Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
10 класс
Алгебра
Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Алгебра 10 класс Алгебра 10 класс

Конспект урока: Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Тригонометрия

05.07.2025

2408

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

План урока

Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
Применение формул суммы и разности синусов и косинусов.
Формулы преобразования произведения в сумму или разность.
Применение формул преобразования произведения в сумму или разность.

Цели урока

Знать формулы суммы и разности синусов, косинусов, формулы преобразования произведения в сумму или разность.
Уметь применять эти формулы при преобразовании тригонометрических выражений.

Разминка

1. Представьте в виде суммы синусов выражения $\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x, 1 + \sin x .$

2. Представьте в виде суммы косинусов выражение $\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} .$

3. Выразите $\cos^{4} x - \sin^{4} x$ через $\cos 2 x$ .

4. Разложите на множители $\cos 2 x - \cos x + 1 .$

5. Вспомните формулы синуса суммы и разности аргументов, косинуса суммы и разности аргументов.

При решении уравнений часто используют метод разложения на множители. Рассмотрим формулы, позволяющие это сделать с суммой или разностью синусов или косинусов.

Пусть дано выражение $\sin (x + y) + \sin (x - y) .$ Применим к нему формулы синуса суммы и разности аргументов, получим:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y + \sin x \cos y - \cos x \sin y = 2 \sin x \cos y,$ т. е.

$\sin (x + y) + \sin (x - y) = 2 \sin x \cos y .$ (1)

Пусть $x + y = α, x - y = β .$ Найдем сумму и разность $α и β .$

$α + β = x + y + x - y = 2 x, т о г д а x = \frac{α + β}{2};$

$α - β = x + y - x + y = 2 y, о т с ю д а y = \frac{α - β}{2} .$

В силу полученных обозначений, формула (1) примет вид:

$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} .$ (2)

Формула (2) называется формулой суммы синусов.

Заменим в (2) $β$ на $- β$ Тогда $\sin α + \sin (- β) = 2 \sin \frac{α + (- β)}{2} \cos \frac{α - (- β)}{2},$ отсюда

$\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cos \frac{α + β}{2} .$ (3)

Формула (3) имеет название формулы разности синусов.

Формулы суммы и разности косинусов приведем без доказательства. Они доказываются таким же способом.

$\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2},$ (4)

$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} .$ (5)

Пример 1

Представьте сумму в виде произведения

1) $\cos 20 ° + \cos 40 °;$

2) $\sin \frac{π}{3} - \sin \frac{π}{11};$

3) $\cos 2 x - \cos 4 x - \cos 6 x + \cos 8 x .$

Решение

1) Воспользуемся формулой (4).

$\cos 20 ° + \cos 40 ° = 2 \cos \frac{20 ° + 40 °}{2} \cos \frac{40 ° - 20 °}{2} = 2 \cos 30 ° \cos 10 ° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10 ° = \sqrt{3} \cos 10 °;$

2) По формуле (3) имеем $\sin \frac{π}{3} - \sin \frac{π}{11} = 2 \sin \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{11}}{2} \cos \frac{\frac{π}{3} + \frac{π}{11}}{2} = 2 \sin \frac{4 π}{33} \cos \frac{7 π}{33};$

3) $\cos 2 x - \cos 4 x - \cos 6 x + \cos 8 x = - (\cos 4 x - \cos 2 x) + (\cos 8 x - \cos 6 x) .$ Для каждого выражения в скобках применим формулу (5). Тогда выражение примет вид $2 \sin 3 x \sin x - 2 \sin x \sin 7 x .$ Разложим на множители, для этого вынесем за скобки $2 \sin x$ и применим формулу (3): $2 \sin x (\sin 3 x - \sin 7 x) =$ $= - 2 \sin x (\sin 7 x - \sin 3 x) = - 2 \sin x \cdot 2 \sin 2 x \cos 5 x = - 4 \sin x \sin 2 x \cos 5 x .$

Ответ: 1) $\sqrt{3} \cos 10 °;$

2) $2 \sin \frac{4 π}{33} \cos \frac{7 π}{33};$

3) $- 4 \sin x \sin 2 x \cos 5 x .$

При решении задач мы часто видим, что любые формулы применяются как слева направо, так и в обратную сторону. Формулы суммы и разности синусов и косинусов это тоже не обошло стороной. Поэтому, рассмотрим, как можно преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность.

Пусть дано выражение $\sin (α + β) + \sin (α - β),$ применим к нему формулы синуса суммы и синуса разности аргументов, получим $\sin α \cos β + \cos α \sin β +$ $+ \sin α \cos β - \cos α \sin β = 2 \sin α \cos β,$ отсюда

$\sin α \cos β = \frac{1}{2} (\sin (α + β) + \sin (α - β)) .$ (6)

Аналогично, применив к выражениям $\cos (α + β) + \cos (α - β),$ $\cos (α - β) - \cos (α + β),$ формулы косинуса суммы и разности аргументов, можно доказать следующие формулы:

$\sin α \sin β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) - \cos (α + β))$ (7)

$\cos α \cos β = \frac{1}{2} (\cos (α + β) + \cos (α - β))$ (8)

Пример 2

Докажите тождество $4 \sin x \sin (\frac{π}{3} + x) \sin (\frac{π}{3} - x) = \sin 3 x .$

Доказательство

Применим к левой части тождества формулу (7):

$4 \sin x \cdot \frac{1}{2} (\cos (\frac{π}{3} + x - \frac{π}{3} + x) - \cos (\frac{π}{3} + x + \frac{π}{3} - x)) =$

$= 2 \sin x (\cos 2 x - \cos \frac{2 π}{3}) = 2 \sin x (\cos 2 x + \frac{1}{2}) = 2 \sin x \cos 2 x + \sin x$ .

По формуле (6) имеем:

$2 \cdot \frac{1}{2} (\sin 3 x + \sin (- x)) + \sin x = \sin 3 x - \sin x + \sin x = \sin 3 x,$ что равно

правой части тождества.

Упражнение 1

Вычислите:

1) $\frac{\cos 29 ° - \cos 91 °}{\sin 31 °};$ 2) $\sin \frac{7 π}{12} \sin \frac{π}{12} .$

Упражнение 2

Упростите выражение $- \frac{\cos α - \cos 3 α}{\sin 3 α + \sin α} .$

Упражнение 3

Докажите тождество $\frac{2 \sin 3 α \cos α - \sin 2 α}{\cos 2 α - \cos 6 α} = \frac{1}{4 \sin α \cos α .}$

Контрольные вопросы

1. Дано тождество $f (x) = \frac{\sin 11 x + \sin 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

2. Дано тождество $f (x) = \frac{\sin 11 x - \sin 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

3. Дано тождество $f (x) = \frac{\cos 11 x + \cos 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

4. Дано тождество $f (x) = \frac{\cos 11 x - \cos 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = - \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

5. Представьте в виде суммы выражения:

$2 \sin x \sin y, 2 \cos x \cos y, 2 \sin x \cos y .$

Ответы

Упражнение 1

1) $\sqrt{3};$ 2) $\frac{1}{4}$ .

Упражнение 2

$- t g α$ .

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

План урока

Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
Применение формул суммы и разности синусов и косинусов.
Формулы преобразования произведения в сумму или разность.
Применение формул преобразования произведения в сумму или разность.

Цели урока

Знать формулы суммы и разности синусов, косинусов, формулы преобразования произведения в сумму или разность.
Уметь применять эти формулы при преобразовании тригонометрических выражений.

Разминка

1. Представьте в виде суммы синусов выражения $\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x, 1 + \sin x .$

2. Представьте в виде суммы косинусов выражение $\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} .$

3. Выразите $\cos^{4} x - \sin^{4} x$ через $\cos 2 x$ .

4. Разложите на множители $\cos 2 x - \cos x + 1 .$

5. Вспомните формулы синуса суммы и разности аргументов, косинуса суммы и разности аргументов.

Пусть дано выражение $\sin (x + y) + \sin (x - y) .$ Применим к нему формулы синуса суммы и разности аргументов, получим:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y + \sin x \cos y - \cos x \sin y = 2 \sin x \cos y,$ т. е.

$\sin (x + y) + \sin (x - y) = 2 \sin x \cos y .$ (1)

Пусть $x + y = α, x - y = β .$ Найдем сумму и разность $α и β .$

$α + β = x + y + x - y = 2 x, т о г д а x = \frac{α + β}{2};$

$α - β = x + y - x + y = 2 y, о т с ю д а y = \frac{α - β}{2} .$

В силу полученных обозначений, формула (1) примет вид:

$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} .$ (2)

Формула (2) называется формулой суммы синусов.

Заменим в (2) $β$ на $- β$ Тогда $\sin α + \sin (- β) = 2 \sin \frac{α + (- β)}{2} \cos \frac{α - (- β)}{2},$ отсюда

$\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cos \frac{α + β}{2} .$ (3)

Формула (3) имеет название формулы разности синусов.

Формулы суммы и разности косинусов приведем без доказательства. Они доказываются таким же способом.

$\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2},$ (4)

$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} .$ (5)

Пример 1

Представьте сумму в виде произведения

1) $\cos 20 ° + \cos 40 °;$

2) $\sin \frac{π}{3} - \sin \frac{π}{11};$

3) $\cos 2 x - \cos 4 x - \cos 6 x + \cos 8 x .$

Решение

1) Воспользуемся формулой (4).

$\cos 20 ° + \cos 40 ° = 2 \cos \frac{20 ° + 40 °}{2} \cos \frac{40 ° - 20 °}{2} = 2 \cos 30 ° \cos 10 ° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10 ° = \sqrt{3} \cos 10 °;$

Ответ: 1) $\sqrt{3} \cos 10 °;$

2) $2 \sin \frac{4 π}{33} \cos \frac{7 π}{33};$

3) $- 4 \sin x \sin 2 x \cos 5 x .$

$\sin α \cos β = \frac{1}{2} (\sin (α + β) + \sin (α - β)) .$ (6)

$\sin α \sin β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) - \cos (α + β))$ (7)

$\cos α \cos β = \frac{1}{2} (\cos (α + β) + \cos (α - β))$ (8)

Пример 2

Докажите тождество $4 \sin x \sin (\frac{π}{3} + x) \sin (\frac{π}{3} - x) = \sin 3 x .$

Доказательство

Применим к левой части тождества формулу (7):

$4 \sin x \cdot \frac{1}{2} (\cos (\frac{π}{3} + x - \frac{π}{3} + x) - \cos (\frac{π}{3} + x + \frac{π}{3} - x)) =$

$= 2 \sin x (\cos 2 x - \cos \frac{2 π}{3}) = 2 \sin x (\cos 2 x + \frac{1}{2}) = 2 \sin x \cos 2 x + \sin x$ .

По формуле (6) имеем:

$2 \cdot \frac{1}{2} (\sin 3 x + \sin (- x)) + \sin x = \sin 3 x - \sin x + \sin x = \sin 3 x,$ что равно

правой части тождества.

Упражнение 1

Вычислите:

1) $\frac{\cos 29 ° - \cos 91 °}{\sin 31 °};$ 2) $\sin \frac{7 π}{12} \sin \frac{π}{12} .$

Упражнение 2

Упростите выражение $- \frac{\cos α - \cos 3 α}{\sin 3 α + \sin α} .$

Упражнение 3

Докажите тождество $\frac{2 \sin 3 α \cos α - \sin 2 α}{\cos 2 α - \cos 6 α} = \frac{1}{4 \sin α \cos α .}$

Контрольные вопросы

1. Дано тождество $f (x) = \frac{\sin 11 x + \sin 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

2. Дано тождество $f (x) = \frac{\sin 11 x - \sin 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

3. Дано тождество $f (x) = \frac{\cos 11 x + \cos 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

4. Дано тождество $f (x) = \frac{\cos 11 x - \cos 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = - \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

5. Представьте в виде суммы выражения:

$2 \sin x \sin y, 2 \cos x \cos y, 2 \sin x \cos y .$

Ответы

Упражнение 1

1) $\sqrt{3};$ 2) $\frac{1}{4}$ .

Упражнение 2

$- t g α$ .

Предыдущий урок

Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Создание Web-сайта: оформление сайта, размещение сайта в Интернете

Информатика
Обобщение по теме «Социальная сфера общества»

Обществознание
Системы органов животных

Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке