Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Сложение вероятностей

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Сложение вероятностей

План урока

  • Сложение вероятностей.

Цели урока

  • Знать теорему о вероятности суммы двух несовместных событий;
  • Уметь находить вероятность наступления одного из двух (или нескольких) несовместных событий.

Разминка

  1. Сформулируйте классическое определение вероятности.
  2. Чему равна вероятность невозможного события?
  3. Чему равна вероятность достоверного события?
  4. Что называют суммой двух событий?
  5. Какие события называются несовместными?

Сложение вероятностей

 

Вы уже знаете, что суммой событий A и B называют событие C, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из двух событий A или B. Слова «хотя бы одно из двух» означают, что может наступить: только событие A, только событие B, а также оба эти события.

Для примера рассмотрим эксперимент с игральным кубиком.

Найдём сумму событий A и B, где A – выпадет простое число, B – выпадет нечётное число. Каждое событие представим в виде множества благоприятных исходов и найдём соответствующую сумму.

A=2;3;5B=1;3;5. Тогда A+B=1;2;3;5. Заметим, что в данном примере события A и B совместны, т.е. могут наступить одновременно в результате одного испытания.

Найдём теперь сумму событий A и B при условии, что A – выпадет тройка, B – выпадет пятёрка. A=3B=5. Тогда A+B=3;5. События A и B в данном случае несовместны, т.е. не могут наступить одновременно в результате одного испытания.


Теорема 1

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. PA+B=PA+PB.


Доказательство

 

Пусть при некотором испытании, имеющем n равновозможных исходов, событию A благоприятствуют m1 исходов, а событию Bm2 исходов.

Если события A и B несовместны, то среди n равновозможных исходов нет таких, которые бы благоприятствовали и событию A и событию B. Значит, событию A+B благоприятствуют m1+m2 исходов. Таким образом, 

 

PA+B=m1+m2n=m1n+m2n=PA+PB.

 

Теорема доказана.

 

Из данной теоремы следует, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. PA+PA=1. Действительно, события A и A несовместны. Следовательно, по теореме 1 PA+A=PA+PA. При этом A+A=U - достоверное событие. Поэтому, PA+A=1PA+PA=1.

 

Рассмотренную теорему можно обобщить на любое число событий:

если A1, A2, A3, , An - попарно несовместные события, то 

PA1+A2+A3++An=PA1+PA2+PA3++PAn.

 

Также можно обобщить и следствие из рассмотренной теоремы:

если A1, A2, A3, , An представляют собой все элементарные события некоторого испытания, то 

PA1+PA2+PA3++PAn=1.


Пример 1

Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало очков, не меньшее, чем 3?


Решение:

 

Данную задачу можно решить, просто применив классическое определение вероятности. Выпадению не менее трёх очков благоприятствуют четыре элементарных равновозможных исхода {3; 4; 5; 6} из шести всех возможных исходов. Значит P=46=23.

 

Рассмотрим решение этой задачи с помощью теоремы о сложении вероятностей несовместных событий.

Обозначим:

A – выпадет число 3; B - выпадет число 4; C – выпадет число 5; D – выпадет число 6.

Вероятность каждого из этих событий равна 16

 

PA+B+C+D=PA+PB+PC+PD=16+16+16+16=23.

 

Ответ: 23.


Пример 2

На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.


Решение

 

Рассмотрим два несовместных события:

A – школьнику достался вопрос на тему «Внешние углы»;

B – школьнику достался вопрос на тему «Вписанная окружность».

Вероятность того, что произойдет или событие A, или событие B, равна сумме вероятностей этих событий:

PA+B=PA+PB=0,1+0,35=0,45.

 

Ответ: 0,45.


Пример 3

Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадёт в мишень, равна 0,87. Какова вероятность того, что, выстрелив по мишени один раз, этот стрелок промахнётся?


Решение

 

Пусть событие A – попадание в цель при одном выстреле.

По условию PA=0,87

Противоположное событию A событие A – промах.

PA+PA=1PA=1-PA=1-0,87=0,13.

 

Ответ: 0,13.


Пример 4

В магазине канцтоваров продается 120 ручек, из них 15 – красных, 22 – зеленых, 
27 – фиолетовых, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит синюю или зеленую ручку.


Решение

 

Рассмотрим два несовместных события:

A – Алиса вытаскивает синюю ручку;

B – Алиса вытаскивает зеленую ручку.

Найдём количество синих ручек 120-15+22+272=28.

 

PA+B=PA+PB=28120+22120=50120=512.

 

Ответ: 512.


Пример 5

В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взятых трех телевизоров будет хотя бы один неисправный.


Решение

 

Обозначим событие A – среди взятых телевизоров нет ни одного неисправного.

Тогда A – есть хотя бы один неисправный. 

Найдём вероятность события A.

 

PA=C83C103=56120=715PA=1-PA=1-715=815.

 

Ответ: 815.


Упражнение 1

  1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что, не глядя, будет взят цветной (не белый) мячик.
  2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.
  3. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов — выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов — выигрыши по 20 рублей, на 100 билетов — выигрыши по 5 рублей, остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.


Контрольные вопросы

  1. Сформулируйте теорему о вероятности суммы двух несовместных событий.
  2. Чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий?
  3. Сформулируйте обобщение теоремы о сумме вероятностей на случай нескольких несовместных событий.


Ответы

Упражнение 1

  1. 12;
  2. 0,55 и 0,45;
  3. 0,061.

Предыдущий урок
Независимые события. Умножение вероятностей
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Следующий урок
Бином Ньютона
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
  • Уточняющие члены предложения

    Русский язык

  • База данных как модель предметной области
  • Теорема о биссектрисе треугольника

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке