Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Уравнение cos x = a

Тригонометрия

Уравнение cos x=a. Арккосинус числа

План урока

  • Арккосинус числа.
  • Формула решения простейшего тригонометрического уравнения cos x=a.
  • Вычисление значений тригонометрических выражений.
  • Частные случаи решения уравнения cos x=a.
  • Решение уравнений.

Цели урока

  • Знать определение арккосинуса числа.
  • Знать формулу решения уравнения cos x=a.
  • Знать частные случаи решения уравнения cos x=a.
  • Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа cos x=a.
  • Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1 Поворот точки А(1; 0) на некоторый угол Рис. 1 Поворот точки А(1; 0) на некоторый угол

На единичной окружности отмечена точка В, абсцисса которой равна 12(Рис. 1). 

 

Найти:

  • Ординату точки В.
  • Меру угла α в радианах.
  • Координаты точки С.
  • Меры любых трех углов, на которые повернули точку А(1; 0), чтобы получить точки В и С (в радианах).
  • Все углы, на которые нужно повернуть точку А, чтобы получить точки В и С.

Решение простейшего тригонометрического уравнения cos x=a

 

Рассмотрим один из видов простейших тригонометрических  уравнений, а именно cos x=a

 

По определению, косинус угла — это абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на некоторый угол α. Значит, корни уравнения — углы поворота точки (1; 0) в точку единичной окружности с абсциссой a. Из определения следует, что cosα1. Если a>1, т. е. когда мы выйдем за пределы единичной окружности, то уравнение cos x=a корней иметь не будет. Например, уравнение  cos x=-2.


Пример 1

Решить уравнение cosx=22.


Решение

Рис. 2. Решение уравнения  1 Рис. 2. Решение уравнения  1

У точек B1 и B2 абсциссы равны 22 (Рис. 2). Помним, что 22=cosπ4. Тогда, для того, чтобы получить   точку    B1   нужно   повернуть   точку

А(1; 0) на угол x1=π4. Но в нее же можно попасть и при повороте на угол x=π4+2πk, kZ. Точка B2 получается из А(1; 0) поворотом на x2=-π4, и на углы x=-π4+2πk, kZ. Все эти формулы решений для уравнения cosx=22обычно пишут так: x=±π4+2πk, kZ.

 

Ответ: ±π4+2πk, kZ.


Пример 2

Решить уравнение cosx=-22.


Решение

Рис. 3. Решение уравнения 2 Рис. 3. Решение уравнения 2

 

У точек B1 и B2 абсциссы равны -22(Рис. 3). -22=cos3π4, значит, x1=3π4, а x2=-3π4. Тогда все решения уравнения  cosx=-22 можно задать формулой x=±3π4+2πk, kZ.

 

Ответ: ±3π4+2πk, kZ.


Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения cosx=22 и cosx=-22имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на [0;π] у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это x=π4, число π4 называют арккосинусом числа 22 (обозначают π4=arccos 22); для второго — x=3π4, называют арккосинусом числа  (-22) (обозначают 3π4=arccos(-22)).

 

Вообще говоря, уравнение cos x=a при a1 (или, другими словами, при -1a1) имеет единственный корень на отрезке [0;π], причем, если a0, то корень лежит на отрезке [0;π2] , если a<0, то на промежутке (π2;π] и этот корень называется арккосинусом числа a (arccos a).


Арккосинусом числа a , где a[-1;1] называется такое число α[0;π], косинус которого равен a:

 

arccos a=α, если cos α=a и α[0;π].


Для любого a[-1;1] справедливо равенство 

 

cos(arccos a)=a.                (1)

 

Равенство 

 

arccos(cos α)=α                (2)

 

верно только при α[0;π], хотя выражение arccos(cos α) имеет смысл при всех αR.

 

Для любого a[-1;1] верно равенство

 

arccos(-a)=π-arccos a              (3)


Все корни уравнения cos x=a, где a1, можно находить по формуле 

 

x=±arccosa+2πk, kZ.             (4)


Пример 3

Вычислить:

 

а) 12arccos32+14arccos(-22);

б) arccos(cos7π6);

в) sin(arccos0,8).


Решение

 

а) Так как 32>0, то arccos32 — число из промежутка [0;π2], косинус которого равен 32. Значит, arccos32=π6.

 

-22<0, отсюда arccos(-22) лежит в промежутке (π2;π], тогда arccos(-22)=π-arccos22=π-π4=3π4.

 

Подставим найденные значения в исходное выражение: 12arccos32+14arccos(-22)=12×π6+14×3π4=13π48.

 

б) Воспользоваться формулой (2) мы здесь не можем, т. к.  7π6[0;π]. Поэтому нужно найти число из [0;π], косинус которого будет равен cos7π6. Так как cos(π+α)=cos(π-α) (можно доказать, применив формулы косинусы суммы и разности аргументов), то cos7π6=cos(π+π6)=cos(π-π6)=cos5π6, где 5π6[0;π].  Тогда arccos(cos7π6)=5π6.

 

в) Пусть arccos0,8=x, отсюда по определению арккосинуса числа cosx=0,8, x[0;π]. Тогда с новыми обозначениями нужно найти sinx, где x[0;π]. По  следствию из основного тригонометрического тождества, с учетом того, что x лежит в I или II четверти, в которых синус угла положительный  sinx=1-cos2x=1-0,64=0,6.

 

Ответ: а) 13π48;

              б)5π6;

              в)0,6.


Упражнение 1

Вычислить:

 

1. 2arccos(-1)+5arccos1;

2. 12arccos(-12)+18arccos0;

3. sin(π2+arccos37).


Частные случаи решения уравнения cos x=a

 

Применим формулу (4) к простейшему тригонометрическому уравнению cos x=a, когда a=0, a=1, a=-1.

 

cosx=0,             x=π2+πk, kZ,          (5)

cosx=1,             x=2πk, kZ,                  (6)

cosx=-1,         x=π+2πk, kZ.          (7)

 

Формулы (5)–(7) называют частными случаями решения уравнения cos x=a.


Пример 4

а) 3cosx=1;

б) cos(2x+π3)=0;

в) 4cos2x-3=0.


Решение

Рис. 4 Диаметрально противоположные точки Рис. 4 Диаметрально противоположные точки

а) Разделим обе части уравнения на 3: cosx=13, откуда по формуле (4) найдем корни x=±arccos13+2πk, kZ.

 

б) По формуле (5) имеем 2x+π3=π2+πk, kZ,  откуда 2x=π6+πk, kZ. Выразим x: x=π12+πk2, kZ.

 

в) Так как cos2x=34, то cosx=32 или cosx=-32.  Решением первого уравнения является множество корней x=±π6+2πk, kZ, второго — x=±5π6+2πk, kZ. По рис. 4 можно заметить, что π6 и -5π6-π6 и 5π6 диаметрально противоположные точки, тогда эти множества решений можно объединить x=±π6+πk, kZ.

 

Ответ: а)±arccos13+2πk, kZ.

              б) π12+πk2, kZ;

              в) ±π6+πk, kZ.


Упражнение 2

Решить уравнение:

 

1. cosx3=0;

2. 2cos2x-1=0,5;

3. 2cos(π6+2x)=-1.


Контрольные вопросы

 

1. С помощью единичной окружности решить уравнение cosx=-32.

2. Покажите на единичной окружности точки, соответствующие корням уравнения cosx=-0,4.

3. Найдите решения уравнения cosx=-12 на промежутке [-3π;π]. 


Ответы

Упражнение 1

 

1. 2π.

2. 19π48.

3. 37.

 

 

Упражнение 2

 

1. 3π2+3πn, nZ.

2. ±π6+πk, kZ.

3. π4+πn, nZ; -5π12+πk, kZ.

Предыдущий урок
Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат
Тригонометрия
Следующий урок
Уравнение tg x = a
Тригонометрия
  • Writing a story. Написание истории

    Английский язык

  • А.К. Толстой. Основные темы, мотивы и образы поэзии А.К. Толстого.

    Литература

  • Семейное право

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке