Конспект урока: События. Комбинации событий. Противоположное событие

Событие – это результат некоторого испытания. Пусть в некотором испытании произошли события $А$ и $B$. Рассмотрим комбинации этих событий.

Сумма и произведение событий

Рис. 1. а) сумма событий А и В; б) произведение событий А и В; в) событие, противоположное А

Проиллюстрируем понятия суммы и произведения событий $А$ и $B$ с помощью кругов Эйлера: большой круг обозначает все элементарные исходы, которые могут произойти при данном испытании, левый круг – событие $А$, правый круг – событие $B$, закрашенная желтым цветом область – событие $A+B$ (рис. 1а), событие $AB$ (рис. 1б). 

Пятнадцать карточек пронумерованы числами от 1 до 15. Наугад извлекается одна карточка. $А$ – на карточке записано число, кратное 2; $B$ – на карточке записано число, кратное 3. В чем состоят события $A+B$, $AB$?

Решение 

Событие $A+B$ состоит в том, что выпадет или число, кратное 2, или число, кратное 3, или одновременно кратное и 2, и 3, т.е. появится одно из десяти чисел: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 или 15. Событие $AB$ состоит в извлечении числа, кратного и 2, и 3, т.е. появление одного из двух чисел: 6 или 12. 

Ответ: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15; 

6, 12.

1. Бросают два игральных кубика. Пусть событие $А$ – на первом кубике выпало число очков, меньшее 4, событие $B$ – на втором кубике выпало число очков, кратное 3. В чем состоят события $A+B$, $AB$?
2. Из колоды карт наугад извлекают карту. Пусть событие $А$ – изъятие карты пиковой масти, $B$ – изъятие карты с цифрой. В чем состоят события $A+B$, $AB$?

Равносильные события 

Например, если испытание состоит в том, что нужно назвать двузначное число, то равносильными событиями будут: $А$ – назвали число 10; $B$ – назвали наименьшее двузначное число.

Пусть произошло событие $А$ – назвали число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Назовите событие $B$, равное $А$.

Противоположное событие 

На рис. 1в) проиллюстрирована взаимосвязь событий $А$ и $\overline{А}$ на множестве всех элементарных исходов испытания (событие $\overline{А}$ закрашено желтым цветом). 

Установить, в чем состоит событие $\overline{А}$, если событие $А$ – появление числа очков, не большего 4, при одном бросании игрального кубика. 

Решение 

Событие $А$ состоит в появлении одного из чисел 1, 2, 3 или 4. Всего элементарных исходов этого испытания – шесть: появление 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Поэтому событие $\overline{A}$ состоит в появлении одного из двух чисел: 5 или 6. 

Ответ: 5 или 6. 

Определить событие, являющееся противоположным событию: 

1) в результате бросания игрального кубика выпало нечетное число очков; 

2) хотя бы на одном из двух брошенных игральных кубиков появилось 3 очка.

Пусть $M$ и $N$ – произвольные события. Записать следующие события: 

1) произошли оба данных события; 

2) произошло только событие $N$; 

3) произошло только событие $M$; 

4) ни одно из данных событий не произошло; 

5) произошло по крайней мере одно из событий $M$ и $N$; 

6)произошло либо только событие $M$, либо только событие $N$.

Решение 

1) $A=MN$; 

2) $B=\overline{M}N$; 

3) $C=M\overline{N}$; 

4) $D=\overline{M} \overline{N}$; 

5) $E=M+N$; 

6) $S=M\overline{N}+\overline{M}N$.