Динамика колебательного движения

План урока

Вывод закона движения колебательной системы на примере пружинного маятника
Решение уравнения движения колебательной системы
Пример решения задачи о механических колебаниях динамическим способом

Цели урока

уметь объяснять причины колебательного движения
знать динамический способ вывода закона движения колебательной системы
уметь решать задачи о механических колебаниях динамическим способом

Разминка

Какие колебания называют гармоническими?
Какие физические величины характеризуют гармонические колебания?
Как связаны амплитуды скорости и ускорения при гармонических колебаниях?
Что может являться причиной возникновения колебаний?

Вывод закона движения колебательной системы на примере пружинного маятника

Для определения закона движения тела, иными словами, зависимости координат движущегося тела от времени, существуют два способа. В первом, динамическом, используют законы динамики. Во втором, энергетическом, применяют законы изменения или сохранения механической энергии. В этом параграфе мы рассмотрим динамический способ.

Возьмём пружинный маятник, состоящий из насаженного на гладкий горизонтальный стержень маленького шарика массой $m$ , который прикреплён к лёгкой пружине жёсткостью $k$ (рис. 1). После выведения маятника из положения равновесия в системе начнутся колебания шарика под действием силы упругости пружины.

Рис. 1. Колебания шарика на пружине

Для получения закона движения шарика воспользуемся стандартной схемой решения задач по динамике.

1. Выбор модели

Шарик примем за материальную точку, а действующие на него силы трения настолько малы, что ими можно пренебречь. Таким образом, единственной силой, вызывающей ускорение шарика, является только сила упругости пружины.

2. Выбор инерциальной системы отсчёта

В качестве тела отсчёта выберем стержень, вдоль которого движется шарик. Начало отсчёта поместим в точку, совпадающую с положением равновесия шарика. Координатную ось $X$ направим параллельно возможным перемещениям колеблющегося тела (вдоль стержня). Подобный выбор начала отчёта и направления координатной оси упрощает решение задач о колебаниях, т. к. смещение тела в любой момент времени равно его координате.

3. Изображение сил на рисунке. Определение проекции на координатную ось возвращающей силы

В этом шаге колеблющееся тело изображают на рисунке смещённым из положения равновесия. После этого на рисунке изображают действующие на тело силы и определяют сумму этих сил. Затем выясняют, может ли эта сумма выполнять роль возвращающей силы.

Пусть в некоторый произвольный момент времени смещение движущегося шарика равно $x$ (рис. 1). Вдоль координатной оси $X$ на него действует только сила упругости пружины. Поскольку деформация пружины равна смещению $x$ шарика, то, согласно закону Гука, проекция на ось $X$ силы упругости пружины равна

$F_{у п р} = - k \cdot x$ (1).

В пружинном маятнике проекция действующей на шарик силы упругости в любой момент времени, во-первых, имеет знак, противоположный смещению, а во-вторых, прямо пропорциональна смещению.

Из первого вывода следует, что сила упругости в любой момент времени направлена противоположно смещению. Значит, сила упругости стремится вернуть тело в положение равновесия, т. е. она является возвращающей.

В случае, если возвращающая сила прямо пропорциональна смещению, то колебания тела будут гармоническими.

4. Запись второго закона Ньютона (уравнения движения)

Вдоль оси $X$ на шарик действует только сила упругости пружины. Поэтому в проекции на эту ось второй закон Ньютона имеет вид

$F_{у п р} = m \cdot a$ (2).

С учётом формулы (1) и того, что $a = \ddot{x}$ , поделив уравнения (2) на $m$ , получаем

$\overset{\cdot \cdot}{x} = - \frac{k}{m} \cdot x$ (3).

Решение уравнения движения (3) и будет искомым законом движения $x (t)$ .

Решение уравнения движения колебательной системы

Из курса математического анализа известно, что вторая производная косинуса (или синуса) по его аргументу прямо пропорциональна самой функции, взятой с обратным знаком. Теория из прошлого параграфа подсказывает нам, что решением уравнения (3) является гармонический закон движения. Следовательно, искомый закон движения $x (t)$ имеет вид, аналогичный соотношению:

$x (t) = x_{m} \cdot c o s (ω \cdot t + φ_{0})$ (4).

Таким образом, шарик пружинного маятника совершает гармонические колебания.

Определим значение циклической частоты $ω$ . Для этого подставим выражение (4) в (3), отсюда получаем

$- x_{m} \cdot ω^{2} \cdot c o s (ω \cdot t + φ_{0}) = - \frac{k}{m} \cdot x_{m} \cdot c o s (ω \cdot t + φ_{0})$ (5).

Полученное соотношение должно выполняться при любом $t$ . Следовательно, в рассматриваемом случае циклическая частота равна:

$ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$ (6).

Соответственно, период этих колебаний равен:

$T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$ (7).

Формулу (7) можно использовать без решения уравнения движения, если речь идёт о свободных колебаниях пружинного маятника. Подставив выражение (6) в (4), получаем закон движения пружинного маятника через его характеристики:

$x (t) = x_{m} \cdot c o s (\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t + φ_{0})$ (8).

Получим закон изменения скорости вдоль оси $X$ :

$v_{x} (t) = x_{m} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot c o s (\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t + φ_{0} + \frac{π}{2})$ (9).

Амплитуду колебаний $x_{m}$ и начальную фазу $φ_{0}$ можно определить, зная начальные (при $t_{0} = 0$ ) координату и скорость колеблющегося тела.

Пусть, например, при $t_{0} = 0$ координата точки, совершающей колебания по закону (8), равна $x_{0}$ , а проекция её скорости равна $v_{0} .$ Тогда амплитуду колебаний и начальную фазу определяют из системы двух уравнений, полученных из уравнений (8) и (9) при $t_{0} = 0$ :

${\begin{cases} x_{0} = x_{m} \cdot c o s φ_{0}, \\ v_{0} = x_{m} \cdot c o s (φ_{0} + \frac{π}{2}) \end{cases}$ (10).

Пример решения задачи о механических колебаниях динамическим способом

Пример 1

К оси невесомого блока подвешен груз массой $m$ . Через блок перекинута нить, один конец которой прикреплён непосредственно к потолку, а другой — к лёгкой пружине жёсткостью $k$ (рис. 2). Груз немного оттягивают вниз и отпускают, после чего он начинает гармонические колебания. Определите период этих колебаний.

Рис. 2. Гармонические колебания груза на пружине

Решение

1. Выбор модели. Будем считать все нити невесомыми и нерастяжимыми, а груз — материальной точкой. Трением в системе пренебрежём.

2. Выбор инерциальной системы отсчёта. ИСО свяжем с потолком, направив координатную ось $Х$ вертикально вниз. Начало отсчёта на оси $Х$ выберем так, чтобы оно совпадало с проекцией положения равновесия груза на эту ось.

3. Определение проекции на координатную ось возвращающей силы. Рассмотрим колебательную систему в положении равновесия, когда действующая на груз сила тяжести $m \vec{g}$ уравновешивается суммой сил натяжения прикреплённых к грузу нитей (рис. 2, а). Поскольку эти нити невесомы, то сумма сил, с которыми они действуют на блок, равна $- \vec{F_{1}}$ .Блок невесом. Поэтому сумма действующих на него сил в любой момент времени равна нулю. Следовательно, в проекции на ось $Х$ получаем

$F_{1} - 2 F_{2} = 0,$

где $F_{2}$ — модуль силы натяжения нити, переброшенной через блок.

Пружина в положении равновесия деформирована (растянута) силой натяжения прикреплённой к ней нити. Поэтому растяжение пружины равно $∆ l_{0} = \frac{F_{2}}{k} .$ Из сказанного следует, что в положении равновесия выполняются равенства

$m \cdot g = F_{1} = 2 F_{2} = 2 k \cdot ∆ l_{0}$ (11).

Пусть теперь система совершает колебания. Рассмотрим момент времени, в который смещение груза равно $x$ (рис. 2, б). В этот момент ось блока по сравнению с положением равновесия смещена на $x$ . Поэтому растяжение пружины увеличится на $2 x$ и будет равно $∆ l = ∆ l_{0} + 2 x .$ Следовательно, сила упругости пружины равна $k \cdot (∆ l_{0} + 2 x) .$ Поэтому модуль $F_{2}^{'}$ силы натяжения нити, соединённой с пружиной, равен

$F_{2}^{'} = k \cdot (∆ l_{0} + 2 x) = F_{2} + 2 k \cdot x$ (12).

Из сказанного, а также из второго закона Ньютона для невесомого блока, следует, что модуль $F_{1}^{'}$ суммы сил натяжения нитей, соединяющих блок с грузом, равен

$F_{1}^{'} = 2 F_{2}^{'} = 2 (F_{2} + 2 k \cdot x) = 2 F_{2} + 4 k \cdot x$ (13).

Таким образом, проекция на ось $Х$ возвращающей силы — сумма всех сил, действующих на смещённый груз, с учётом формул (11) и (13) равна

$m \cdot g - F_{1}^{'} = m \cdot g - 2 F_{2} - 4 k \cdot x = m \cdot g - F_{1} - 4 k \cdot x = - 4 k \cdot x$ (14).

4. Запись уравнения движения. С учётом выражения (14) уравнение движения (проекция второго закона Ньютона на ось $Х$ ) для груза имеет вид

$- 4 k \cdot x = m \cdot \overset{\cdot \cdot}{x}$ (15).

Решением этого уравнения является закон гармонических колебаний:

$x (t) = x_{m} \cdot c o s (ω \cdot t + φ_{0})$ (16),

где $ω = \sqrt{\frac{4 k}{m}} = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} .$

Ответ: $T = \frac{2 π}{ω} = π \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$ (17).

Исследуем, при каком начальном смещении груза его колебания будут гармоническими. Из условия задачи следует, что если колебания будут гармоническими, то их амплитуда будет равна начальному смещению груза $x_{m}$ _,а начальная фаза будет равна нулю $φ_{0} = 0$ . Другими словами, закон движения груза имеет вид

$x (t) = x_{m} \cdot c o s (ω \cdot t)$ (18).

Следовательно, проекция ускорения груза на ось $Х$ в момент времени $t :$

$a_{x} (t) = \overset{\cdot \cdot}{x} = - x_{m} \cdot ω^{2} \cdot c o s (ω \cdot t)$ (19).

Поэтому, согласно второму закону Ньютона, проекция $F_{x} (t)$ на ось Х суммы всех действующих на груз сил равна

$F_{x} (t) = m \cdot a_{x} (t) = - m \cdot x_{m} \cdot ω^{2} \cdot c o s (ω \cdot t)$ (20).

Из формулы (20) следует, что проекция $F_{x} (t)$ гармонически изменяется в пределах от $- m \cdot x_{m} \cdot ω^{2}$ до $m \cdot x_{m} \cdot ω^{2}$ . При этом максимальных значений модуль $| F_{x} (t) |$ достигает в крайних (верхней и нижней) точках смещения. В любой момент времени проекция $F_{x} (t)$ равна сумме проекций силы тяжести и суммы сил натяжения прикреплённых к грузу нитей:

$F = m \cdot g - F_{1} (t)$ (21).

Отметим, что проекция силы тяжести на ось $Х$ всегда положительна и не изменяется с течением времени. Напротив, проекция суммы сил натяжения всегда отрицательна (поскольку нить может только тянуть груз, но не толкать его) и изменяется с течением времени. Из сказанного следует, что выражение (20) может принимать сколько угодно большие по модулю отрицательные значения, а положительные значения $F_{x} (t)$ не могут превышать $m \cdot g$ . Поэтому должно выполняться условие

$m \cdot x_{m} \cdot ω^{2} \leq m \cdot g$ (22).

Из неравенства (22) с учётом (17) получается, что в рассматриваемой системе гармонические колебания возможны только в том случае, если амплитуда $x_{m}$ удовлетворяет условию: $x_{m} \leq \frac{g}{ω^{2}} = \frac{m \cdot g}{4 k}$ (23).

Упражнение 1

1. Проанализируйте формулы (6) и (7), ответив на вопрос, как изменяются $ω$ и $T$ при изменении $m$ и $k$ .

2. Период колебаний пружинного маятника 0,5 с, а масса его груза 0,2 кг. Определите жёсткость пружины этого маятника.

3. Амплитуда колебаний пружинного маятника из предыдущей задачи равна $x_{m} =$ 10 см. Определите максимальные значения, которые принимают кинетическая и потенциальная энергии колебательной системы. Считайте, что в положении равновесия потенциальная энергия колебательной системы равна нулю.

Контрольные вопросы

1. Как выбирают начало отчёта и куда направляют координатную ось при решении задач о гармонических колебаниях?

2. Каким свойствам должна удовлетворять проекция суммы сил, действующих на тело, чтобы его колебания были гармоническими?

3. Как зависит период колебаний пружинного маятника от массы груза и жёсткости пружины?

Ответы

Упражнение 1

2. 31,1 Н/м

3. 0,16 Дж

Конспект урока: Динамика колебательного движения

Механические колебания и волны

Вывод закона движения колебательной системы на примере пружинного маятника

Решение уравнения движения колебательной системы

Пример решения задачи о механических колебаниях динамическим способом