Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Алгебра 10 класс Алгебра 10 класс

Конспект урока: Уравнение cos x = a

Тригонометрия

18.01.2025

2864

Уравнение cos x=a. Арккосинус числа

План урока

Арккосинус числа.
Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $\cos x = a$ .
Вычисление значений тригонометрических выражений.
Частные случаи решения уравнения $\cos x = a$ .
Решение уравнений.

Цели урока

Знать определение арккосинуса числа.
Знать формулу решения уравнения $\cos x = a$ .
Знать частные случаи решения уравнения $\cos x = a$ .
Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа $\cos x = a$ .
Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1 Поворот точки А(1; 0) на некоторый угол

На единичной окружности отмечена точка В, абсцисса которой равна $\frac{1}{2}$ (Рис. 1).

Найти:

Ординату точки В.
Меру угла $α$ в радианах.
Координаты точки С.
Меры любых трех углов, на которые повернули точку А(1; 0), чтобы получить точки В и С (в радианах).
Все углы, на которые нужно повернуть точку А, чтобы получить точки В и С.

Решение простейшего тригонометрического уравнения $c o s x = a$

Рассмотрим один из видов простейших тригонометрических уравнений, а именно $\cos x = a$ .

По определению, косинус угла — это абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на некоторый угол $α$ . Значит, корни уравнения — углы поворота точки (1; 0) в точку единичной окружности с абсциссой $a$ . Из определения следует, что $|\cos α| \leq 1 .$ Если $|a| > 1,$ т. е. когда мы выйдем за пределы единичной окружности, то уравнение $\cos x = a$ корней иметь не будет. Например, уравнение $\cos x = - 2$ .

Пример 1

Решить уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Решение

Рис. 2. Решение уравнения 1

У точек $B_{1}$ и $B_{2}$ абсциссы равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (Рис. 2). Помним, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{π}{4} .$ Тогда, для того, чтобы получить точку $B_{1}$ нужно повернуть точку

А(1; 0) на угол $x_{1} = \frac{π}{4} .$ Но в нее же можно попасть и при повороте на угол $x = \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z .$ Точка $B_{2}$ получается из А(1; 0) поворотом на $x_{2} = - \frac{π}{4},$ и на углы $x = - \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z .$ Все эти формулы решений для уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ обычно пишут так: $x = \pm \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z .$

Ответ: $\pm \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z .$

Пример 2

Решить уравнение $\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Решение

Рис. 3. Решение уравнения 2

У точек $B_{1}$ и $B_{2}$ абсциссы равны $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ (Рис. 3). $- \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{3 π}{4},$ значит, $x_{1} = \frac{3 π}{4},$ а $x_{2} = - \frac{3 π}{4} .$ Тогда все решения уравнения $\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ можно задать формулой $x = \pm \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z .$

Ответ: $\pm \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z .$

Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на $[0; π]$ у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это $x = \frac{π}{4},$ число $\frac{π}{4}$ называют арккосинусом числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (обозначают $\frac{π}{4} = a r c \cos \frac{\sqrt{2}}{2}$ ); для второго — $x = \frac{3 π}{4},$ называют арккосинусом числа ( $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ) (обозначают $\frac{3 π}{4} = a r c \cos (- \frac{\sqrt{2}}{2})) .$

Вообще говоря, уравнение $\cos x = a$ при $|a| \leq 1$ (или, другими словами, при $- 1 \leq a \leq 1$ ) имеет единственный корень на отрезке $[0; π]$ , причем, если $a \geq 0,$ то корень лежит на отрезке $[0; \frac{π}{2}]$ , если $a < 0$ , то на промежутке $(\frac{π}{2}; π]$ и этот корень называется арккосинусом числа $a (a r c \cos a) .$

Арккосинусом числа a, где $a \in [- 1; 1]$ называется такое число $α \in [0; π]$ , косинус которого равен a:

$\arccos a = α$ , если $\cos α = a$ и $α \in [0; π]$ .

Для любого $a \in [- 1; 1]$ справедливо равенство

$\cos (\arccos a) = a$ . (1)

Равенство

$\arccos (\cos α) = α$ (2)

верно только при $α \in [0; π],$ хотя выражение $\arccos (\cos α)$ имеет смысл при всех $α \in R .$

Для любого $a \in [- 1; 1]$ верно равенство

$\arccos (- a) = π - \arccos a$ (3)

Все корни уравнения $\cos x = a$ , где $|a| \leq 1$ , можно находить по формуле

$x = \pm a r c \cos a + 2 π k, k \in Z$ . (4)

Пример 3

Вычислить:

а) $\frac{1}{2} a r c \cos \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} a r c \cos (- \frac{\sqrt{2}}{2});$

б) $a r c \cos (\cos \frac{7 π}{6});$

в) $\sin (a r c \cos 0, 8) .$

Решение

а) Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ , то $a r c \cos \frac{\sqrt{3}}{2}$ — число из промежутка $[0; \frac{π}{2}],$ косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2} .$ Значит, $a r c \cos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{6} .$

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < 0,$ отсюда $a r c \cos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ лежит в промежутке $(\frac{π}{2}; π],$ тогда $a r c \cos (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = π - a r c \cos \frac{\sqrt{2}}{2} = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} .$

Подставим найденные значения в исходное выражение: $\frac{1}{2} a r c \cos \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} a r c \cos (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{π}{6} + \frac{1}{4} \times \frac{3 π}{4} = \frac{13 π}{48} .$

б) Воспользоваться формулой (2) мы здесь не можем, т. к. $\frac{7 π}{6} \notin [0; π] .$ Поэтому нужно найти число из $[0; π],$ косинус которого будет равен $\cos \frac{7 π}{6} .$ Так как $\cos (π + α) = \cos (π - α)$ (можно доказать, применив формулы косинусы суммы и разности аргументов), то $\cos \frac{7 π}{6} = \cos (π + \frac{π}{6}) = \cos (π - \frac{π}{6}) = \cos \frac{5 π}{6}$ , где $\frac{5 π}{6} \in [0; π] .$ Тогда $a r c \cos (\cos \frac{7 π}{6}) = \frac{5 π}{6} .$

в) Пусть $a r c c o s 0, 8 = x,$ отсюда по определению арккосинуса числа $\cos x = 0, 8, x \in [0; π] .$ Тогда с новыми обозначениями нужно найти $\sin x,$ где $x \in [0; π] .$ По следствию из основного тригонометрического тождества, с учетом того, что x лежит в I или II четверти, в которых синус угла положительный $\sin x = \sqrt{1 - \cos^{2} x} = \sqrt{1 - 0, 64} = 0, 6 .$

Ответ: а) $\frac{13 π}{48};$

б) $\frac{5 π}{6};$

в)0,6.

Упражнение 1

Вычислить:

1. $2 a r c \cos (- 1) + 5 a r c \cos 1;$

2. $\frac{1}{2} a r c \cos (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} a r c \cos 0;$

3. $\sin (\frac{π}{2} + a r c \cos \frac{3}{7}) .$

Частные случаи решения уравнения $c o s x = a$

Применим формулу (4) к простейшему тригонометрическому уравнению $\cos x = a$ , когда $a = 0, a = 1, a = - 1$ .

$\cos x = 0,$ $x = \frac{π}{2} + π k, k \in Z,$ (5)

$\cos x = 1,$ $x = 2 π k, k \in Z,$ (6)

$\cos x = - 1,$ $x = π + 2 π k, k \in Z .$ (7)

Формулы (5)–(7) называют частными случаями решения уравнения $\cos x = a$ .

Пример 4

а) $3 \cos x = 1;$

б) $\cos (2 x + \frac{π}{3}) = 0;$

в) $4 \cos^{2} x - 3 = 0 .$

Решение

Рис. 4 Диаметрально противоположные точки

а) Разделим обе части уравнения на 3: $\cos x = \frac{1}{3},$ откуда по формуле (4) найдем корни $x = \pm a r c \cos \frac{1}{3} + 2 π k, k \in Z .$

б) По формуле (5) имеем $2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + π k, k \in Z,$ откуда $2 x = \frac{π}{6} + π k, k \in Z .$ Выразим x: $x = \frac{π}{12} + \frac{π k}{2}, k \in Z .$

в) Так как $\cos^{2} x = \frac{3}{4}$ , то $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Решением первого уравнения является множество корней $x = \pm \frac{π}{6} + 2 π k, k \in Z,$ второго — $x = \pm \frac{5 π}{6} + 2 π k, k \in Z .$ По рис. 4 можно заметить, что $\frac{π}{6}$ и $- \frac{5 π}{6}$ , $- \frac{π}{6}$ и $\frac{5 π}{6}$ диаметрально противоположные точки, тогда эти множества решений можно объединить $x = \pm \frac{π}{6} + π k, k \in Z .$