Конспект урока: Прямолинейное равномерное движение по плоскости. Перемещение при прямолинейном равномерном движении по плоскости. Скорость при прямолинейном равномерном движении по плоскости

Прямолинейное равномерное движение по плоскости. Расчёт модуля скорости

Рис. 1. Автомобиль движется по плоскости, за начало отсчёта принята заправка

Рассмотрим пример описания движения точечного тела при его движении по плоскости.
 

Пусть автомобиль движется из города А в город В. В качестве тела отсчёта выберем дорогу, в качестве начала отсчёта — заправку на въезде в город А (рис. 1). По рисунку видно, что вектор скорости автомобиля направлен под углом к каждой из координатных осей.

 

Пусть законы изменения координат автомобиля с момента начала наблюдения нам известны:

 

$x = 2 + 6 · t$;
$y = 5 + 8 · t$.

Зная общий вид законов движения при равномерном и равноускоренном движении, можно утверждать, что вдоль осей OX и OY тело движется равномерно, ускорение равно нулю.
 

Из первого уравнения понятно, что скорость вдоль оси ОХ равна 6 км/ч, данную величину называют проекцией вектора скорости на ось ОХ: $v_x$ = 6 км/ч.
 

Аналогично из второго уравнения видно, что проекция вектора скорости на ось OY равна $v_y$ = 8 км/ч.

Из условия задачи нам известны начальные координаты тела: х₀ = 2 км, y₀ = 5 км.
 

Рассчитаем координаты x и y автомобиля в разные моменты времени, используя известные уравнения координат, и нанесём полученные точки на координатную сетку (рис. 2).

$x\left(1\right) = 2 + 6 · 1 = 8 \mathrm{км}$,
$x\left(2\right) = 2 + 6 · 2 = 14 \mathrm{км}$,
$y\left(1\right) = 5 + 8 · 1 = 13 \mathrm{км}$,
$y\left(2\right) = 5 + 8 · 2 = 21 \mathrm{км}$.

Рис. 2. Траектория движения автомобиля

Из полученного графика видно, что траектория движения автомобиля — прямая линия, то есть тело движется прямолинейно.

Из условия задачи известно, что координаты тела изменяются по законам равномерного движения, проверим, движется ли равномерно сам автомобиль.

 

Из определения равномерного движения следует, что при таком характере движения тело должно проходить равные расстояния Δх за равные промежутки Δt.

Нам известно, что в начале наблюдения, когда t = 0 координата х равна х₀ = 2 км; в момент времени t₁ = 1 ч: x₁ = 8 км; в момент времени t₂ = 2 ч: x₁ = 14 км.

Таким образом, за промежуток времени, равный Δt = t₁ – t = t₂ – t₁ = 1 ч тело проходит равные отрезки пути: Δх = х₁ – х₀ = х₂ – х₁ = 6 км. Следовательно, данное тело движется равномерно.
 

Аналогичным образом можно проверить, является ли равномерным движение вдоль оси OY: за промежуток времени, равный Δt = t₁ – t = t₂ – t₁ = 1 ч тело также проходит равные расстояния: Δy = y₁ – y₀ = y₂ – y₁ = 8 км.

Рис. 3. Отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами Δх и Δy

За всё время наблюдения Δt = t₂ – t = 2 ч тело переместилось относительно оси ОХ на величину, равную Δх = х₂ – х₀ = 14 – 2 = 12 км; относительно оси OY на величину равную 

Δy = y₂ – y₀ = 21 – 5 = 16 км (рис. 3).

 

По рисунку 3 видно, что отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами Δх = 12 км и Δy = 16 км.
Тогда расстояние между городами АВ можно найти по теореме Пифагора:

 

$AB=\sqrt[2]{∆x^2+∆y^2}$;

$AB=\sqrt[2]{{12}^2+{16}^2}=\sqrt[2]{400}=20 \mathrm{км}$.

Известно, что скорость при равномерном прямолинейном движении можно найти как отношение пройденного пути ко времени.
 

Проекции вектора скорости на оси ОХ и OY равны соответственно: 

$v_x=\frac{∆x}{∆t}$ и $v_y=\frac{∆y}{∆t}$.

Тогда модуль скорости автомобиля можно найти по следующей формуле:

$v=\frac{AB}{∆t}=\frac{\sqrt[2]{∆x^2+∆y^2}}{∆t}=\sqrt[2]{\frac{∆x^2+∆y^2}{∆t^2}}=\sqrt[2]{\frac{∆x^2}{∆t^2}+\frac{∆y^2}{∆t^2}}=\sqrt[2]{{v_x}^2+{v_y}^2}$.

Полученное соотношение показывает, что вектор скорости $\overrightarrow{v}$ раскладывается на два взаимно перпендикулярных вектора ${\overrightarrow{v}}_x$ и ${\overrightarrow{v}}_y$. Модуль вектора скорости равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами $v_x$ и $v_y$.

Итоги

• Если координаты рассматриваемого тела изменяются по следующим законам $x=x_0+v·t$  и  $y=y_0+v·t$, то такое тело движется равномерно и прямолинейно в плоскости XOY.
• При равномерном движении тела по плоскости модуль скорости можно найти по следующей формуле: $v=\sqrt[2]{{v_x}^2+{v_y}^2}$.

Ответы

 

Упражнение 1

 

1.

2. S = 15 км, $v$ = 5 км/ч.