Конспект урока: Решение простейших тригонометрических неравенств. Уравнения, содержащие ограничения по ОДЗ

В предыдущих параграфах мы рассматривали различные типы тригонометрических уравнений. Все они, в конечном итоге, сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений. Есть еще один тип тригонометрических уравнений, в которых есть ограничения по ОДЗ. Напомним, что областью допустимых значений выражения называются такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. 

Но для начала познакомимся с тригонометрическими неравнествами.

Простейшие тригонометрические неравенства

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся неравенства вида $\sin x<a, \cos x<a, tgx<a, ctgx<a$ (вместо знака $<$ может быть любой из $>, \ge , \le$). Здесь $x$ является неизвестным, $a\in R.$

Решить неравенство $\cos x>\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Рис. 1. Графическая интерпретация неравенства 1

Решение

 

Косинус угла  $\alpha$ — абсцисса точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1; 0) на угол $\alpha$.  У двух точек В и С единичной окружности абсциссы равны $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (Рис. 1). Для того, чтобы получить точку В, нужно повернуть А(1; 0) на углы $\frac{\pi }{6}+2\pi n, n\in Z,$ точку С — на углы $-\frac{\pi }{6}+2\pi n, n\in Z.$ У всех точек дуги единичной окружности, лежащей правее прямой ВС, абсциссы больше, чем $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда решением исходного неравенства является дуга СВ, значит, $-\frac{\pi }{6}+2\pi n<x<\frac{\pi }{6}+2\pi n, n\in Z.$

 

Ответ: $(-\frac{\pi }{6}+2\pi n; \frac{\pi }{6}+2\pi n), n\in Z.$

Решить неравенство $\cos (2x+\frac{\pi }{6})\le -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Рис. 2. Графическая интерпретация неравенства 2

Решение

 

Пусть $2x+\frac{\pi }{6}=t.$ Решим неравенство $\cos t\le -\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Решением этого неравенства будут все точки дуги ВС (Рис. 2), т. е. $\frac{3\pi }{4}+2\pi k\le t\le \frac{5\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$ Вернемся к исходной переменной:

$\frac{3\pi }{4}+2\pi k\le 2x+\frac{\pi }{6}\le \frac{5\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$

Отсюда $\frac{7\pi }{12}+2\pi k\le 2x\le \frac{13\pi }{12}+2\pi k, k\in Z$ и $\frac{7\pi }{24}+\pi k\le x\le \frac{13\pi }{24}+\pi k, k\in Z.$

 

Ответ: $[\frac{7\pi }{24}+\pi k;\frac{13\pi }{24}+\pi k], k\in Z.$

Решить неравенство $\sin x\le \frac{1}{2}.$

Рис. 3. Графическая интерпретация неравенства 3

Решение

 

По определению синус угла — это ордината точки, полученной при повороте точки А(1; 0) на этот угол. Две точки окружности В и С имеют ординаты, равные $\frac{1}{2}$ (Рис. 3). Точка В получена поворотом точки А на угол $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ или на углы $\frac{5\pi }{6}+2\pi k, k\in Z.$ Точка С — на углы $\frac{13\pi }{6}+2\pi k, k\in Z.$Решением исходного неравенства являются все точки окружности, лежащие ниже прямой ВС, т. к. они все имеют ординаты, меньшие $\frac{1}{2}$. Тогда решение неравенства — интервалы $[\frac{5\pi }{6}+2\pi k; \frac{13\pi }{6}+2\pi k], k\in Z.$

 

Ответ: $[\frac{5\pi }{6}+2\pi k; \frac{13\pi }{6}+2\pi k], k\in Z.$

Решить неравенство $-5\sin x+\cos 2x<3.$

Решение

К левой части неравенства применим формулы косинуса двойного угла и следствие из основного тригонометрического тождества, перенесем слагаемое из правой части неравенства в левую:

$-5\sin x+{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x-3<0,$

$2{\sin }^{2}x+5\sin x+2>0.$

Пусть $\sin x=t,$тогда неравенство примет вид:

$2t^2+5t+2>0,$ откуда $t<-2$ или $t>-\frac{1}{2}.$

Вернемся к исходной переменной:

$\sin x<-2$ или $\sin x>-\frac{1}{2}.$ Первое неравенство решений не имеет, т. к. $\left|\sin x\right|\le 1,$ решение второго — $(-\frac{\pi }{6}+2\pi n; \frac{7\pi }{6}+2\pi n), n\in Z.$

Ответ: $(-\frac{\pi }{6}+2\pi n; \frac{7\pi }{6}+2\pi n), n\in Z.$

Решить неравенство:

1. $2{\sin }^{2}x+\cos x-1<0;$

2. $\sqrt{2}\sin (\frac{x}{3}+\frac{\pi }{4})\ge 1;$

3. $0,5\sin 4x<-0,2.$

Решить уравнение  $\frac{2\sin x+1}{2\cos x+\sqrt{3}}=0.$

Рис. 4. Область допустимых значений выражения из примера 5

Решение

 

Левая часть уравнения — дробное выражение, а дробь имеет смысл тогда, 
когда знаменатель отличен от нуля. Тогда ОДЗ: $2\cos x+\sqrt{3}\ne 0$, $\cos x\ne -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x\ne \pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in Z.$ 

«Выколем» эти точки на числовой окружности (Рис. 4).

Приравняем к нулю числитель левой части: $2\sin x+1=0$, $\sin x=-\frac{1}{2}$, откуда $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k, k\in Z$ или $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi m, m\in Z.$ Видим, что второе множество решений не удовлетворяет ОДЗ уравнения, тогда решением является $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k, k\in Z.$

 

Ответ: $-\frac{\pi }{6}+2\pi k, k\in Z.$

Решить уравнение  $\sin x(2\sin x-3ctgx)=3.$

Решение

По определению котангенс угла — отношение косинуса угла к его синусу, тогда левая часть равенства имеет смысл в каждой точке окружности, кроме тех, в которых $\sin x=0,$ т. е. ОДЗ: $x\ne \pi n, n\in Z.$

Раскроем скобки в левой части уравнения, применив определение котангенса, следствие из основного тригонометрического тождества, перенесем слагаемое из правой части в левую:

$2-2{\cos }^{2}x-3\sin x\times \frac{\cos x}{\sin x}-3=0,$

$2{\cos }^{2}x+3\cos x+1=0.$

Пусть $\cos x=t,$ тогда уравнение примет вид: $2t^2+3t+1=0,$ откуда $t_1=-\frac{1}{2}, t_2=-1.$ Вернемся к исходной переменной: $\cos x=-\frac{1}{2}, \cos x=-1.$ Решением первого уравнения является $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k, k\in Z,$ второго — $x=\pi +2\pi m, m\in Z.$ С учетом ОДЗ уравнения решение — $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k, k\in Z.$

Ответ: $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k, k\in Z.$

Решить уравнение:

1. $(2\cos x+1)(\sqrt{-\sin x}-1)=0;$

2. $(\sin 2x-\sin x)(\sqrt{2}+\sqrt{-2ctgx})=0.$