Конспект урока: Русская литература начала XX века. Литературные направления: реализм, модернизм, авангардизм, символизм, акмеизм, футуризм, имажинизм

Кинематика колебательного движения

План урока

Описание равномерного движения точки по окружности
Гармонические колебания
Вывод законов изменения проекций скорости и ускорения материальной точки, совершающей гармонические колебания
Графики зависимостей $x (t), v_{x} (t), a_{x} (t)$
Примеры решения задач

Цели урока

уметь описывать с помощью уравнений равномерное движение точки по окружности
знать закон гармонических колебаний
знать, как изменяются проекция скорости и проекция ускорения при гармонических колебания
уметь решать задачи по кинематике колебательных движений

Разминка

Какие движения называют колебательными?
Что такое период и частота колебаний?
Какие превращения энергии происходят при колебательных движениях?
Как вы думаете, можно ли определить положение колебательной системы в любой момент времени? Что для этого нужно?

Описание равномерного движения точки по окружности

Равномерное движение материальной точки по окружности тоже периодический процесс, частный случай колебательного движения. Описание этого движения поможет научиться описывать изменения кинематических характеристик колебательных процессов в общем.

Рассмотрим точку В, которая равномерно движется по окружности радиуса $R$ с угловой скоростью $ω$ (рис. 1). Систему отсчёта выберем таким образом, чтобы её начало совпадало с центром окружности. Пусть в начальный момент времени радиус-вектор $\vec{r_{B}}$ , описывающий положение точки $B$ на окружности, составляет с осью $X$ начальный угол $φ_{0}$ . За время $t$ радиус-вектор $\vec{r_{B}}$ поворачивается на угол $ω \cdot t$ . Поэтому к моменту времени $t$ угол $φ (t)$ между координатной осью $X$ и $\vec{r_{B}}$ будет равен сумме начального угла $φ_{0}$ и угла поворота $ω \cdot t$ . Следовательно, зависимость угла, определяющего положение точки на окружности, от времени имеет вид

$φ (t) = φ_{0} + ω \cdot t$ (1).

Рис. 1. Движение материальной точки В по окружности

Период и частота при равномерном движении точки по окружности рассчитываются по следующим формулам:

$T = \frac{2 π}{ω}, ν = \frac{1}{T}$ (2).

Гармонические колебания

Рассмотрим, как изменяются с течением времени координаты $x$ и $y$ равномерно движущейся по окружности точки $B$ . Для этого построим графики $x (t)$ и $y (t)$ и определим аналитический вид этих функций.

Будем считать, что в момент времени $t_{0}$ угол между $\vec{r_{B}}$ и положительным направлением оси $X$ равен нулю $φ_{0} = 0 .$ Тогда координаты точки $B$ в начальный момент времени равны $(R; 0) .$ Рассмотрим несколько моментов времени $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ и т. д., следующих за начальным моментом через одинаковые интервалы. Положения точки $B$ на окружности в эти моменты показаны на рис. 2, а.

Построим график зависимости координаты y точки $B$ от времени (рис. 2, б), видно, что функция $y (t)$ представляет собой знакомую из курса математики синусоиду. Построение графика зависимости координаты $x$ точки $B$ от времени $t$ даёт нам косинусоиду.

Рис. 2. Графики: а) положение точки В на окружности в разные моменты времени; б) зависимость координаты y точки В от времени

К этим же зависимостям можно прийти, обратившись к рисунку 3.

Координаты $y$ и $x$ точки $B$ есть проекции точки $B$ на координатные оси $Y$ и $X$ .

Рис. 3. Проекции точки В на координатные оси

В любой момент времени $t$ :

$y (t) = R \cdot s i n φ (t) = R \cdot s i n (ω \cdot t)$ (3);

$x (t) = R \cdot \cos φ (t) = R \cdot \cos (ω \cdot t)$ (4).

Если начальный угол $φ_{0}$ отличен от нуля, закон движения (4) будет иметь вид

$x (t) = R \cdot \cos (ω \cdot t + φ_{0})$ (5).

Понятно, что проекция координаты $х$ точки совершает колебания.

Колебания, для которых зависимость физической величины от времени представляет собой косинусоиду или синусоиду, называют гармоническими.

Закон гармонических колебаний имеет такой вид:

$x (t) = x_{m} \cdot \cos (ω \cdot t + φ_{0})$ (6).

Величину $(ω \cdot t + φ_{0})$ , являющуюся аргументом косинуса (или синуса), называют фазой колебаний.

Величину $x_{m}$ ,стоящую перед гармонической функцией, называют амплитудой гармонических колебаний.

Величину $φ_{0}$ , равную значению фазы в начальный момент времени $t_{0} = 0$ , называют начальной фазой колебаний.

Величину $ω$ называют циклической (или круговой) частотой гармонических колебаний.

Из курса математики известно, что значения функции косинуса (или синуса) повторяются при изменении аргумента на $2 π .$ Следовательно, будут повторяться и значения координаты $x$ в законе (6) при изменении фазы на $2 π,$ т. е. через промежутки времени $\frac{2 π}{ω} .$ Другими словами, период $Т$ гармонических колебаний с циклической частотой $ω$ равен $T = \frac{2 π}{ω} .$

Вывод законов изменения проекций скорости и ускорения при гармонических колебаниях

Согласно определению, проекция на ось $X$ скорости точки, движущейся вдоль этой оси, в момент $t$ на пределе отношения проекции $Δ x$ её перемещения за промежуток времени от $t$ до $t + Δ t$ к этому промежутку времени при его стремлении к нулю:

$ν_{x} (t) = \underset{∆ t \to 0}{l i m} \frac{∆ x}{∆ t} .$

Из курса математики известно, что такой предел является производной функции $x (t)$ по времени:

$v_{x} = \frac{d x}{d t} = \dot{x}$ (7).

В физике принято обозначение производной по времени в виде точки над физической величиной, две точки — вторая производная по времени и т. д. Подставляя уравнение (6) в (7) в соответствии с правилами нахождения производной, получаем

$ν_{x} (t) = - x_{m} \cdot ω \cdot s i n (ω \cdot t + φ_{0})$ (8).

Из последнего выражения видно, что проекция скорости гармонически колеблющейся точки изменяется также по гармоническому закону, причём с той же циклической частотой. Из выражения (8) также следует, что проекция скорости изменяется в пределах от $- x_{m} \cdot ω$ до $+ x_{m} \cdot ω$ . Другими словами, амплитуда проекции скорости $ν_{m} = x_{m} \cdot ω,$ т. е. численно в $ω$ раз отличается от амплитуды колебаний rоординаты.

Согласно определению, проекция ускорения рассматриваемой точки на ось х равна производной по времени проекции её скорости на эту ось (или второй производной координаты х по времени):

$a_{x} (t) = \frac{d ν}{d t} = \overset{\cdot}{ν} = \overset{\cdot \cdot}{x} = - x_{m} \cdot ω^{2} \cdot c o s (ω \cdot t + φ_{0})$ (9).

Таким образом, проекция ускорения изменяется также по гармоническому закону, причём с той же циклической частотой, что и координата, и проекция скорости. При этом проекция ускорения изменяется в пределах от $- x_{m} \cdot ω^{2}$ до $+ x_{m} \cdot ω^{2}$ . Следовательно, амплитуда проекции ускорения равна $a_{m} = x_{m} \cdot ω^{2}$ , т. е. численно в $ω^{2}$ раз отличается от амплитуды колебаний координаты.

Графики зависимостей $x (t), v_{x} (t)$ и $a_{x} (t)$

Графики полученных зависимостей $x (t), v_{x} (t)$ и $a_{x} (t)$ приведены на рисунке 4. Видно, что рассматриваемые функции принимают минимальные и максимальные значения в разные моменты времени. В начальный момент $t_{0} = 0$ минимальное значение $(- x_{m} \cdot ω^{2})$ имеет проекция ускорения. Проекция скорости принимает минимальное значение $(- x_{m} \cdot ω)$ на четверть периода позже. Максимального значения проекция скорости достигает на четверть периода позже. То же можно сказать и о других соответствующих промежуточных значениях. Три рассматриваемые зависимости можно представить в виде трёх гармонических функций, каждая из которых представляет собой, например, косинусоиду. Ясно, что амплитуды этих функций будут различными, их фазы тоже будут различными.

Рис. 4. Графики зависимостей x(t), v_x(t) и a_x(t) материальной точки, совершающей гармонические колебания

При гармонических колебаниях вдоль координатной оси колебания проекции скорости опережают колебания координаты по фазе на $\frac{π}{2}$ . В свою очередь, колебания проекции ускорения опережают колебания координаты по фазе на $π$ .

Функции (8) и (9) можно представить в виде

$ν_{x} (t) = - x_{m} \cdot ω \cdot c o s (ω \cdot t + φ_{0} + \frac{π}{2})$ (10),

$a_{x} (t) = x_{m} \cdot ω^{2} \cdot c o s (ω \cdot t + φ_{0} + π)$ (11).

Гармонические колебания занимают особое место в физике колебаний.
Во-первых, многие реально наблюдаемые в природе колебания являются гармоническими или почти гармоническими. Во-вторых, любое периодическое колебание можно представить в виде суммы (суперпозиции) гармонических колебаний с кратными частотами. Это утверждение называют теоремой Фурье в честь французского математика и физика Жана Фурье (1768–1830), который сформулировал и доказал эту теорему.

Примеры решения задач

Пример 1

Пусть точка совершает гармонические колебания вдоль оси с амплитудой $x_{m}$ и периодом $T$ . Определите амплитуды колебаний проекций скорости и ускорения на ось $X$ .

Решение

Используя выражение $ω = \frac{2 π}{T}$ и формулы (10) и (11), получим искомые амплитуды колебаний скорости и ускорения (максимальные значения):

$ν_{m} = \frac{2 π}{T} \cdot x_{m}$ и $a_{m} = \frac{4 π^{2}}{T^{2}} \cdot x_{m} .$

Ответ: $ν_{m} = \frac{2 π}{T} \cdot x_{m}$ ; $a_{m} = \frac{4 π^{2}}{T^{2}} \cdot x_{m}$ .

Пример 2

Точка совершает гармонические колебания вдоль оси $X$ около начала отсчёта. Известно, что закон изменения проекции скорости точки на ось $X$ имеет вид $ν_{x} (t) = v_{m} \cdot \sin (ω \cdot t) .$ Определите закон движения этой точки и зависимость проекции её ускорения от времени.

Решение

Согласно уравнению (10), амплитуда колебаний $x_{m} = \frac{v_{m}}{ω} .$ Амплитуду же колебаний проекции ускорения на ось $X$ определяем, используя соотношение (11): $a_{m} = v_{m} \cdot ω$ . Поскольку фаза колебаний координаты на $\frac{π}{2}$ меньше фазы колебаний проекции скорости, а фаза колебаний проекции ускорения превышает фазу колебаний проекции скорости на ту же величину, то искомые зависимости имеют вид

$x (t) = \frac{v_{m}}{ω} \cdot s i n (ω \cdot t - \frac{π}{2}); a_{x} (t) = v_{m} \cdot ω \cdot s i n (ω \cdot t + \frac{π}{2}) .$

Ответ: $x (t) = \frac{v_{m}}{ω} \cdot s i n (ω \cdot t - \frac{π}{2}); a_{x} (t) = v_{m} \cdot ω \cdot s i n (ω \cdot t + \frac{π}{2}) .$

Упражнение 1

1. Точечное тело совершает гармонические колебания вдоль оси $X$ с периодом $T$ . Амплитуда колебаний проекции скорости на эту ось равна $v_{m}$ . Определите амплитуды колебаний координаты и проекции ускорения на ось $X$ .

2. Точечное тело совершает гармонические колебания вдоль оси $X$ около начала отсчёта. Известно, что закон изменения проекции ускорения этого тела на ось $X$ имеет вид $a_{x} (t) = a_{m} \cdot \sin (ω \cdot t) .$ Определите закон движения этой точки и зависимость проекции её скорости от времени.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называют гармоническими?

2. Запишите закон гармонических колебаний.

3. Что называют: а) амплитудой гармонических колебаний; б) фазой колебаний; в) начальной фазой колебаний; г) циклической частотой?

4. Как связан период гармонических колебаний с их циклической частотой?

5. Как соотносятся фазы колебаний: а) проекции скорости и координаты; б) проекции скорости и проекции ускорения?

Ответы

Упражнение 1

1. $x_{m} = \frac{v_{m} \cdot T}{2 π}; a_{m} = \frac{2 π \cdot v_{m}}{T}$

2. $x = \frac{- a_{m} \cdot \sin (ω \cdot t)}{ω^{2}}; v_{x} = \frac{- a_{m} \cdot \cos (ω \cdot t)}{ω}$

Конспект урока: Колебания и волны. Механические колебания. Условия возникновения свободных колебаний. Кинематика колебательного движения

Механические колебания и волны

Описание равномерного движения точки по окружности

Гармонические колебания

Вывод законов изменения проекций скорости и ускорения при гармонических колебаниях

Графики зависимостей $x (t), v_{x} (t)$ и $a_{x} (t)$

Примеры решения задач

Конспект урока: Колебания и волны. Механические колебания. Условия возникновения свободных колебаний. Кинематика колебательного движения

Механические колебания и волны

Описание равномерного движения точки по окружности

Гармонические колебания

Вывод законов изменения проекций скорости и ускорения при гармонических колебаниях

Графики зависимостей x(t), vx(t) и ax(t)

Примеры решения задач

Графики зависимостей $x (t), v_{x} (t)$ и $a_{x} (t)$