Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Конспект урока: Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Тригонометрия

24.07.2025
2422
0

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

План урока

  • Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
  • Применение формул суммы и разности синусов и косинусов.
  • Формулы преобразования произведения в сумму или разность.
  • Применение формул преобразования произведения в сумму или разность.

Цели урока

  • Знать формулы суммы и разности синусов, косинусов, формулы преобразования произведения в сумму или разность.
  • Уметь применять эти формулы при преобразовании тригонометрических выражений.

Разминка

1. Представьте в виде суммы синусов выражения  22+sinx, 1+sinx.

2. Представьте в виде суммы косинусов выражение cosx+32.

3. Выразите cos4x-sin4x через cos2x.

4. Разложите на множители cos2x-cosx+1.

5. Вспомните формулы синуса суммы и разности аргументов, косинуса суммы и разности аргументов.

 

При решении уравнений часто используют метод разложения на множители. Рассмотрим формулы, позволяющие это сделать с суммой или разностью синусов или косинусов.

 

Пусть дано выражение sin(x+y)+sin(x-y). Применим к нему формулы синуса суммы и разности аргументов, получим:

sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny=2sinxcosy, т. е.

 

sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy.         (1)

 

Пусть x+y=α, x-y=β. Найдем сумму и разность  α и β.

α+β=x+y+x-y=2x, тогда x=α+β2;

α-β=x+y-x+y=2y, отсюда y=α-β2.

 

В силу полученных обозначений, формула (1) примет вид:

 

sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2.         (2)


Формула (2) называется формулой суммы синусов.


Заменим в (2) β на -β  Тогда sinα+sin(-β)=2sinα+(-β)2cosα-(-β)2, отсюда

 

sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2.         (3)


Формула (3) имеет название формулы разности синусов.


Формулы суммы и разности косинусов приведем без доказательства. Они доказываются таким же способом.

 

cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2,         (4)

 

cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2.         (5)


Пример 1

Представьте сумму в виде произведения

 

1) cos20°+cos40°;

2) sinπ3-sinπ11;

3) cos2x-cos4x-cos6x+cos8x.


Решение

         

1) Воспользуемся формулой (4).

cos20°+cos40°=2cos20°+40°2cos40°-20°2=2cos30°cos10°=2·32cos10°=3cos10°;

 

2)  По формуле (3) имеем sinπ3-sinπ11=2sinπ3-π112cosπ3+π112=2sin4π33cos7π33;

 

3) cos2x-cos4x-cos6x+cos8x=-(cos4x-cos2x)+(cos8x-cos6x). Для каждого выражения в скобках применим формулу (5). Тогда выражение примет вид 2sin3xsinx-2sinxsin7x.  Разложим на множители, для этого вынесем за скобки 2sinx и применим формулу (3): 2sinx(sin3x-sin7x)==-2sinx(sin7x-sin3x)=-2sinx·2sin2xcos5x=-4sinxsin2xcos5x.

 

Ответ: 1)  3cos10°;

              2)  2sin4π33cos7π33;

              3) -4sinxsin2xcos5x.


При решении задач мы часто видим, что любые формулы применяются как слева направо, так и в обратную сторону. Формулы суммы и разности синусов и косинусов это тоже не обошло стороной. Поэтому, рассмотрим, как можно преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность.

 

Пусть дано выражение sin(α+β)+sin(α-β), применим к нему формулы синуса суммы и синуса разности аргументов, получим sinαcosβ+cosαsinβ++sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ, отсюда

 

sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(α-β)).         (6)

 

Аналогично, применив к выражениям cos(α+β)+cos(α-β), cos(α-β)-cos(α+β), формулы косинуса суммы и разности аргументов, можно доказать следующие формулы:

 

sinαsinβ=12(cos(α-β)-cos(α+β))         (7)

 

   cosαcosβ=12(cos(α+β)+cos(α-β))        (8)


Пример 2

Докажите тождество 4sinxsin(π3+x)sin(π3-x)=sin3x.


Доказательство

 

Применим к левой части тождества формулу (7):

4sinx·12(cos(π3+x-π3+x)-cos(π3+x+π3-x))=

=2sinx(cos2x-cos2π3)=2sinx(cos2x+12)=2sinxcos2x+sinx.

По формуле (6) имеем: 

2·12(sin3x+sin(-x))+sinx=sin3x-sinx+sinx=sin3x,         что      равно

правой части тождества.


Упражнение 1

Вычислите:

 

1) cos29°-cos91°sin31°;                             2) sin7π12sinπ12.

 


Упражнение 2

Упростите выражение -cosα-cos3αsin3α+sinα.


Упражнение 3

Докажите тождество  2sin3αcosα-sin2αcos2α-cos6α=14sinαcosα.


Контрольные вопросы

 

1. Дано тождество f(x)=sin11x+sin7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

2. Дано тождество f(x)=sin11x-sin7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

3. Дано тождество f(x)=cos11x+cos7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

4. Дано тождество f(x)=cos11x-cos7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=-sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

5. Представьте в виде суммы выражения:

 

2sinxsiny, 2cosxcosy, 2sinxcosy.


Ответы

Упражнение 1

 

1) 3;                             2) 14.

 

 

Упражнение 2

 

-tgα.


Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

План урока

  • Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
  • Применение формул суммы и разности синусов и косинусов.
  • Формулы преобразования произведения в сумму или разность.
  • Применение формул преобразования произведения в сумму или разность.

Цели урока

  • Знать формулы суммы и разности синусов, косинусов, формулы преобразования произведения в сумму или разность.
  • Уметь применять эти формулы при преобразовании тригонометрических выражений.

Разминка

1. Представьте в виде суммы синусов выражения  22+sinx, 1+sinx.

2. Представьте в виде суммы косинусов выражение cosx+32.

3. Выразите cos4x-sin4x через cos2x.

4. Разложите на множители cos2x-cosx+1.

5. Вспомните формулы синуса суммы и разности аргументов, косинуса суммы и разности аргументов.

 

При решении уравнений часто используют метод разложения на множители. Рассмотрим формулы, позволяющие это сделать с суммой или разностью синусов или косинусов.

 

Пусть дано выражение sin(x+y)+sin(x-y). Применим к нему формулы синуса суммы и разности аргументов, получим:

sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny=2sinxcosy, т. е.

 

sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy.         (1)

 

Пусть x+y=α, x-y=β. Найдем сумму и разность  α и β.

α+β=x+y+x-y=2x, тогда x=α+β2;

α-β=x+y-x+y=2y, отсюда y=α-β2.

 

В силу полученных обозначений, формула (1) примет вид:

 

sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2.         (2)


Формула (2) называется формулой суммы синусов.


Заменим в (2) β на -β  Тогда sinα+sin(-β)=2sinα+(-β)2cosα-(-β)2, отсюда

 

sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2.         (3)


Формула (3) имеет название формулы разности синусов.


Формулы суммы и разности косинусов приведем без доказательства. Они доказываются таким же способом.

 

cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2,         (4)

 

cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2.         (5)


Пример 1

Представьте сумму в виде произведения

 

1) cos20°+cos40°;

2) sinπ3-sinπ11;

3) cos2x-cos4x-cos6x+cos8x.


Решение

         

1) Воспользуемся формулой (4).

cos20°+cos40°=2cos20°+40°2cos40°-20°2=2cos30°cos10°=2·32cos10°=3cos10°;

 

2)  По формуле (3) имеем sinπ3-sinπ11=2sinπ3-π112cosπ3+π112=2sin4π33cos7π33;

 

3) cos2x-cos4x-cos6x+cos8x=-(cos4x-cos2x)+(cos8x-cos6x). Для каждого выражения в скобках применим формулу (5). Тогда выражение примет вид 2sin3xsinx-2sinxsin7x.  Разложим на множители, для этого вынесем за скобки 2sinx и применим формулу (3): 2sinx(sin3x-sin7x)==-2sinx(sin7x-sin3x)=-2sinx·2sin2xcos5x=-4sinxsin2xcos5x.

 

Ответ: 1)  3cos10°;

              2)  2sin4π33cos7π33;

              3) -4sinxsin2xcos5x.


При решении задач мы часто видим, что любые формулы применяются как слева направо, так и в обратную сторону. Формулы суммы и разности синусов и косинусов это тоже не обошло стороной. Поэтому, рассмотрим, как можно преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность.

 

Пусть дано выражение sin(α+β)+sin(α-β), применим к нему формулы синуса суммы и синуса разности аргументов, получим sinαcosβ+cosαsinβ++sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ, отсюда

 

sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(α-β)).         (6)

 

Аналогично, применив к выражениям cos(α+β)+cos(α-β), cos(α-β)-cos(α+β), формулы косинуса суммы и разности аргументов, можно доказать следующие формулы:

 

sinαsinβ=12(cos(α-β)-cos(α+β))         (7)

 

   cosαcosβ=12(cos(α+β)+cos(α-β))        (8)


Пример 2

Докажите тождество 4sinxsin(π3+x)sin(π3-x)=sin3x.


Доказательство

 

Применим к левой части тождества формулу (7):

4sinx·12(cos(π3+x-π3+x)-cos(π3+x+π3-x))=

=2sinx(cos2x-cos2π3)=2sinx(cos2x+12)=2sinxcos2x+sinx.

По формуле (6) имеем: 

2·12(sin3x+sin(-x))+sinx=sin3x-sinx+sinx=sin3x,         что      равно

правой части тождества.


Упражнение 1

Вычислите:

 

1) cos29°-cos91°sin31°;                             2) sin7π12sinπ12.

 


Упражнение 2

Упростите выражение -cosα-cos3αsin3α+sinα.


Упражнение 3

Докажите тождество  2sin3αcosα-sin2αcos2α-cos6α=14sinαcosα.


Контрольные вопросы

 

1. Дано тождество f(x)=sin11x+sin7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

2. Дано тождество f(x)=sin11x-sin7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

3. Дано тождество f(x)=cos11x+cos7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

4. Дано тождество f(x)=cos11x-cos7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=-sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

5. Представьте в виде суммы выражения:

 

2sinxsiny, 2cosxcosy, 2sinxcosy.


Ответы

Упражнение 1

 

1) 3;                             2) 14.

 

 

Упражнение 2

 

-tgα.


Предыдущий урок
Решение простейших тригонометрических неравенств. Уравнения, содержащие ограничения по ОДЗ
Тригонометрия
Следующий урок
Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат
Тригонометрия
Урок подготовил(а)
Валерия Александровна
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
  • Германские земли в XVIII в.

    История

  • Звонкие и глухие согласные звуки. Правописание слов с парным по глухости-звонкости согласным на конце слова и перед согласным. Правописание гласных и согласных в корне слова

    Русский язык

  • Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке