Комбинации тел: многогранники, цилиндр, конус, шар. Задачи на объёмы тел

План урока

Формулы объёмов;
Примеры задач на комбинации тел.

Цели урока

Уметь применять формулы объёмов;
Уметь решать задачи на комбинации тел.

Разминка

Объёмы каких тел – это произведение площади основания на высоту?
Во сколько раз изменится объём тетраэдра, если длины всех его ребер уменьшить в два раза?
Чему равен объём тела, ограниченного полусферой?

Задачи на комбинации тел

Вспомним формулы объёмов многогранников и тел вращения.

Объём призмы с высотой $h$ можно вычислить по формуле:

$V = S_{о с н} \cdot h$ .

Формула для нахождения объёма пирамиды с высотой $h$ имеет вид:

$V = \frac{1}{3} S_{о с н} \cdot h$ .

Формулы для нахождения объёма цилиндра и конуса очень похожи на предыдущие. Но если принять во внимание, что основанием цилиндра и конуса всегда является круг радиуса $R$ с площадью $S = π R^{2}$ , то объёмы этих тел вращения можно вычислить по формулам: $V = π R^{2} \cdot h$ и $V = \frac{1}{3} π R^{2} \cdot h$ соответственно, где $h$ - высота цилиндра или конуса.

Объём шара радиуса $R$ можно вычислить по формуле:

$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Пример 1

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9 (рис. 1). Боковые рёбра призмы равны 8. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение

Рис. 1. Прямая призма вписана в цилиндр

Объём цилиндра с радиусом основания $R$ можно вычислить по формуле

$V = π R^{2} h .$

Так как призма прямая, то её высота равна длине бокового ребра, следовательно, высота цилиндра также равна 8.

Чтобы найти радиус основания, необходимо найти длину гипотезы (если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза этого треугольника является диаметром). По теореме Пифагора гипотенуза $c$ равна:

$c = \sqrt{10^{2} + 9^{2}} = \sqrt{181}$ .

Тогда

$R = \frac{D}{2} = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{181}}{2}$ ,

где $D$ – диаметр основания.

Подставим все найденные значения в формулу объёма цилиндра и вычислим:

$V = π \cdot {(\frac{\sqrt{181}}{2})}^{2} \cdot 8 = 362 π$ .

Ответ: $362 π$ .

Упражнение 1

1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 1 и 10. Боковые ребра равны 6. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6,5. Найдите объем параллелепипеда.

Пример 2

Шар вписан в цилиндр (рис. 2). Площадь поверхности цилиндра равна $96 π$ . Найдите объём шара.

Решение

Рис. 2. Шар вписан в цилиндр

Объём шара можно вычислить по формуле $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Найдем радиус шара. Так как шар вписан в цилиндр, то радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара, т.е. $h = 2 R$ .

Выразим радиус через формулу площади поверхности цилиндра:

$S_{п о в} = S_{б о к} + 2 S_{о с н}$ .

$S_{п о в} = 2 π R h + 2 π R^{2} = 2 π R (h + R) = 2 π R (2 R + R) = 6 π R^{2}$ .

$R = \sqrt{\frac{S_{п о в}}{6 π}} = \sqrt{\frac{96 π}{6 π}} = 4$ .

Подставим значение радиуса в формулу объёма шара и вычислим его значение:

$V = \frac{4}{3} π \cdot 4^{3} = \frac{256 π}{3}$ .

Ответ: $\frac{256 π}{3}$ .

Упражнение 2

1. Шар, объём которого равен 72, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

2. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объём этого шара.

Пример 3

Конус, высота которого равна радиусу основания, вписан в правильную четырехугольную пирамиду, объём которой равен 36. Найдите объём конуса.

Решение

Рис. 3. Конус вписан в четырехугольную пирамиду

Выразим объём конуса через радиус:

$V = \frac{1}{3} π R^{2} \cdot h = \frac{1}{3} π R^{2} \cdot R = \frac{1}{3} π R^{3}$ .

Основанием правильной пирамиды является квадрат, в который вписан круг (основание конуса). Значит, сторона основания пирамиды равна диаметру основания конуса, т.е. $a = 2 R$ . Тогда площадь основания пирамиды равна $S_{о с н} = a^{2} = (2 R)^{2} = 4 R^{2}$ .

Высоты пирамиды и конуса совпадают, значит, высота пирамиды тоже равна $R$ .

Тогда формула объёма пирамиды примет вид:

$V = \frac{1}{3} S_{о с н} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4 R^{2} \cdot R = \frac{4}{3} R^{3}$ ,

откуда

$R^{3} = \frac{3 V}{4} = \frac{3 \cdot 36}{4} = 27$ .

Теперь можем найти объём конуса:

$V = \frac{1}{3} π R^{3} = \frac{1}{3} π \cdot 27 = 9 π$ .

Ответ: $9 π$ .

Упражнение 3

Рис. 4. Конус, вписанный в шар

1. Конус, высота которого равна радиусу основания, вписан в правильную треугольную пирамиду, объём которой равен $16 \sqrt{3}$ . Найдите объём конуса.

2. Конус вписан в шар (рис. 4). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 13. Найдите объём шара.

Контрольные вопросы

1. В какую четырехугольную призму можно вписать шар? Почему?

2. В треугольную правильную пирамиду вписан конус с радиусом основания $R$ и высотой $h$ . Чему равны высота и сторона основания пирамиды?

Ответы

Упражнение 1

1. $151, 5 π$ .

2. $1098, 5$ .

Упражнение 2

1. $108$ .

2. $36 π$ .

Упражнение 3

1. $\frac{16 π}{3}$ .

2. $52$ .

Конспект урока: Комбинации тел: многогранники, цилиндр, конус, шар. Задачи на объёмы тел

Комбинации тел

Задачи на комбинации тел