Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение простейших тригонометрических неравенств. Уравнения, содержащие ограничения по ОДЗ

Тригонометрия

Решение простейших тригонометрических неравенств. Уравнения, содержащие ограничения по ОДЗ

План урока

  • Решение простейших тригонометрических неравенств на конкретных примерах.
  • Решение тригонометрических уравнений, содержащих ограничения по ОДЗ.

Цели урока

  • Знать алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.
  • Знать вид тригонометрических уравнений, содержащих ограничения по ОДЗ.
  • Уметь решать простейшие тригонометрические неравенства.
  • Уметь решать тригонометрические уравнения с ограничениями по ОДЗ.

Разминка

Решить уравнение:

 

1. tgx3=32;

2. sin(3x4+π3)+1=0;

3. 2cos(2x3+π4)=1.

 

В предыдущих параграфах мы рассматривали различные типы тригонометрических уравнений. Все они, в конечном итоге, сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений. Есть еще один тип тригонометрических уравнений, в которых есть ограничения по ОДЗ. Напомним, что областью допустимых значений выражения называются такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. 

 

Простейшие тригонометрические неравенства


Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции называется   тригонометрическим неравенством .


К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся неравенства вида sinx<a, cosx<a, tgx<a, ctgx<a (вместо знака < может быть любой из >, , ). Здесь x является неизвестным, aR.


Пример 1

Решить неравенство cosx>32.


Рис. 1. Графическая интерпретация неравенства 1 Рис. 1. Графическая интерпретация неравенства 1

Решение

 

Косинус угла  a — абсцисса точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1; 0) на угол a У двух точек В и С единичной окружности абсциссы равны 32 (Рис. 1). Для того, чтобы получить точку В, нужно повернуть А(1; 0) на углы π6+2πn, nZ, точку С — на углы -π6+2πn, nZ. У всех точек дуги единичной окружности, лежащей правее прямой ВС, абсциссы больше, чем 32. Тогда решением исходного неравенства является дуга СВ, значит, -π6+2πn<x<π6+2πn, nZ.

 

Ответ: (-π6+2πn<x<π6+2πn), nZ.


Пример 2

Решить неравенство cos(2x+π6)-22.


Рис. 2. Графическая интерпретация неравенства 2 Рис. 2. Графическая интерпретация неравенства 2

Решение

 

Пусть 2x+π6=t. Решим неравенство cost-22. Решением этого неравенства будут все точки дуги ВС (Рис. 2), т. е. 3π4+2πkt5π4+2πk, kZ. Вернемся к исходной переменной:

3π4+2πk2x+π65π4+2πk, kZ.

Отсюда 7π12+2πk2x13π12+2πk, kZ и 7π24+πkx13π24+πk, kZ.

 

Ответ: [7π24+πk;13π24+πk], kZ.


Пример 3

Решить неравенство sinx12.


Рис. 3. Графическая интерпретация неравенства 3 Рис. 3. Графическая интерпретация неравенства 3

Решение

 

По определению синус угла — это ордината точки, полученной при повороте точки А(1; 0) на этот угол. Две точки окружности В и С имеют ординаты, равные 12 (Рис. 3). Точка В получена поворотом точки А на угол π-π6=5π6 или на углы 5π6+2πk, kZ. Точка С — на углы 13π6+2πk, kZ.Решением исходного неравенства являются все точки окружности, лежащие ниже прямой ВС, т. к. они все имеют ординаты, меньшие 12. Тогда решение неравенства — интервалы [5π6+2πk;  13π6+2πk], kZ.

 

Ответ: [5π6+2πk;  13π6+2πk], kZ.


Пример 4

Решить неравенство -5sinx+cos2x<3.


Решение

 

К левой части неравенства применим формулы косинуса двойного угла и следствие из основного тригонометрического тождества, перенесем слагаемое из правой части неравенства в левую:

-5sinx+cos2x-sin2x-3<0,

2sin2x+5sinx+2>0.

Пусть sinx=t, тогда неравенство примет вид:

2t2+5t+2>0, откуда t<-2 или t>-12.

Вернемся к исходной переменной:

sinx<-2 или sinx>-12. Первое неравенство решений не имеет, т. к. sinx1, решение второго — (-π6+2πn; 7π6+2πn), nZ.

 

Ответ: (-π6+2πn; 7π6+2πn), nZ.


Упражнение 1

Решить неравенство:

 

1. 2sin2x+cosx-1<0;

2. 2sin(x3+π4)1;

3. 0,5sin4x<-0,2.


Пример 5

Решить уравнение  2sinx+12cosx+3=0.


Рис. 4. Область допустимых значений выражения 5 Рис. 4. Область допустимых значений выражения 5

Решение

 

Левая часть уравнения — дробное выражение, а дробь имеет смысл тогда, когда знаменатель отличен от нуля. Тогда ОДЗ: 2cosx+30cosx-32x±5π6+2πn, nZ. 

«Выколем» эти точки на числовой окружности (Рис. 4).

Приравняем к нулю числитель левой части: 2sinx+1=0sinx=-12, откуда x=-π6+2πk, kZ или x=-5π6+2πm, mZ. Видим, что второе множество решений не удовлетворяет ОДЗ уравнения, тогда решением является x=-π6+2πk, kZ.

 

Ответ: -π6+2πk, kZ.


Пример 6

Решить уравнение  sinx(2sinx-3ctgx)=3.


Решение

 

По определению котангенс угла — отношение косинуса угла к его синусу, тогда левая часть равенства имеет смысл в каждой точке окружности, кроме тех, в которых sinx=0, т. е. ОДЗ: xπn, nZ.

 

Раскроем скобки в левой части уравнения, применив определение котангенса, следствие из основного тригонометрического тождества, перенесем слагаемое из правой части в левую:

2-2cos2x-3sinx×cosxsinx-3=0,

2cos2x+3cosx+1=0.

Пусть cosx=t, тогда уравнение примет вид: 2t2+3t+1=0, откуда t1=-12, t2=-1. Вернемся к исходной переменной: cosx=-12, cosx=-1. Решением первого уравнения является x=±2π3+2πk, kZ, второго — x=π+2πm, mZ. С учетом ОДЗ уравнения решение — x=±2π3+2πk, kZ.

 

Ответ: x=±2π3+2πk, kZ.


Упражнение 2

Решить уравнение:

 

1. (2cosx+1)(-sinx-1)=0;

2. (sin2x-sinx)(2+-2ctgx)=0.


Контрольные вопросы

 

  1. Опишите алгоритм решения простейшего тригонометрического неравенства.
  2. При каких значениях переменной имеет смысл дробное выражение? Арифметический квадратный корень? Логарифмическое выражение? Показательное выражение?


Ответы

Упражнение 1

 

1. (2π3+2πn; 4π3+2πn), nZ.

2. 6πkx3π2+6πk, kZ.

3. -π4+14arcsin25+πn2<x<-14arcsin25+πn2, nZ.

 

 

Упражнение 2

 

1. -π2+2πk, kZ; -2π3+2πn, nZ.

2. -π3+2πk, kZ.


Предыдущий урок
Однородные тригонометрические уравнения. Метод введения вспомогательного аргумента
Тригонометрия
Следующий урок
Решение тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Разложение на множители
Тригонометрия
  • Правописание глаголов

    Русский язык

  • Гражданское право

    Обществознание

  • Правописание сложных существительных

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке