Перестановки | Алгебра 11 класс

Перестановки

План урока

Перестановки;
Применение формулы перестановки при решении задач.

Цели урока

Знать, что такое $n!$ ;
Знать, что такое перестановка из $n$ элементов;
Знать формулу числа перестановок из $n$ элементов;
Уметь вычислять $n!$ ;
Уметь применять формулу числа перестановок из $n$ элементов при решении задач.

Разминка

Сколько различных двухзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр $4$ , $5$ , $6$ ?
Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр $1$ , $0$ , $3$ , если цифры могут повторяться?
В компьютере каждый символ (буква, цифра, специальный знак) кодируется последовательностью из 8 нулей и единиц ( $0$ и $1$ ). Сколько различных символов можно закодировать таким образом?

Часто на практике возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, нужно рассадить $n$ человек на $n$ мест или приписать каждому человеку порядковый номер. Первый человек может выбрать любое из $n$ мест, второй — из $(n - 1)$ оставшихся мест, третий — из $(n - 2)$ мест, …, предпоследний человек выбирает из двух мест, последний человек получает последнее место.

Произведение всех целых чисел от $1$ до $n$ включительно обозначают $n!$

$n! = 1 \times 2 \times 3 \times . . . \times (n - 2) \times (n - 1) \times n$

Например, $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ ; $7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5 040$ .

Установленный в конечном множестве порядок называется перестановкой его элементов.

Перестановками из $n$ элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же $n$ элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

Число перестановок из $n$ элементов обозначают $P_{n}$ и вычисляют по формуле

$P_{n} = n!$

Пример 1

Найти значение выражения $\frac{7! \times 4!}{9!}$ .

Решение

Так как $9! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9$ , а $7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7$ , то $9!$ можно представить как $7! \times 8 \times 9$ .

$\frac{7! \times 4!}{9!} = \frac{7! \times 1 \times 2 \times 3 \times 4}{7! \times 8 \times 9} = \frac{1}{3}$ .

Ответ: $\frac{1}{3}$ .

Пример 2

Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди которых 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом.

Решение

Будем считать две книги одного автора единой книгой, «склеим» их. Количество способов расстановки полученных 7 книг на полке равно числу перестановок из 7 элементов $P_{7} = 7!$ . Количество перестановок «склеенных» элементов $P_{2} = 2!$ . Тогда общее число способов расстановки книг на одной полке

$7! \times 2! = 10 080$ способов.

Ответ: $10 080$ способов.

Пример 3

Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами могут занять эти 4 места в кинотеатре?

Решение

Четыре разных друга могут занять четыре разных места в кинотеатре в количестве равном количеству перестановок $P_{4} = 4! = 24$ .

Ответ: $24$ .

Упражнение

1. Сколькими способами можно разместить 6 различных автомобилей в семи одноместных боксах?

2. У мамы и папы одна дочь. К ним в гости пришла другая семья — мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть 6 мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если:

а) место хозяина дома неприкосновенно;

б) первыми садятся мужья и они садятся рядом?

3. Сколько различных семизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно составить с помощью цифр $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ так, чтобы:

а) последней была цифра $2$ ;

б) последней была цифра $3$ , а первой — цифра $5$ ?

Контрольные вопросы

1. Что называют перестановкой из $n$ элементов?

2. По какой формуле находят число перестановок из $n$ элементов?

Ответы

Упражнение

1. $5 040$ .

2. а) $120$ . б) $288$ .

3. а) $720$ . б) $120$ .

Конспект урока: Перестановки

Элементы комбинаторики и теории вероятностей