- понятие объема, свойства объема
- объем прямоугольного параллелепипеда
- объем куба
- знать понятие объема, формулы площади поверхностей прямоугольного параллелепипеда и куба
- уметь решать задачи на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба.
- назовите предметы, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда
- как вы понимаете что такое площадь?
- как найти площадь прямоугольника, квадрата?
Понятие объема, свойства объема
Рис. 1. Геометрические фигуры из кубиков
Возьмем 4 кубика и попробуем из них построить разные фигуры (рис. 1). Говорят, что у всех этих фигур одинаковый объем, так как они составлены из одинакового количества кубиков.
Когда мы говорим о плоских фигурах, то одной из характеристик является площадь фигуры, которую мы понимаем, как величину занимаемого места фигуры на плоскости. Если говорим об объемных фигурах, как на рис. 1, то появляется новая характеристика — объем. Объемом можно назвать величину занимаемого места фигуры в пространстве. В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с понятием объема. Например, мы говорим, что ведро вмещает в себя 10 литров воды. Это означает, что объем ведра — 10 литров. Другой пример: на строительство садового домика понадобилось 15 кубометров (или кубических метров) древесины. В математике объем обозначается латинской заглавной буквой V.
Для измерения объема необходимо ввести понятие единицы измерения объема. В случае с площадью, за единицу измерения мы брали квадрат. Для объема такой единицей является куб. Его называют единичным.
Объем куба с ребром 1 мм называют кубическим миллиметром (1 мм3), с ребром 1 см — кубическим сантиметром (1 см3), с ребром 1 дм — кубическим дециметром (1 дм3 или его ещё называют 1 литр) и т.д. Литры используют для измерения жидкостей и газов.
Свойства объема фигуры
Рис. 2. Свойства объема фигуры
1. Равные фигуры имеют равные объемы.
2. Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.
Чтобы измерить объем фигуры, необходимо подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается.
Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед
Давайте измерим объем фигуры на рис. 3. Нижний ряд состоит из 7 · 3 кубиков. И таких рядов 3. Значит, чтобы найти объем, необходимо
7 · 3 · 3 = 63 кубика или 63 см3.
Объем прямоугольного параллелепипеда
На рис. 3 изображен прямоугольный параллелепипед. Три ребра, выходящие из одной точки считаются тремя измерениями параллелепипеда — длиной, шириной и высотой. В данном примере длина равна 7 см, ширина 3 см и высота 3 см.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
V = abc,
где а — длина, b — ширина, с — высота параллелепипеда.
Так как произведение длины на ширину — это формула площади нижнего прямоугольника (основания параллелепипеда), тогда
Рис. 4. Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
V = S · c,
где S — площадь основания (нижнего прямоугольника), с — высота (рис. 4).
Объем куба
Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
Объем куба равен кубу его ребра.
где a — длина ребра куба.
Пример 1
Найдите высоту аквариума, объем которого равен 72 литра, а площадь дна — 24 дм2.
Решение
Bз второй формулы объема прямоугольного параллелепипеда
V = S · c следует, что
c = V : S = 72 : 24 = 3 дм
Ответ: 3 дм
Упражнения
1. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 5 м, 4 м и 6 м.
2. Пользуясь формулой объёма прямоугольного параллелепипеда, вычислите объём фигуры V, если S = 14 дм2, с = 3 дм.
3. Найдите объём куба, ребро которого равно 4 см.
Контрольные вопросы
1. Что такое объем?
2. Назовите свойства объема фигуры.
3. Что такое кубический метр?
4. Назовите две формулы площади прямоугольного параллелепипеда.
5. Почему для нахождения объема куба достаточно знать значение длины только одного ребра?
1. 120 м2
2. 42 дм2
3. 64 см2
