Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
10 класс
Алгебра
Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Алгебра 10 класс Алгебра 10 класс

Конспект урока: Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Тригонометрия

24.07.2025

2422

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

План урока

Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
Применение формул суммы и разности синусов и косинусов.
Формулы преобразования произведения в сумму или разность.
Применение формул преобразования произведения в сумму или разность.

Цели урока

Знать формулы суммы и разности синусов, косинусов, формулы преобразования произведения в сумму или разность.
Уметь применять эти формулы при преобразовании тригонометрических выражений.

Разминка

1. Представьте в виде суммы синусов выражения $\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x, 1 + \sin x .$

2. Представьте в виде суммы косинусов выражение $\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} .$

3. Выразите $\cos^{4} x - \sin^{4} x$ через $\cos 2 x$ .

4. Разложите на множители $\cos 2 x - \cos x + 1 .$

5. Вспомните формулы синуса суммы и разности аргументов, косинуса суммы и разности аргументов.

При решении уравнений часто используют метод разложения на множители. Рассмотрим формулы, позволяющие это сделать с суммой или разностью синусов или косинусов.

Пусть дано выражение $\sin (x + y) + \sin (x - y) .$ Применим к нему формулы синуса суммы и разности аргументов, получим:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y + \sin x \cos y - \cos x \sin y = 2 \sin x \cos y,$ т. е.

$\sin (x + y) + \sin (x - y) = 2 \sin x \cos y .$ (1)

Пусть $x + y = α, x - y = β .$ Найдем сумму и разность $α и β .$

$α + β = x + y + x - y = 2 x, т о г д а x = \frac{α + β}{2};$

$α - β = x + y - x + y = 2 y, о т с ю д а y = \frac{α - β}{2} .$

В силу полученных обозначений, формула (1) примет вид:

$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} .$ (2)

Формула (2) называется формулой суммы синусов.

Заменим в (2) $β$ на $- β$ Тогда $\sin α + \sin (- β) = 2 \sin \frac{α + (- β)}{2} \cos \frac{α - (- β)}{2},$ отсюда

$\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cos \frac{α + β}{2} .$ (3)

Формула (3) имеет название формулы разности синусов.

Формулы суммы и разности косинусов приведем без доказательства. Они доказываются таким же способом.

$\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2},$ (4)

$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} .$ (5)

Пример 1

Представьте сумму в виде произведения

1) $\cos 20 ° + \cos 40 °;$

2) $\sin \frac{π}{3} - \sin \frac{π}{11};$

3) $\cos 2 x - \cos 4 x - \cos 6 x + \cos 8 x .$

Решение

1) Воспользуемся формулой (4).

$\cos 20 ° + \cos 40 ° = 2 \cos \frac{20 ° + 40 °}{2} \cos \frac{40 ° - 20 °}{2} = 2 \cos 30 ° \cos 10 ° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10 ° = \sqrt{3} \cos 10 °;$

2) По формуле (3) имеем $\sin \frac{π}{3} - \sin \frac{π}{11} = 2 \sin \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{11}}{2} \cos \frac{\frac{π}{3} + \frac{π}{11}}{2} = 2 \sin \frac{4 π}{33} \cos \frac{7 π}{33};$

3) $\cos 2 x - \cos 4 x - \cos 6 x + \cos 8 x = - (\cos 4 x - \cos 2 x) + (\cos 8 x - \cos 6 x) .$ Для каждого выражения в скобках применим формулу (5). Тогда выражение примет вид $2 \sin 3 x \sin x - 2 \sin x \sin 7 x .$ Разложим на множители, для этого вынесем за скобки $2 \sin x$ и применим формулу (3): $2 \sin x (\sin 3 x - \sin 7 x) =$ $= - 2 \sin x (\sin 7 x - \sin 3 x) = - 2 \sin x \cdot 2 \sin 2 x \cos 5 x = - 4 \sin x \sin 2 x \cos 5 x .$

Ответ: 1) $\sqrt{3} \cos 10 °;$

2) $2 \sin \frac{4 π}{33} \cos \frac{7 π}{33};$

3) $- 4 \sin x \sin 2 x \cos 5 x .$

При решении задач мы часто видим, что любые формулы применяются как слева направо, так и в обратную сторону. Формулы суммы и разности синусов и косинусов это тоже не обошло стороной. Поэтому, рассмотрим, как можно преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность.

Пусть дано выражение $\sin (α + β) + \sin (α - β),$ применим к нему формулы синуса суммы и синуса разности аргументов, получим $\sin α \cos β + \cos α \sin β +$ $+ \sin α \cos β - \cos α \sin β = 2 \sin α \cos β,$ отсюда

$\sin α \cos β = \frac{1}{2} (\sin (α + β) + \sin (α - β)) .$ (6)

Аналогично, применив к выражениям $\cos (α + β) + \cos (α - β),$ $\cos (α - β) - \cos (α + β),$ формулы косинуса суммы и разности аргументов, можно доказать следующие формулы:

$\sin α \sin β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) - \cos (α + β))$ (7)

$\cos α \cos β = \frac{1}{2} (\cos (α + β) + \cos (α - β))$ (8)

Пример 2

Докажите тождество $4 \sin x \sin (\frac{π}{3} + x) \sin (\frac{π}{3} - x) = \sin 3 x .$

Доказательство

Применим к левой части тождества формулу (7):

$4 \sin x \cdot \frac{1}{2} (\cos (\frac{π}{3} + x - \frac{π}{3} + x) - \cos (\frac{π}{3} + x + \frac{π}{3} - x)) =$

$= 2 \sin x (\cos 2 x - \cos \frac{2 π}{3}) = 2 \sin x (\cos 2 x + \frac{1}{2}) = 2 \sin x \cos 2 x + \sin x$ .

По формуле (6) имеем:

$2 \cdot \frac{1}{2} (\sin 3 x + \sin (- x)) + \sin x = \sin 3 x - \sin x + \sin x = \sin 3 x,$ что равно

правой части тождества.

Упражнение 1

Вычислите:

1) $\frac{\cos 29 ° - \cos 91 °}{\sin 31 °};$ 2) $\sin \frac{7 π}{12} \sin \frac{π}{12} .$

Упражнение 2

Упростите выражение $- \frac{\cos α - \cos 3 α}{\sin 3 α + \sin α} .$

Упражнение 3

Докажите тождество $\frac{2 \sin 3 α \cos α - \sin 2 α}{\cos 2 α - \cos 6 α} = \frac{1}{4 \sin α \cos α .}$

Контрольные вопросы

1. Дано тождество $f (x) = \frac{\sin 11 x + \sin 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

2. Дано тождество $f (x) = \frac{\sin 11 x - \sin 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

3. Дано тождество $f (x) = \frac{\cos 11 x + \cos 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

4. Дано тождество $f (x) = \frac{\cos 11 x - \cos 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = - \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

5. Представьте в виде суммы выражения:

$2 \sin x \sin y, 2 \cos x \cos y, 2 \sin x \cos y .$

Ответы

Упражнение 1

1) $\sqrt{3};$ 2) $\frac{1}{4}$ .

Упражнение 2

$- t g α$ .

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

План урока

Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
Применение формул суммы и разности синусов и косинусов.
Формулы преобразования произведения в сумму или разность.
Применение формул преобразования произведения в сумму или разность.

Цели урока

Знать формулы суммы и разности синусов, косинусов, формулы преобразования произведения в сумму или разность.
Уметь применять эти формулы при преобразовании тригонометрических выражений.

Разминка

1. Представьте в виде суммы синусов выражения $\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x, 1 + \sin x .$

2. Представьте в виде суммы косинусов выражение $\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} .$

3. Выразите $\cos^{4} x - \sin^{4} x$ через $\cos 2 x$ .

4. Разложите на множители $\cos 2 x - \cos x + 1 .$

5. Вспомните формулы синуса суммы и разности аргументов, косинуса суммы и разности аргументов.

Пусть дано выражение $\sin (x + y) + \sin (x - y) .$ Применим к нему формулы синуса суммы и разности аргументов, получим:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y + \sin x \cos y - \cos x \sin y = 2 \sin x \cos y,$ т. е.

$\sin (x + y) + \sin (x - y) = 2 \sin x \cos y .$ (1)

Пусть $x + y = α, x - y = β .$ Найдем сумму и разность $α и β .$

$α + β = x + y + x - y = 2 x, т о г д а x = \frac{α + β}{2};$

$α - β = x + y - x + y = 2 y, о т с ю д а y = \frac{α - β}{2} .$

В силу полученных обозначений, формула (1) примет вид:

$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} .$ (2)

Формула (2) называется формулой суммы синусов.

Заменим в (2) $β$ на $- β$ Тогда $\sin α + \sin (- β) = 2 \sin \frac{α + (- β)}{2} \cos \frac{α - (- β)}{2},$ отсюда

$\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cos \frac{α + β}{2} .$ (3)

Формула (3) имеет название формулы разности синусов.

Формулы суммы и разности косинусов приведем без доказательства. Они доказываются таким же способом.

$\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2},$ (4)

$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} .$ (5)

Пример 1

Представьте сумму в виде произведения

1) $\cos 20 ° + \cos 40 °;$

2) $\sin \frac{π}{3} - \sin \frac{π}{11};$

3) $\cos 2 x - \cos 4 x - \cos 6 x + \cos 8 x .$

Решение

1) Воспользуемся формулой (4).

$\cos 20 ° + \cos 40 ° = 2 \cos \frac{20 ° + 40 °}{2} \cos \frac{40 ° - 20 °}{2} = 2 \cos 30 ° \cos 10 ° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10 ° = \sqrt{3} \cos 10 °;$

Ответ: 1) $\sqrt{3} \cos 10 °;$

2) $2 \sin \frac{4 π}{33} \cos \frac{7 π}{33};$

3) $- 4 \sin x \sin 2 x \cos 5 x .$

$\sin α \cos β = \frac{1}{2} (\sin (α + β) + \sin (α - β)) .$ (6)

$\sin α \sin β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) - \cos (α + β))$ (7)

$\cos α \cos β = \frac{1}{2} (\cos (α + β) + \cos (α - β))$ (8)

Пример 2

Докажите тождество $4 \sin x \sin (\frac{π}{3} + x) \sin (\frac{π}{3} - x) = \sin 3 x .$

Доказательство

Применим к левой части тождества формулу (7):

$4 \sin x \cdot \frac{1}{2} (\cos (\frac{π}{3} + x - \frac{π}{3} + x) - \cos (\frac{π}{3} + x + \frac{π}{3} - x)) =$

$= 2 \sin x (\cos 2 x - \cos \frac{2 π}{3}) = 2 \sin x (\cos 2 x + \frac{1}{2}) = 2 \sin x \cos 2 x + \sin x$ .

По формуле (6) имеем:

$2 \cdot \frac{1}{2} (\sin 3 x + \sin (- x)) + \sin x = \sin 3 x - \sin x + \sin x = \sin 3 x,$ что равно

правой части тождества.

Упражнение 1

Вычислите:

1) $\frac{\cos 29 ° - \cos 91 °}{\sin 31 °};$ 2) $\sin \frac{7 π}{12} \sin \frac{π}{12} .$

Упражнение 2

Упростите выражение $- \frac{\cos α - \cos 3 α}{\sin 3 α + \sin α} .$

Упражнение 3

Докажите тождество $\frac{2 \sin 3 α \cos α - \sin 2 α}{\cos 2 α - \cos 6 α} = \frac{1}{4 \sin α \cos α .}$

Контрольные вопросы

1. Дано тождество $f (x) = \frac{\sin 11 x + \sin 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

2. Дано тождество $f (x) = \frac{\sin 11 x - \sin 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

3. Дано тождество $f (x) = \frac{\cos 11 x + \cos 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

4. Дано тождество $f (x) = \frac{\cos 11 x - \cos 7 x}{2} .$ Какое из утверждений верно:

а) $f (x) = \sin 9 x \cos 2 x;$

б) $f (x) = \cos 9 x \cos 2 x;$

в) $f (x) = - \sin 9 x \sin 2 x;$

г) $f (x) = \sin 2 x \cos 7 x ?$

5. Представьте в виде суммы выражения:

$2 \sin x \sin y, 2 \cos x \cos y, 2 \sin x \cos y .$

Ответы

Упражнение 1

1) $\sqrt{3};$ 2) $\frac{1}{4}$ .

Упражнение 2

$- t g α$ .

Предыдущий урок

Решение простейших тригонометрических неравенств. Уравнения, содержащие ограничения по ОДЗ

Тригонометрия

Следующий урок

Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат

Тригонометрия

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Германские земли в XVIII в.

История
Звонкие и глухие согласные звуки. Правописание слов с парным по глухости-звонкости согласным на конце слова и перед согласным. Правописание гласных и согласных в корне слова

Русский язык
Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α

Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке