Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Перестановки

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Перестановки

План урока

  • Перестановки;
  • Применение формулы перестановки при решении задач.

Цели урока

  • Знать, что такое n!;
  • Знать, что такое перестановка из n элементов;
  • Знать формулу числа перестановок из n элементов;
  • Уметь вычислять n!;
  • Уметь применять формулу числа перестановок из n элементов при решении задач.

Разминка

  1. Сколько различных двухзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 456?
  2. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 103, если цифры могут повторяться?
  3. В компьютере каждый символ (буква, цифра, специальный знак) кодируется последовательностью из 8 нулей и единиц (0 и 1). Сколько различных символов можно закодировать таким образом?

Часто на практике возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, нужно рассадить n человек на n мест или приписать каждому человеку порядковый номер. Первый человек может выбрать любое из n мест, второй — из (n-1) оставшихся мест, третий — из (n-2) мест, …, предпоследний человек выбирает из двух мест, последний человек получает последнее место.


Произведение всех целых чисел от 1 до n включительно обозначают n!

 

n!=1×2×3×...×(n-2)×(n-1)×n 


Например, 4!=1×2×3×4=247!=1×2×3×4×5×6×7=5 040.

 

Установленный в конечном множестве порядок называется перестановкой его элементов.


Перестановками из n элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

 

Число перестановок из n элементов обозначают Pn и вычисляют по формуле

 

Pn=n!


Пример 1

Найти значение выражения 7!×4!9!.


Решение

 

Так как 9!=1×2×3×4×5×6×7×8×9, а 7!=1×2×3×4×5×6×7, то 9!можно представить как 7!×8×9

 

7!×4!9!=7!×1×2×3×47!×8×9=13.

 

Ответ: 13.


Пример 2

Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди которых 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом.


Решение

 

Будем считать две книги одного автора единой книгой, «склеим» их. Количество способов расстановки полученных 7 книг на полке равно числу перестановок из 7 элементов P7=7!. Количество перестановок «склеенных» элементов P2=2!. Тогда общее число способов расстановки книг на одной полке 

 

7!×2!=10 080 способов.

 

Ответ: 10 080 способов.


Пример 3

Четыре друга  купили билеты в кино:  на 1-е и 2-е места в первом  ряду  и  на  1-е  и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами могут занять эти 4 места в кинотеатре?


Решение

 

Четыре разных друга могут занять четыре разных места в кинотеатре в количестве равном количеству перестановок P4=4!=24.

 

Ответ: 24.


Упражнение

1. Сколькими способами можно разместить 6 различных автомобилей в семи одноместных боксах?

 

2. У мамы и папы одна дочь. К ним в гости пришла другая семья — мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть 6 мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если: 

а) место хозяина дома неприкосновенно; 

б) первыми садятся мужья и они садятся рядом?

 

3. Сколько различных семизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно составить с помощью цифр 1234567 так, чтобы:

а) последней была цифра 2;

б) последней была цифра 3, а первой — цифра 5?


Контрольные вопросы

 

1. Что называют перестановкой из n элементов?

2. По какой формуле находят число перестановок из n элементов?


Ответы

Упражнение 

 

1. 5 040.

2. а) 120.           б) 288.

3. а) 720.           б)  120.


Предыдущий урок
Размещения
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Следующий урок
Вероятность события
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
  • Изображение Первой мировой войны в романе М.А.Шолохова «Тихий Дон»

    Литература

  • Понятие объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда

    Геометрия

  • Сложение вероятностей

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке