- Сфера и многогранник;
- Цилиндр и призма;
- Цилиндр и пирамида;
- Конус и призма;
- Конус и пирамида;
- Конус и цилиндр.
- Знать, что представляет собой сфера (шар), описанная около многогранника;
- Знать, что представляет собой сфера (шар), вписанная в многогранник;
- Знать, что представляет собой тело вращения, описанное около многогранника (примеры);
- Знать, что представляет собой тело вращения, вписанное в многогранник (примеры);
- Уметь решать задачи на комбинации различных геометрических тел.
- Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
- Какая окружность называется описанной около многоугольника?
В жизни мы часто встречаемся с такими объектами, которые невозможно описать с помощью какой-то одной фигуры. Поэтому возникает необходимость рассмотрения комбинации различных фигур. С этим мы сталкивались и в курсе планиметрии. Рассмотрим теперь наиболее важные комбинации различных геометрических тел в пространстве.
Сфера и многогранник
Сфера (шар) называется описанной около многогранника , если все вершины многогранника лежат на сфере (рис. 1).
Из определения следует, что центр описанной сферы равноудалён от всех вершин многогранника.
Сфера (шар) называется вписанным в многогранник , если сфера касается всех граней многогранника (рис. 2).
Центр вписанной сферы равноудалён от всех граней многогранника.
Как известно, не вокруг любого многоугольника можно описать окружность и не в любой многоугольник можно вписать окружность.
Аналогично, не вокруг любого многогранника можно описать шар и не в любой многогранник можно вписать шар.
Пример 1
Доказать, что вокруг правильной пирамиды можно описать шар и центр этого шара лежит на ее высоте.
Доказательство
Рассмотрим правильную пирамиду (рис. 3).
Проведём высоту . Прямая является осью данной правильной пирамиды. Любая точка этой оси равноудалена от вершин основания. Отметим на боковом ребре середину M и в плоскости через точку проведём прямую, перпендикулярную к прямой . Эта прямая пересечёт ось пирамиды в некоторой точке . В треугольнике отрезок является медианой и высотой. Следовательно, треугольник равнобедренный (). Таким образом, точка , лежащая на оси пирамиды равноудалена от всех вершин этой пирамиды. Причём такая точка – единственная. Значит найденная точка, лежащая на оси пирамиды, является центром шара, описанного около данной пирамиды.
Что и требовалось доказать.
Пример 2
Доказать, что в правильную пирамиду можно вписать шар и центр этого шара лежит на ее высоте.
Доказательство
Рассмотрим правильную пирамиду (рис. 4).
Проведём высоту . Прямая является осью данной правильной пирамиды. Любая точка этой оси равноудалена от боковых граней этой пирамиды. Проведём апофему грани . Биссектриса угла пересекает высоту пирамиды в некоторой точке . По свойству биссектрисы точка равноудалена от сторон угла ( и ), а значит расстояния от точки до боковой грани и до основания одинаковы. Таким образом, точка , лежащая на высоте, равноудалена от всех граней данной пирамиды. Причём такая точка единственная, а значит является центром вписанного шара.
Что и требовалось доказать.
Пример 3
Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром .
Решение
Дан правильный тетраэдр с ребром , вокруг которого описан шар (рис. 5).
Пусть – высота тетраэдра. Тогда точка является центром описанной вокруг треугольника окружности. Проведём высоту треугольника . Так как треугольник правильный, то является также медианой и биссектрисой этого треугольника.
.
Точка является центром треугольника и делит отрезок в отношении 2:1.
, .
Проведём из центра шара перпендикуляр к боковому ребру . Так как треугольник равнобедренный с основанием , то является медианой этого треугольника. Поэтому .
Треугольники и подобны, так как (прямые), (общий угол).
Из подобия треугольников и следует .
.
Ответ: .
Цилиндр и призма
Цилиндр вписан в призму , если основания цилиндра вписаны в основания призмы (рис. 6).
Цилиндр описан около призмы , если его основания описаны около оснований призмы (рис. 7).
Из определения цилиндра, вписанного в призму, следует, что цилиндр можно вписать в призму только в том случае, если можно в основание призмы вписать окружность.
То же самое касается и цилиндра, описанного около призмы. Около призмы можно описать цилиндр лишь в том случае, если можно описать окружность вокруг основания призмы.
Известно, что в любой треугольник можно вписать окружность и вокруг любого треугольника можно описать окружность. Это означает, что в любую треугольную призму можно вписать цилиндр и вокруг любой треугольной призмы можно описать цилиндр.
Пример 4
Цилиндр описан около правильной шестиугольной призмы. Найдите угол между диагональю её боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Решение
Из условия задачи следует, что боковые грани призмы – квадраты, так как сторона шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу (рис. 8). Рёбра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А угол между диагональю и стороной квадрата равен .
Ответ: .
Цилиндр и пирамида
Цилиндр вписан в пирамиду , если одно из его оснований принадлежит основанию пирамиды, а другое его основание вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной её основанию (рис. 9).
Цилиндр описан около пирамиды , если основание пирамиды вписано в одно из оснований цилиндра, а вершина пирамиды принадлежит другому основанию цилиндра (рис. 10).
Очевидно, что высота вписанного в пирамиду цилиндра меньше высоты пирамиды. Если же цилиндр описан около пирамиды, то высота цилиндра равна высоте пирамиды.
Из определений также следует, что если пирамида правильная, то в неё можно вписать цилиндр и около неё можно описать цилиндр.
Конус и призма
Конус вписан в призму , если основание конуса вписано в одно из оснований призмы, а вершина конуса принадлежит другому основанию призмы (рис. 11).
Конус описан около призмы , если вершины одного из оснований призмы лежат на поверхности конуса, а все вершины другого основания призмы принадлежат основанию конуса (рис. 12).
Вписать конус можно только в такую призму, в основание которой можно вписать окружность.
Если конус вписан в прямую призму, часть сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса, представляет собой прямоугольный треугольник, катеты которого — высота конуса (и призмы) и радиус конуса (и вписанной в основание призмы окружности), а гипотенуза — образующая конуса.
Высота конуса, описанного около призмы больше высоты призмы. Если же конус вписан в призму, то высота конуса равна высоте призмы.
Конус и пирамида
Конус вписан в пирамиду , если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды (рис. 13).
Конус описан около пирамиды , если основание конуса описано около основания пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды (рис. 14).
Конус можно вписать в пирамиду только в том случае, если можно в основание пирамиды вписать окружность.
Аналогично, около пирамиды можно описать конус лишь в том случае, если можно описать окружность вокруг основания пирамиды.
При этом как в случае вписанного в пирамиду конуса, так и в случае описанного около пирамиды конуса, высоты конуса и пирамиды совпадают.
Конус и цилиндр
Конус вписан в цилиндр , если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса совпадает с центром другого основания цилиндра (рис. 15).
Конус описан около цилиндра , если одно из оснований цилиндра касается поверхности конуса, а другое его основание принадлежит основанию конуса (рис. 16).
Очевидно, что в любой цилиндр можно вписать конус.
Оси цилиндра и вписанного в него конуса совпадают. Цилиндр и вписанный конус имеют равные высоты и радиусы.
В любой конус можно вписать бесконечное множество цилиндров (радиусы цилиндров меньше радиуса конуса).
Центры оснований конуса и цилиндра совпадают, а высоты и радиусы различаются.
Упражнение
- Найдите радиус шара, описанного около куба с ребром .
- Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы.
- В правильную шестиугольную призму вписан шар радиуса 1. Найдите сторону основания и высоту призмы.
- Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2.
Контрольные вопросы
- Какую сферу называют описанной около многогранника?
- Какую сферу называют вписанной в многогранник?
- Можно ли вокруг правильной пирамиды описать шар?
- Можно ли в правильную пирамиду вписать шар?
- Приведите примеры комбинации геометрических тел. Сделайте схематические рисунки.
Упражнение
1. .
3. , .
4. .