Преобразование энергии при механических колебаниях. Математический маятник

План урока

Преобразование энергии при механических колебаниях пружинного маятника
Определения физического и математического маятников
Закон движения математического маятника
Пример решения задачи на расчёт периода колебаний энергетическим способом

Цели урока

уметь объяснять преобразование энергии при механических колебаниях
знать, в чём особенность физического и математического маятников
уметь находить период колебаний энергетическим способом

Разминка

Как можно определить положение колебательной системы в любой момент времени?
Вспомните алгоритм применения динамического способа для получения закона движения тела, совершающего гармонические колебания.
Можно ли объяснить закон движения колебательной системы, применяя законы изменения и сохранения механической энергии?
Когда колеблющийся шарик на пружине будет обладать: а) кинетической;
б) потенциальной энергией?

Преобразование энергии при механических колебаниях пружинного маятника

Рассмотрим пружинный маятник, состоящий из насаженного на гладкий горизонтальный стержень маленького груза массой $m$ , который прикреплён к лёгкой пружине жёсткостью $k$ . Сумма работ сил трения и внешних сил равна нулю. Тогда из закона сохранения механической энергии механическая энергия колебательной системы с течением времени не изменяется:

$E = c o n s t$ (1).

Рис. 1. Колебание груза на пружине

В начальный момент времени $t_{0}$ смещение груза от положения равновесия максимально и равно $x_{m}$ . В этот момент кинетическая энергия груза равна нулю. Следовательно, механическая энергия системы равна потенциальной энергии максимально деформированной пружины: $E = E_{p} = \frac{k \cdot x_{m}^{2}}{2} .$

В произвольный момент времени $t$ , когда смещение груза равно $x$ , а модуль его скорости равен $v$ , механическая энергия колебательной системы может быть записана в виде суммы потенциальной энергии пружины и кинетической энергии шарика:

$E = E_{p} + E_{k} = \frac{k \cdot x^{2}}{2} + \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ (2).

Из выражений (1) и (2) следует, что если уменьшается потенциальная энергия, то кинетическая увеличивается и наоборот. В момент прохождения грузом положения равновесия (когда $х = 0$ ) пружина не деформирована, т. е. потенциальная энергия системы минимальна (равна нулю). При этом кинетическая энергия максимальна и равна механической энергии системы:

$E = E_{p} + E_{k} = 0 + \frac{m \cdot {v_{m}}^{2}}{2} = \frac{m \cdot {v_{m}}^{2}}{2}$ (3),

где $v_{m}$ — модуль максимальной скорости груза (модуль скорости при прохождении грузом положения равновесия).

Механическая энергия совершающего гармонические колебания пружинного маятника не изменяется с течением времени и может быть рассчитана по формуле

$E = E_{p} + E_{k} = \frac{k \cdot x_{}^{2}}{2} + \frac{m \cdot v^{2}}{2} = \frac{k \cdot x_{m}^{2}}{2} = \frac{m \cdot v_{m}^{2}}{2}$ (4).

Способ определения зависимости координат от времени, опирающийся на закон сохранения механической энергии, называют
энергетическим .

Определения физического и математического маятников

До этого мы подробно рассмотрели пружинный маятник, используя динамический метод описания движения тела, закреплённого на пружине. Перейдём к описанию физического маятника, представляющего собой твёрдое тело, способное совершать колебания относительно оси, не проходящей через центр тяжести тела. Например, если один конец линейки зажать рукой, а другой оттянуть, то линейка начнёт совершать колебания.

Физическим маятником называют подвешенное на нити или закреплённое на оси тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести.

Если масса нити много меньше массы подвешенного на ней тела, размеры этого тела много меньше длины нити, а изменения этой длины в процессе движения пренебрежимо малы, то такую систему можно считать математическим маятником. Маятник настенных часов приближённо можно считать математическим маятником.

Математическим маятником называют материальную точку, совершающую колебания на невесомой нерастяжимой нити, другой конец которой закреплён.

Закон движения математического маятника

Рассмотрим математический маятник. Пусть длина нити маятника равна $l$ , а масса подвешенного на ней маленького шарика равна $m$ . Отклоним шарик от положения равновесия на угол $α_{m}$ и отпустим его (рис. 1), в результате начнутся колебания.

Рис. 2. Модель математического маятника

Будем считать рассматриваемую колебательную систему математическим маятником.

Шарик в процессе колебаний всё время движется по дуге окружности. Радиус этой окружности равен длине нити, а центр совпадает с точкой $О$ , в которой закреплена нить. Положение шарика в пространстве будем описывать с помощью измеряемого в радианах угла $α$ между радиус-вектором $\vec{r}$ , направленным от точки $О$ к шарику, и осью $Х$ , направленной от точки $О$ вертикально вниз. В этом случае закон движения шарика представляет собой зависимость $α (t)$ .

Будем считать, что в положении равновесия потенциальная энергия колебательной системы — потенциальная энергия взаимодействия шарика с Землёй — равна нулю. Рассмотрим произвольный момент времени, когда шарик отклонён от положения равновесия на угол $α$ , а его скорость равна $\vec{v}$ . Потенциальная энергия системы в этот момент времени равна

$E_{p} = m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot (l - l \cdot c o s α) = m \cdot g \cdot l \cdot (1 - c o s α)$ (5).

Угловая скорость движения шарика по дуге окружности равна производной угла α по времени. Поэтому модуль скорости шарика равен произведению радиуса окружности на модуль этой производной в рассматриваемый момент времени: $v = l \cdot | \overset{\cdot}{α} | .$ Следовательно, кинетическая энергия движения шарика $E_{k} = \frac{m \cdot l^{2} \cdot {\dot{α}}^{2}}{2} .$ Если сумма работ сил трения и внешних сил равна нулю, то механическая энергия колебательной системы не изменяется с течением времени:

$E = E_{p} + E_{k} = m \cdot g \cdot l \cdot (1 - c o s α) + \frac{m \cdot l^{2} \cdot {\dot{α}}^{2}}{2} = c o n s t$ (6).

Вычислим производные по времени от левой и правой части выражения (6):

$m \cdot g \cdot l \cdot (s i n α) \cdot \overset{\cdot}{α} + \frac{m \cdot l^{2}}{2} \cdot 2 \overset{\cdot}{α} \cdot \overset{\cdot \cdot}{α} = 0$ (7).

Разделим уравнение (7) на $m$ , $l$ и $\overset{\cdot}{α}$ , получим:

$\overset{\cdot \cdot}{α} + \frac{g}{l} \cdot s i n α = 0$ (8).

Если амплитуда колебаний математического маятника достаточно мала, то $s i n α$ можно считать равным $α$ . В этом случае уравнение (8) принимает вид

$\overset{\cdot \cdot}{α} + \frac{g}{l} \cdot α = 0$ (9).

Полученное уравнение представляет собой уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения позволяет записать закон движения математического маятника.

Закон движения математического маятника имеет вид

$α (t) = a_{m} \cdot c o s (\sqrt{\frac{g}{l} \cdot t} + φ_{0}) = a_{m} \cdot c o s (ω \cdot t + φ_{0})$ (10),

где $a_{m}$ — амплитуда колебаний ( $a_{m} \leq 0, 1$ );

$ω = \sqrt{\frac{g}{l}}$ — циклическая частота;

$φ_{0}$ — начальная фаза.

Из уравнения (10) следует, что период колебаний математического маятника равен

$T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ (11).

Пример решения задачи на расчёт периода колебаний энергетическим способом

Пример 1

В вертикально расположенной закреплённой $U$ -образной трубке с площадью поперечного сечения $S$ налита жидкость массой $М$ и плотностью $ρ$ . Пренебрегая трением, определите период малых колебаний этой жидкости после вывода её из положения равновесия.

Решение

Будем считать жидкость несжимаемой. Свяжем систему отсчёта с трубкой. Координатную ось $Х$ направим вертикально вверх. Начало отсчёта $О$ на этой оси поместим в точку, соответствующую уровню жидкости в положении равновесия.

Рассмотрим произвольный момент времени, когда уровень жидкости в левом колене трубки смещён вверх от положения равновесия на $х$ . В этот момент потенциальная энергия системы равна изменению потенциальной энергии при перемещении объёма жидкости на высоту
$х$ .

$E_{p} = m \cdot g \cdot h = ρ \cdot V \cdot g \cdot x = ρ \cdot S \cdot g \cdot x^{2}$

При сделанных допущениях модули скоростей всех частей жидкости в любой момент времени равны друг другу и равны модулю скорости движения уровня жидкости, т. е. $v = |\overset{\cdot}{x}| .$ Следовательно, в рассматриваемый момент времени кинетическая энергия жидкости, равная сумме кинетических энергий всех её частей, может быть рассчитана по формуле $E_{k} = \frac{M \cdot v^{2}}{2} = \frac{M \cdot \overset{\cdot}{x} {}^{2}}{2} .$

Согласно закону сохранения энергии, имеем

$E = E_{p} + E_{k} = ρ \cdot S \cdot g \cdot x^{2} + \frac{M \cdot \overset{\cdot}{x} {}^{2}}{2} = c o n s t$ (12).

Вычисляя производные по времени от левой и правой части уравнения (12), получаем

$ρ \cdot S \cdot g \cdot 2 x \cdot \overset{\cdot}{x} + \frac{M}{2} \cdot 2 \overset{\cdot}{x} \cdot \overset{\cdot \cdot}{x} = 0 .$ После сокращения получаем

$\overset{\cdot \cdot}{x} + \frac{2 \cdot ρ \cdot S \cdot g}{M} \cdot x = 0$ (13).

Из последнего уравнения следует, что координата $х$ уровня жидкости в левом колене трубки изменяется по гармоническому закону $x (t) = A \cdot c o s (ω \cdot t + φ_{0}),$

где циклическая частота $ω = \sqrt{\frac{2 \cdot ρ \cdot S \cdot g}{M}} .$ Следовательно, период колебаний равен

$T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \cdot \sqrt{\frac{M}{2 \cdot ρ \cdot S \cdot g}} .$

Ответ: $T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \cdot \sqrt{\frac{M}{2 \cdot ρ \cdot S \cdot g}} .$

Упражнение 1

1. Период колебаний математического маятника 0,25 с. Определите длину его нити. Модуль ускорения свободного падения считать равным 10 м/с² .

2. Определите число колебаний математического маятника с длиной нити 1 м за 10 минут.

Контрольные вопросы

1. Изменяется ли механическая энергия колебательной системы при свободных гармонических колебаниях?

2. Опишите, как изменяются с течением времени потенциальная и кинетическая энергии при гармонических колебаниях: а) пружинного маятника; б) математического маятника.

3. Как зависит период колебаний математического маятника от длины нити, массы груза, ускорения свободного падения?

Ответы

Упражнение 1

2. 1,58 см

3. 302

Конспект урока: Преобразование энергии при механических колебаниях. Математический маятник

Механические колебания и волны

Преобразование энергии при механических колебаниях пружинного маятника

Определения физического и математического маятников

Закон движения математического маятника

Пример решения задачи на расчёт периода колебаний энергетическим способом