Конспект урока: Уравнение cos x = a

План урока

• Арккосинус числа.
• Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $\cos x=a$.
• Вычисление значений тригонометрических выражений.
• Частные случаи решения уравнения $\cos x=a$.
• Решение уравнений.

Цели урока

• Знать определение арккосинуса числа.
• Знать формулу решения уравнения $\cos x=a$.
• Знать частные случаи решения уравнения $\cos x=a$.
• Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа $\cos x=a$.
• Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1 Поворот точки А(1; 0) на некоторый угол

На единичной окружности отмечена точка В, абсцисса которой равна $\frac{1}{2}$(Рис. 1). 

 

Найти:

• Ординату точки В.
• Меру угла $\alpha$ в радианах.
• Координаты точки С.
• Меры любых трех углов, на которые повернули точку А(1; 0), чтобы получить точки В и С (в радианах).
• Все углы, на которые нужно повернуть точку А, чтобы получить точки В и С.

Решение простейшего тригонометрического уравнения $\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{=}\mathit{a}$

Рассмотрим один из видов простейших тригонометрических  уравнений, а именно $\cos x=a$. 

По определению, косинус угла — это абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на некоторый угол $\alpha$. Значит, корни уравнения — углы поворота точки (1; 0) в точку единичной окружности с абсциссой $a$. Из определения следует, что $\left|\cos \alpha \right|\le 1.$ Если $\left|a\right|>1,$ т. е. когда мы выйдем за пределы единичной окружности, то уравнение $\cos x=a$ корней иметь не будет. Например, уравнение  $\cos x=-2$.

Решить уравнение $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Решение

Рис. 2. Решение уравнения  1

У точек $B_1$ и $B_2$ абсциссы равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (Рис. 2). Помним, что $\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}.$ Тогда, для того, чтобы получить   точку    $B_1$   нужно   повернуть   точку

А(1; 0) на угол $x_1=\frac{\pi }{4}.$ Но в нее же можно попасть и при повороте на угол $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$ Точка $B_2$ получается из А(1; 0) поворотом на $x_2=-\frac{\pi }{4},$ и на углы $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$ Все эти формулы решений для уравнения $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$обычно пишут так: $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$

 

Ответ: $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$

Решить уравнение $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Решение

Рис. 3. Решение уравнения 2

 

У точек $B_1$ и $B_2$ абсциссы равны $-\frac{\sqrt{2}}{2}$(Рис. 3). $-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4},$ значит, $x_1=\frac{3\pi }{4},$ а $x_2=-\frac{3\pi }{4}.$ Тогда все решения уравнения  $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ можно задать формулой $x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$

 

Ответ: $\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$

Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на $[0;\pi ]$ у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это $x=\frac{\pi }{4},$ число $\frac{\pi }{4}$ называют арккосинусом числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (обозначают $\frac{\pi }{4}=arc\cos \frac{\sqrt{2}}{2}$); для второго — $x=\frac{3\pi }{4},$ называют арккосинусом числа  ($-\frac{\sqrt{2}}{2}$) (обозначают $\frac{3\pi }{4}=arc\cos (-\frac{\sqrt{2}}{2})).$

Вообще говоря, уравнение $\cos x=a$ при $\left|a\right|\le 1$ (или, другими словами, при $-1\le a\le 1$) имеет единственный корень на отрезке $[0;\pi ]$, причем, если $a\ge 0,$ то корень лежит на отрезке $[0;\frac{\pi }{2}]$ , если $a<0$, то на промежутке $(\frac{\pi }{2};\pi ]$ и этот корень называется арккосинусом числа $a (arc\cos a).$

Вычислить:

а) $\frac{1}{2}arc\cos \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4}arc\cos (-\frac{\sqrt{2}}{2});$

б) $arc\cos \left(\cos \frac{7\pi }{6}\right);$

в) $\sin (arc\cos 0,8).$

Решение

а) Так как $\frac{\sqrt{3}}{2}>0$, то $arc\cos \frac{\sqrt{3}}{2}$ — число из промежутка $[0;\frac{\pi }{2}],$ косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Значит, $arc\cos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}.$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}<0,$ отсюда $arc\cos (-\frac{\sqrt{2}}{2})$ лежит в промежутке $(\frac{\pi }{2};\pi ],$ тогда $arc\cos (-\frac{\sqrt{2}}{2})=\pi -arc\cos \frac{\sqrt{2}}{2}=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}.$

Подставим найденные значения в исходное выражение: $\frac{1}{2}arc\cos \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4}arc\cos (-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}\times \frac{\pi }{6}+\frac{1}{4}\times \frac{3\pi }{4}=\frac{13\pi }{48}.$

б) Воспользоваться формулой (2) мы здесь не можем, т. к.  $\frac{7\pi }{6}\notin [0;\pi ].$ Поэтому нужно найти число из $[0;\pi ],$ косинус которого будет равен $\cos \frac{7\pi }{6}.$ Так как $\cos (\pi +\alpha )=\cos (\pi -\alpha )$ (можно доказать, применив формулы косинусы суммы и разности аргументов), то $\cos \frac{7\pi }{6}=\cos (\pi +\frac{\pi }{6})=\cos (\pi -\frac{\pi }{6})=\cos \frac{5\pi }{6}$, где $\frac{5\pi }{6}\in [0;\pi ].$  Тогда $arc\cos \left(\cos \frac{7\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}.$

в) Пусть $arccos0,8=x,$ отсюда по определению арккосинуса числа $\cos x=0,8, x\in [0;\pi ].$ Тогда с новыми обозначениями нужно найти $\sin x,$ где $x\in [0;\pi ].$ По  следствию из основного тригонометрического тождества, с учетом того, что x лежит в I или II четверти, в которых синус угла положительный  $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-0,64}=0,6.$

Ответ: а) $\frac{13\pi }{48};$

              б)$\frac{5\pi }{6};$

              в)0,6.

Вычислить:

1. $2arc\cos (-1)+5arc\cos 1;$

2. $\frac{1}{2}arc\cos (-\frac{1}{2})+\frac{1}{8}arc\cos 0;$

3. $\sin (\frac{\pi }{2}+arc\cos \frac{3}{7}).$

Частные случаи решения уравнения $\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{=}\mathit{a}$

Применим формулу (4) к простейшему тригонометрическому уравнению $\cos x=a$, когда $a=0, a=1, a=-1$.

$\cos x=0,$            $x=\frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z,$          (5)

$\cos x=1,$            $x=2\pi k, k\in Z,$                  (6)

$\cos x=-1,$        $x=\pi +2\pi k, k\in Z.$          (7)

Формулы (5)–(7) называют частными случаями решения уравнения $\cos x=a$.

а) $3\cos x=1;$

б) $\cos (2x+\frac{\pi }{3})=0;$

в) $4{\cos }^{2}x-3=0.$

Решение

Рис. 4 Диаметрально противоположные точки

а) Разделим обе части уравнения на 3: $\cos x=\frac{1}{3},$ откуда по формуле (4) найдем корни $x=\pm arc\cos \frac{1}{3}+2\pi k, k\in Z.$

 

б) По формуле (5) имеем $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z,$ откуда $2x=\frac{\pi }{6}+\pi k, k\in Z.$ Выразим x: $x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{2}, k\in Z.$

 

в) Так как ${\cos }^{2}x=\frac{3}{4}$, то $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$  Решением первого уравнения является множество корней $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k, k\in Z,$ второго — $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k, k\in Z.$ По рис. 4 можно заметить, что $\frac{\pi }{6}$ и $-\frac{5\pi }{6}$, $-\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$ диаметрально противоположные точки, тогда эти множества решений можно объединить $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k, k\in Z.$

 

Ответ: а)$\pm arc\cos \frac{1}{3}+2\pi k, k\in Z.$

              б) $\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{2}, k\in Z;$

              в) $\pm \frac{\pi }{6}+\pi k, k\in Z.$

Решить уравнение:

1. $\cos \frac{x}{3}=0;$

2. $2{\cos }^{2}x-1=0,5;$

3. $2\cos (\frac{\pi }{6}+2x)=-1.$