Конспект урока: Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс

Затухающие колебания

В реальных колебаниях суммарная работа сил трения и внешних сил отлична от нуля. Это приводит к тому, что с течением времени механическая энергия колебательной системы изменяется по закону

$E\mathit{\left(}t\mathit{\right)}\mathit{=}{E}_{\mathit{0}}\mathit{+}{A}_{тр}\mathit{+}{A}_{вс}$    (1),

где $E_{\mathit{0}}$ — начальный запас энергии в колебательной системе;

$A_{тр}$ и $A_{вс}$ — работа соответственно сил трения и внешних сил за промежуток времени от начала колебаний до момента времени $t$.

Если суммарная работа сил трения и внешних сил отрицательна $(A_{тр}\mathit{+}{A}_{вс}<0),$ то механическая энергия колебательной системы с течением времени будет уменьшаться. В результате будет уменьшаться модуль максимального смещения при каждом последующем колебании. Такие колебания называют  затухающими . Понятно, что при затухающих колебаниях с течением времени будет уменьшаться и модуль скорости, с которой колеблющееся тело проходит положение равновесия. Чем больше по модулю силы трения и внешние силы, препятствующие движению, тем быстрее будут происходить эти уменьшения. Примерами таких колебаний являются движения грузов пружинных маятников в воздухе и в воде (рис. 1). 

Рис. 1 Графики зависимости смещения х грузов пружинных маятников 
от времени t: 
а) в воде; б) в воздухе

Вынужденные колебания

Суммарная работа сил трения и внешних сил может быть и положительной$(A_{тр}\mathit{+}{A}_{вс}>0).$ В этом случае механическая энергия колебательной системы с течением времени будет увеличиваться. В результате при каждом последующем колебании будут увеличиваться модуль максимального смещения и модуль максимальной скорости колеблющегося тела. Для реализации такой ситуации необходимо, чтобы внешние силы совершали положительную работу, т. е. воздействовали на колебательную систему в соответствующие моменты в нужных направлениях. Известный пример — качели. Раскачивая качели, толкая их в определённые моменты времени в направлении движения, совершают положительную работу. Если эта работа за период колебаний больше модуля отрицательной работы сил трения, то амплитуда колебаний будет возрастать.

Установившиеся вынужденные колебания

Если суммарная работа сил трения и внешних сил за каждый период равна нулю $(A_{тр}\mathit{+}{A}_{вс}=0),$ то механическая энергия колебательной системы не изменяется. В этом случае работа внешних сил компенсирует потери энергии колебательной системы, обусловленные трением. В результате амплитуда колебаний остаётся постоянной. Такие колебания называют  установившимися вынужденными колебаниями . Чтобы такие колебания были возможны, на колеблющееся тело должна действовать периодически изменяющаяся внешняя сила, совершающая положительную работу против сил трения. Эту силу обычно называют вынуждающей силой.

Рассмотрим пример реализации таких колебаний в конкретной системе. Обратимся к пружинному маятнику, груз которого погружён в воду. При отсутствии вынуждающей силы колебания в такой системе затухают из-за вязкого трения, тормозящего движение груза. Ситуация изменится, если груз изготовить из ферромагнитного материала, а под сосудом поместить электромагнит, который будет действовать на груз с периодически изменяющейся вынуждающей силой. Пусть проекция этой силы на координатную ось Х изменяется по гармоническому закону:

$F_x\mathit{\left(}t\mathit{\right)}\mathit{=}{F}_{\mathit{0}}\mathit{·}cos\mathit{(}\omega \mathit{·}t\mathit{+}{\phi }_{\mathit{0}}\mathit{)}$   (2).

После включения электромагнита первоначально покоившийся груз начнёт раскачиваться. Пока сумма работ вынуждающей силы и сил трения над грузом за каждое колебание будет положительной $(A_{тр}\mathit{+}{A}_{вс}>0),$ энергия системы будет увеличиваться. Соответственно, при каждом колебании будет увеличиваться и амплитуда колебаний груза, и модуль амплитуды скорости. В результате с течением времени будет увеличиваться модуль отрицательной работы сил трения за каждое колебание. Наступит момент, когда сумма работ вынуждающей силы и сил трения за период станет равной нулю $(A_{тр}\mathit{+}{A}_{вс}=0).$ После этого амплитуда колебаний перестаёт изменяться: в системе установятся вынужденные колебания. 

Рассмотрим экспериментально полученный график зависимости $x_m\left(\omega \right)$ для пружинного маятника, груз которого колеблется в воде (рис. 2). 

Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика колебательной системы (пружинного маятника с вязким трением)

Проанализируем этот график. При малых циклических частотах амплитуда колебаний стремится к конкретному значению — отношению амплитуды $F_{\mathit{0}}$ проекции вынуждающей силы к жёсткости $k$ пружины, на которой подвешен груз. Этот результат легко объяснить, если представить себе очень медленно изменяющуюся вынуждающую силу. Действительно, при достижении модулем этой силы значения $F_{\mathit{0}}$ деформация пружины по сравнению с положением равновесия, согласно закону Гука, изменится ровно на $\frac{F_{\mathit{0}}}{k}$. Это значение и будет равно амплитуде установившихся колебаний при очень малой частоте $\omega$ вынуждающей силы. При увеличении циклической частоты $\omega$ вынуждающей силы амплитуда $x_m$ установившихся вынужденных колебаний увеличивается и достигает максимума при некоторой частоте ${\omega }_p$. При дальнейшем увеличении циклической частоты амплитуда колебаний уменьшается и стремится к нулю при стремлении $\omega$ к большим значениям.

Последний результат легко объяснить с динамической точки зрения. Действительно, при большой частоте вынуждающей силы груз из-за своей инертности не успевает существенно сместиться за тот очень малый промежуток времени, в течение которого вынуждающая сила действует на него только в одном направлении. После этого промежутка времени сила тянет груз уже в противоположную сторону, в результате груз как бы «дрожит на месте» и амплитуда его колебаний весьма незначительна.

Резонанс

Особый интерес (в том числе практический) представляет наибольшее значение амплитуды на графике АЧХ.

Вид АЧХ колебательной системы зависит от трения в этой системе (рис. 3). Чем меньше трение в системе, тем сильнее проявляется возрастание амплитуды установившихся вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к резонансной частоте. Говорят, при малом трении резонанс «острый», а при большом — «тупой».

При уменьшении вязкого трения в колебательной системе резонансная частота увеличивается и стремится к значению циклической частоты, которую колебательная система имела бы при отсутствии внешних сил и сил трения. Например, в случае пружинного маятника при стремлении вязкого трения к нулю циклическая частота ${\omega }_p$ стремится к значению $\sqrt{\frac{k}{m}}$, где $k$ — жёсткость пружины, 
$m$ — масса груза.

Рис. 3. Зависимость АЧХ колебательной системы от трения: F_тр1<F_тр2<F_тр3

Обратим особое внимание на то, что при малом трении в колебательной системе, даже при небольшой амплитуде $F_{\mathit{0}}$ вынуждающей силы, амплитуда $x_m\left({\omega }_p\right)$ установившихся колебаний может быть очень большой. Для этого необходимо, чтобы после начала действия вынуждающей силы сумма её работы и работы сил трения была хотя бы немного больше нуля $(A_{тр}\mathit{+}{A}_{вс}>0).$ Тогда энергия системы за каждое колебание будет возрастать на малую положительную величину. В результате увеличения энергии будет увеличиваться и амплитуда колебаний. Это будет происходить до тех пор, пока увеличивающаяся по модулю с ростом амплитуды отрицательная работа сил трения не начнёт компенсировать положительную работу вынуждающей силы за каждый период. Если трение в системе мало, то к моменту установления колебаний их амплитуда может возрасти до очень больших значений. Правда, для этого потребуется значительный промежуток времени. Теоретически в случае, когда трение в системе стремится к нулю, система под действием вынуждающей силы может «раскачаться» до бесконечно большой амплитуды. Однако в реальности при больших амплитудах силы упругости, обусловленные большими деформациями, уже не описываются законом Гука, а отклонения грузов маятников нельзя считать малыми. Поэтому такие колебания перестают быть гармоническими. Кроме того, большие деформации могут привести к разрушению колебательной системы.

Резонанс можно объяснить с энергетической точки зрения. Поскольку резонансная частота близка к собственной частоте системы, то при резонансе направление вынуждающей силы в течение большей части периода совпадает с направлением скорости тела, в результате вынуждающая сила в течение большей части периода совершает положительную работу. Если же собственная частота колебательной системы и частота вынуждающей силы существенно различаются, то вынуждающая сила совершает положительную работу лишь в течение части периода, в другой его части она совершает отрицательную работу (вместе с силой трения препятствует движению колеблющегося тела). Именно по этой причине энергия колебательной системы, а следовательно, и амплитуда установившихся вынужденных колебаний, будут тем меньше, чем больше циклическая частота вынуждающей силы будет отличаться от резонансной частоты.