Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Однородные тригонометрические уравнения. Метод введения вспомогательного аргумента

Тригонометрия

Однородные линейные тригонометрические уравнения. Метод введения вспомогательного аргумента

План урока

  • Однородные тригонометрические уравнения первого и второго порядка.
  • Решение однородных тригонометрических уравнений первого и второго порядка на конкретных примерах.
  • Неоднородные тригонометрические уравнения первого и второго порядка.
  • Решение неоднородных тригонометрических уравнений на конкретных примерах.

Цели урока

  • Знать вид однородных тригонометрических уравнений первого порядка, второго порядка.
  • Знать методы решения однородных тригонометрических уравнений первого, второго порядка.
  • Знать вид неоднородных тригонометрических уравнений первого, второго порядка.
  • Знать методы решения неоднородных тригонометрических уравнений.
  • Уметь решать однородные тригонометрические уравнения первого, второго порядка.
  • Уметь решать неоднородные тригонометрические уравнения.

Разминка

1. Решить уравнение:

 

  • cos2(3π-x)-sin(5π2-x)=0;
  • sin7x-sin3x-cos5x=0;
  • 2cos2x-3sinx=0.

2. Что такое тангенс угла? Котангенс угла?

3. Вспомните формулы половинного аргумента, основное  тригонометрическое тождество и следствие из него.

 

Ранее мы рассмотрели два способа решения тригонометрических уравнений: сведение к квадратному уравнению с помощью замены переменной, метод разложения на множители левой части уравнения. Среди тригонометрических уравнений выделяют однородные и неоднородные уравнения.


Уравнения вида  a sin x+cos x=0 называются  однородными тригонометрическими уравнениями первого порядка (еще их называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени).


Уравнения вида  a sin2x+b sinxcosx+c cosx2x=0  называются  однородными тригонометрическими уравнениями второго порядка (или второй степени).


Уравнения вида

a0sinnx+a1sinn-1xcosx+a2sinn-2xcos2x+...+ancosnx=0  

называются однородными тригонометрическими уравнениями n-го порядка (еще их называют однородными тригонометрическими уравнениями n-ой степени).


Однородное тригонометрическое уравнение первого порядка

 

Пусть дано уравнение a sin x+b cos x=0

 

Разделим обе части уравнения на cos x. Получим равносильное уравнение, т. к. cosx0, иначе, если cos x=0, то уравнение примет вид a sin x=0, т. е. sin x=0чего быть не может, по основному тригонометрическому тождеству синус и косинус одного и того же аргумента не могут одновременно обращаться в нуль. После деления на ненулевое выражение исходное уравнение примет вид a tg x+b=0, из которого последовательно находим tg x, а затем переменную x.


Пример 1

Решить уравнение sin x+cos x=0.


Решение

 

Разделим обе части уравнения на cosx0.

tgx+1=0, откуда x=-π4+πk, kZ.

 

Ответ: -π4+πk, kZ.


Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка

 

Пусть дано уравнение a sin2x+b sinxcosx+c cosx2x=0.

 

Разделим обе части уравнения на cos2x0. Получим равносильное уравнение a tg2x+b tgx+c=0, квадратное относительно tg x. Для дальнейшего решения используем метод замены переменной.


Пример 2

Решить уравнение 6cosx2x+sin2x-5sinxcosx=0.


Решение

 

Разделим обе части уравнения на cos2x0. Уравнение примет вид tg2x-5tgx+6=0. Пусть tg x=t,  тогда  t2-5t+6=0, откуда t1=3, t2=2. Вернемся к исходной переменной:

tgx=3, x=arctg3+πk, kZ, или

tgx=2, x=arctg2+πn, nZ.

 

Ответ: arctg3+πk, kZ; arctg2+πn, nZ.


Несложно заметить, что при решении однородного тригонометрического уравнения n-го порядка обе части уравнения делят на косинус аргумента в наибольшей степени.


Упражнение 1

Решить уравнение:

 

1. 2sinx-5cosx=0;

2. sin2x+3sinxcosx-4cos2x=0.


Неоднородные тригонометрические уравнения


Уравнения вида  a sinx+b cosx=c , где a0b0c0 называются  неоднородными тригонометрическими уравнениями первого порядка .


Неоднородные тригонометрические уравнения первого порядка имеют несколько способов решения. Рассмотрим основные из них.

 

Метод решения неоднородных тригонометрических уравнений первого порядка с помощью формул двойного аргумента

 

Пусть дано уравнение вида a sinx+b cosx=c, где a0, b0, c0. Применим к нему следующие формулы:

 

cosx=cos2x2-sin2x2                                        (1)

sinx=2sinx2cosx2                                               (2)

sin2x2+cos2x2=1.                                             (3)

 

Получаем

a×2sinx2cosx2+b×(cos2x2-sin2x2)=c×(sin2x2+cos2x2).

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

(-b-c)sin2x2+2asinx2cosx2+(b-c)cos2x2=0.

А это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка, метод решения которого описан выше.

 

Метод решения неоднородных тригонометрических уравнений первого порядка с помощью универсальной подстановки

 

Пусть дано уравнение вида a sinx+b cosx=c, где a0, b0, c0. Применим к нему следующие формулы (формулы универсальной подстановки):

 

sinx=2tgx21+tg2x2,                                        (4)

cosx=1-tg2x21+tg2x2.                                        (5)

 

Тогда уравнение примет вид:

a×2tgx21+tg2x2+b×1-tg2x21+tg2x2=c,

2a×tgx2+b-b×tg2x2=c+c×tg2x2, или,

(c+b)tg2x2-2a×tgx2+(c-b)=0.

А это тригонометрическое уравнение, квадратное относительно tgx2, которое можно решить, заменив tgx2 другой переменной.

 

Метод решения неоднородных тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента

 

Пусть дано уравнение вида a sinx+b cosx=c, где a0, b0, c0

 

Разделим обе части уравнения на a2+b2:

aa2+b2sinxba2+b2cosx=ca2+b2.

Пусть sinφ=ba2+b2, cosφ=aa2+b2. Такое число φ существует, т. к. 

(ba2+b2)2+(aa2+b2)2=1, т. е. выполняется равенство

sin2φ+cos2φ=1. Тогда уравнение примет вид

cosφ×sinx+sinφ×cosx=ca2+b2. Применим формулу синуса суммы аргументов: sin(x+φ)=ca2+b2.


Уравнения вида  asin2x+bsinxcosx+ccosx2x=d , где a0b0c0d0, называются  неоднородными тригонометрическими уравнениями второго порядка .


Неоднородные тригонометрические уравнения второго порядка решаются следующим образом: по основному тригонометрическому тождеству представляют единицу как sin2x+cos2x и умножают это выражение на dasin2x+bsinxcosx+ccosx2x=d(sin2x+cos2x). После преобразований получим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.


Пример 3

Решить уравнение 3sinx-4cosx=5.


Решение

 

Решим данное уравнение с помощью формул двойного аргумента, применим формулы (1)–(3). Тогда 

6sinx2cosx2-4(cos2x2-sin2x2)=5(cos2x2+sin2x2).

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

sin2x2-6sinx2cosx2+9cos2x2=0.

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Разделим обе части уравнения на cos2x20, тогда tg2x2-6tgx2+9=0. Пусть tgx2=t. Имеем t2-6t+9=0, откуда t=3. Вернемся к исходной переменной: tgx2=3, значит, x=2arctg3+2πk, kZ.

 

Ответ: 2arctg3+2πk, kZ.


Пример 4

Решить уравнение 4sinx-3cosx=2.


Решение

 

Решим данное уравнение с помощью формул универсальной подстановки, применив формулы (4), (5). Тогда 

4×2tgx21+tg2x2-3×1-tg2x21+tg2x2=2,

8tgx2-3+3tg2x2=2+2tg2x2,

tg2x2+8tgx2-5=0.

Пусть tgx2=t, тогда t2+8t-5=0, откуда t1=-4+21 и t2=-4-21. Вернемся к исходной переменной: 

tgx2=-4+21 или tgx2=-4-21. Тогда

x=2arctg(-4+21)+2πk, kZ,

x=2arctg(-4-21)+2πn, nZ.

 

Ответ: 2arctg(-4+21)+2πk, kZ, 2arctg(-4-21)+2πn, nZ.


Пример 5

Решить уравнение cos2x=3sin2x-1.


Решение

 

Перепишем уравнение в виде 3sin2x-cos2x=1.

Решим данное уравнение методом введения вспомогательного аргумента.  Здесь, a=3, b=1, a2+b2=2.

Разделим обе части уравнения на 2: 32sin2x-12cos2x=12. Введем вспомогательный аргумент φ так, чтобы cosφ=32, sinφ=12. Очевидно, что φ=π6. Исходное уравнение можно записать в виде:

cosπ6sin2x-sinπ6cos2x=12, или sin(2x-π6)=12. Это уравнение равносильно совокупности уравнений 2x-π6=π6+2πn, nZ и 2x-π6=5π6+2πk, kZ. Откуда x=π6+πn, nZ и x=π2+πk, kZ.

 

Ответ: π6+πn, nZ, π2+πk, kZ.


Упражнение 2

Решить уравнение:

 

1. sin2x-4sin2x-3cos2x=-5;

2. 5sinx-12cosx=13 методом введения вспомогательного аргумента;

3. 3cosx+2sinx=1 двумя способами (формул двойного аргумента, универсальной подстановки).


Контрольные вопросы

 

1. Что называют однородным тригонометрическим уравнением первого порядка?

2. Что называют однородным тригонометрическим уравнением второго порядка?

3. Опишите алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второго порядка.

4. В чем отличие однородных тригонометрических уравнений от неоднородных?

5. Как можно неоднородное тригонометрическое уравнение первого порядка свести к однородному? Второго порядка?


Ответы

Упражнение 1

 

1. arctg2,5+πk, kZ.

2. π4+πk, kZ; -arctg4+πn, nZ.

 

Упражнение 2

 

1. π4+πk, kZ; arctg13+πn, nZ.

2. π2+arcsin1213+2πk, kZ.

3. 2arctg(1+32)+2πk, kZ; 2arctg(1-32)+2πn, nZ.


Предыдущий урок
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества
Тригонометрия
Следующий урок
Решение тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Разложение на множители
Тригонометрия
  • Великая российская революция. Февраль 1917 г.

    История

  • Тепловые машины. Второй закон термодинамики. Принцип действия тепловых машин

    Физика

  • Взаимодействие общества и природной среды

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке