Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Тригонометрия

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

План урока

  • Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
  • Применение формул суммы и разности синусов и косинусов.
  • Формулы преобразования произведения в сумму или разность.
  • Применение формул преобразования произведения в сумму или разность.

Цели урока

  • Знать формулы суммы и разности синусов, косинусов, формулы преобразования произведения в сумму или разность.
  • Уметь применять эти формулы при преобразовании тригонометрических выражений.

Разминка

1. Представить в виде суммы синусов выражения  22+sinx, 1+sinx.

2. Представить в виде суммы косинусов выражение cosx+32.

3. Выразить cos4x-sin4x через cos2x.

4. Разложить на множители cos2x-cosx+1.

5. Вспомнить формулы синуса суммы и разности аргументов, косинуса суммы и разности аргументов.

 

При решении уравнений часто используют метод разложения на множители. Рассмотрим формулы, позволяющие это сделать с суммой или разностью синусов или косинусов.

 

Пусть дано выражение sin(x+y)+sin(x-y). Применим к нему формулы синуса суммы и разности аргументов, получим:

sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny=2sinxcosy, т. е.

 

sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy.         (1)

 

Пусть x+y=α, x-y=β. Найдем сумму и разность  α и β.

α+β=x+y+x-y=2x, тогда x=α+β2;

α-β=x+y-x+y=2y, отсюда y=α-β2.

 

В силу полученных обозначений, формула (1) примет вид:

 

sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2.         (2)


Формула (2) называется  формулой суммы синусов .


Заменим в (2) β на -β  Тогда sinα+sin(-β)=2sinα+(-β)2cosα-(-β)2, отсюда

 

sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2.         (3)


Формула (3) имеет название формулы разности синусов .


Формулы суммы и разности косинусов  приведем без доказательства. Они доказываются таким же способом.

 

cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2,         (4)

 

cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2.         (5)


Пример 1

Представить сумму в виде произведения

 

а) cos20°+cos40°;

б) sinπ3-sinπ11;

в) cos2x-cos4x-cos6x+cos8x.


Решение

         

а) Воспользуемся формулой (4).

cos20°+cos40°=2cos20°+40°2cos40°-20°2=2cos30°cos10°=2×32cos10°=3cos10°;

 

б)  По формуле (3) имеем sinπ3-sinπ11=2sinπ3-π112cosπ3+π112=2sin4π33cos7π33;

 

в) cos2x-cos4x-cos6x+cos8x=-(cos4x-cos2x)+(cos8x-cos6x). Для каждого выражения в скобках применим формулу (5). Тогда выражение примет вид 2sin3xsinx-2sinxsin7x.  Разложим на множители, для этого вынесем за скобки 2sinx и применим формулу (3): 2sinx(sin3x-sin7x)==-2sinx(sin7x-sin3x)=-2sinx×2sin2xcos5x=-4sinxsin2xcos5x.

 

Ответ: а)  3cos10°;

              б)  2sin4π33cos7π33;

              в) -4sinxsin2xcos5x.


При решении задач мы часто видим, что любые формулы применяются как слева направо, так и в обратную сторону. Формулы суммы и разности синусов и косинусов это тоже не обошло стороной. Поэтому, рассмотрим, как можно преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность.

 

Пусть дано выражение sin(α+β)+sin(α-β), применим к нему формулы синуса суммы и синуса разности аргументов, получим sinαcosβ+cosαsinβ++sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ, отсюда

 

sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(α-β)).         (6)

 

Аналогично, применив к выражениям cos(α+β)+cos(α-β), cos(α-β)-cos(α+β), формулы косинуса суммы и разности аргументов, можно доказать следующие формулы:

 

sinαsinβ=12(cos(α-β)-cos(α+β))         (7)

 

   cosαcosβ=12(cos(α+β)+cos(α-β))        (8)


Пример 2

Доказать тождество 4sinxsin(π3+x)sin(π3-x)=sin3x.


Доказательство

 

Применим к левой части тождества формулу (7):

4sinx×12(cos(π3+x-π3+x)-cos(π3+x+π3-x))=

=2sinx(cos2x-cos2π3)=2sinx(cos2x+12)=2sinxcos2x+sinx.

По формуле (6) имеем: 

2×12(sin3x+sin(-x))+sinx=sin3x-sinx+sinx=sin3x,         что      равно

правой части тождества.


Упражнение 1

Вычислить:

 

а) cos29°-cos91°sin31°;                             б) sin7π12sinπ12.

 


Упражнение 2

Упростить выражение -cosα-cos3αsin3α+sinα.


Упражнение 3

Доказать тождество  2sin3αcosα-sin2αcos2α-cos6α=14sinαcosα.


Контрольные вопросы

 

1. Дано тождество f(x)=sin11x+sin7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

2. Дано тождество f(x)=sin11x-sin7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

3. Дано тождество f(x)=cos11x+cos7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

4. Дано тождество f(x)=cos11x-cos7x2. Какое из утверждений верно:

а)f(x)=sin9xcos2x;

б)f(x)=cos9xcos2x;

в)f(x)=-sin9xsin2x;

г)f(x)=sin2xcos7x?

 

5. Представьте в виде суммы выражения:

 

2sinxsiny, 2cosxcosy, 2sinxcosy.


Ответы

Упражнение 1

 

а) 3;                             б) 14.

 

 

Упражнение 2

 

-tga.

 

 

Упражнение 3

 

Указание. Разложить на множители числитель дроби и применить к нему формулу разности синусов, к знаменателю формулу разности косинусов.


Предыдущий урок
Решение тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Разложение на множители
Тригонометрия
Следующий урок
Формулы приведения
Тригонометрия
  • Энергетический обмен в клетке

    Биология

  • Н.А. Некрасов. «Кому на Руси жить хорошо». История создания. Композиция. Особенности языка. Крестьянские судьбы в изображении Некрасова.

    Литература

  • Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке