Конспект урока: Правило произведения

На практике часто встречаются задачи, в решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать количество этих комбинаций. Задачи такого характера называются комбинаторными, а раздел математики — комбинаторикой.

В курсе основной школы уже решались элементарные комбинаторные задачи. Часто для их решения применяют правило произведения для подсчета числа соединений конкретного вида.

Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр $0$, $2$, $4$, $6$, $8$?

Решение

В качестве первой цифры может быть выбрана любая из цифр — $2$, $4$, $6$, $8$, число не может начинаться с $0$, т. е. 4 варианта, $n=4$. На втором месте может стоять любая из данных 5 цифр, $m=5$. Воспользовавшись правилом произведения, число различных двузначных чисел, составленных из предложенных цифр, равно произведению $n$ и $m$, т. е. $20$ комбинаций.

Ответ: $20$.

В турнире принимают участие 10 футбольных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места?

Решение

Каждая из команд не может претендовать на несколько мест, поэтому на первом месте может быть одна из десяти команд, на втором — одна из девяти оставшихся, на третьем – одна из восьми оставшихся. Значит, количество возможных способов равно $10\times 9\times 8=720$.

Ответ: $720$.

Завуч составляет расписание на среду для 11 класса. Он может поставить 6 уроков: алгебра, физика, биология, русский язык, история, физкультура. Сколько существует вариантов распределения этих предметов на первых четырех уроках?

Решение

В качестве первого урока может быть один из шести уроков, второго урока — один из пяти оставшихся, на третий урок остается четыре варианта, на четвертый — 3 варианта. Тогда количество комбинаций распределения предметов на первых четырех уроках равно $6\times 5\times 4\times 3=360$.

Ответ: $360$.

1. Сколько различных трехбуквенных кодов (буквы в коде могут быть одинаковыми) можно составить с помощью букв а, б, в, г, д, е?

2. В классе 22 учащихся. Нужно назначить по одному дежурному в столовую, раздевалку и спортивный зал. Сколькими способами это можно сделать?

3. Есть 7 книг, причем две из них одного автора, а остальные отличаются от этих двух и различны между собой. Сколькими способами можно расставить эти книги на книжной полке в ряд так, чтобы книги одного автора стояли рядом (порядок расположения книг на полке не имеет значения)?

Упражнение 

1.  $216$.                   2. $9 240$.                   3. $720$.