Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Комбинации тел: многогранники, цилиндр, конус, шар. Задачи на объёмы тел

Комбинации тел

Комбинации тел: многогранники, цилиндр, конус, шар. Задачи на объёмы тел

План урока

  • Формулы объёмов;
  • Примеры задач на комбинации тел.

Цели урока

  • Уметь применять формулы объёмов;
  • Уметь решать задачи на комбинации тел.

Разминка

  • Объёмы каких тел – это произведение площади основания на высоту?
  • Во сколько раз изменится объём тетраэдра, если длины всех его ребер уменьшить в два раза?
  • Чему равен объём тела, ограниченного полусферой?

Задачи на комбинации тел

 

Вспомним формулы объёмов многогранников и тел вращения. 

 

Объём призмы с высотой h можно вычислить по формуле:  

 

Vпризмы=Sосн·h.

 

Формула для нахождения объёма пирамиды с высотой h имеет вид: 

 

Vпирамиды=13Sосн·h.

 

Формулы для нахождения объёма цилиндра и конуса очень похожи на предыдущие. Но если принять во внимание, что основанием цилиндра и конуса всегда является круг радиуса R с площадью S=πR2, то объёмы этих фигур вращения можно вычислить по формулам: Vцилиндра=πR2·h и Vконуса=13πR2·h, где h - высота цилиндра или конуса соответственно.

 

Объём шара радиуса R можно вычислить по формуле: 

 

Vшара=43πR3.


Пример 1

 

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9 (рис. 1). Боковые рёбра призмы равны 8. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.


Решение

Рис. 1. Прямая призма вписана в цилиндр Рис. 1. Прямая призма вписана в цилиндр

Объём цилиндра можно вычислить по формуле Vцилиндра=πR2h.

Так как призма прямая, то её высота равна длине бокового ребра, следовательно, высота цилиндра также равна 8.

Чтобы найти радиус основания, необходимо найти длину гипотезы (если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза этого треугольника является диаметром). По теореме Пифагора гипотенуза c равна:

 

c=102+92=181.

 

Тогда 

 

R=D2=c2=1812.

 

Подставим все найденные значения в формулу объёма цилиндра и вычислим:

 

Vцилиндра=π·18122·8=362π.

 

Ответ: 362π.


Упражнение 1

 

1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 1 и 10. Боковые ребра равны 6. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6,5. Найдите объем параллелепипеда.


Пример 2

 

Шар вписан в цилиндр (рис. 2). Площадь поверхности цилиндра равна 96π. Найдите объём шара.


Решение

Рис. 2. Шар вписан в цилиндр Рис. 2. Шар вписан в цилиндр

Объём шара можно вычислить по формуле Vшара=43πR3

Найдем радиус шара. Так как шар вписан в цилиндр, то радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара, т.е. h=2R.

Выразим радиус через формулу площади поверхности цилиндра:

 

Sпов=Sбок+2Sосн.

Sпов=2πRh+2πR2=2πR(h+R)=2πR(2R+R)=6πR2.

R=Sпов6π=96π6π=4.

 

Подставим значение радиуса в формулу объёма шара и вычислим его значение:

 

Vцилиндра=43π·43=256π3.

 

Ответ: 256π3.


Упражнение 2

 

1. Шар, объём которого равен 72, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

2. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объём этого шара.


Пример 3

 

Конус, высота которого равна радиусу основания, вписан в правильную четырехугольную пирамиду, объём которой равен 36. Найти объём конуса.


Решение

Рис. 3. Конус вписан в четырехугольную пирамиду Рис. 3. Конус вписан в четырехугольную пирамиду

Выразим объём конуса через радиус:

 

Vконуса=13πR2·h=13πR2·R=13πR3.

 

Основанием правильной пирамиды является квадрат, в который вписан круг (основание конуса). Значит, сторона основания пирамиды равна диаметру основания конуса, т.е. a=2R. Тогда площадь основания пирамиды равна Sосн=a2=(2R)2=4R2.

Высота пирамиды и конуса совпадают, значит, высота пирамиды тоже равна R.

Тогда формула объёма пирамиды имеет вид:

 

Vпирамиды=13Sосн·h=13·4R2·R=43R3,

 

откуда

 

R3=3Vпирамиды4=3·364=27.

 

Теперь можем найти объём конуса:

 

Vконуса=13πR3=13π·27=9π.

 

Ответ: 9π.


Упражнение 3

Рис. 4. Конус вписан Рис. 4. Конус вписан

1. Конус, высота которого равна радиусу основания, вписан в правильную треугольную пирамиду, объём которой равен 163. Найти объём конуса.

2. Конус вписан в шар (рис. 4). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 13. Найдите объём шара. 


Контрольные вопросы

 

1. В какую четырехугольную призму можно вписать шар? Почему?

2. В треугольную правильную пирамиду вписан конус с радиусом основания R и высотой h. Чему равны высота и сторона основания пирамиды?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 151,5π

2. 1098,5

 

Упражнение 2

 

1. 108

2. 36π.

 

Упражнение 3

 

1. 64π3

2. 52.

Предыдущий урок
Комбинации тел: многогранники, цилиндр, конус, шар
Комбинации тел
Следующий урок
Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Углы с вершинами внутри и вне круга
Окружность
  • Вычисление площадей с помощью интегралов

    Алгебра

  • Логические функции
  • М. Горький. «На дне». Спор о назначении человека. «Три правды» и их трагическое столкновение

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке