5$.

Решение

1. $P\left(A\right)·P\left(B\right)=\frac{2}{5}·\frac{3}{4}=\frac{3}{10}=0,3=P\left(AB\right)\Rightarrow$ события $A$ и $B$ – независимые;
2. $P\left(A\right)·P\left(B\right)=0,4·0,8=0,32\ne P\left(AB\right)\Rightarrow$ события $A$ и $B$ не являются независимыми.

Первый стрелок попадает в некоторую цель с вероятностью 0,6, а второй стрелок – с вероятностью 0,7.

Какова вероятность того, что после того как стрелки одновременно выстрелили по данной цели, она станется непоражённой.

Решение:

Чтобы цель осталась непоражённой, должны совместно произойти два события:

$A$ – первый стрелок промахнулся и $B$ – второй стрелок промахнулся.

Поскольку стрелки стреляют по цели независимо друг от друга, воспользуемся формулой умножения вероятностей для независимых событий:

$P\left(AB\right)=P\left(A\right)·P\left(B\right)$.

Найдём вероятности событий $A$ и $B$.

$P\left(A\right)=1-0,6=0,4, P\left(B\right)=1-0,7=0,3$.

Теперь найдём вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$.

$P\left(AB\right)=0,4·0,3=0,12$.

Ответ: 0,12.

На одной полке стоит 12 книг, 2 из которых – сборники стихов, а на другой – 15 книг, 3 из которых – сборники стихов. Наугад берут с каждой полки по одной книге. Какова вероятность того, что обе книги окажутся сборниками стихов?

Решение:

Обозначим события:

$A$ – книга с первой полки окажется сборником стихов;

$B$ – книга со второй полки окажется сборником стихов.

Тогда $AB$ – обе книги окажутся сборниками стихов.

Так как наступление события $A$ никак не влияет на вероятность другого события, то события $A$ и $B$ независимы. Воспользуемся формулой умножения вероятностей для независимых событий.

$P\left(A\right)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}; P\left(B\right)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$.

$P\left(AB\right)=P\left(A\right)·P\left(B\right)=\frac{1}{6}·\frac{1}{5}=\frac{1}{30}$.

Ответ: $\frac{1}{30}$.

1. Выясните, являются ли события $A$ и $B$ независимыми, если:
   1. $P\left(A\right)=\frac{3}{7}, P\left(B\right)=\frac{2}{3}, P\left(AB\right)=\frac{2}{7}$;
   2. $P\left(A\right)=0,9, P\left(B\right)=0,3, P\left(AB\right)=0,8$.
2. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Первый стреляющий попадёт в мишень с вероятностью, равной 0,8, а второй стреляющий попадает в мишень с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что мишень будет поражена только вторым стрелком?
3. Если Коля играет белыми шашками, то он выигрывает у Васи с вероятностью 0,4. Если Коля играет черными шашками, то он выигрывает у Васи с вероятностью 0,3. Коля и Вася играют две партии, причем во второй партии меняют цвет шашек. Найдите вероятность того, что Вася выиграет оба раза.