Конспект урока: Однородные тригонометрические уравнения. Метод введения вспомогательного аргумента

Ранее мы рассмотрели два способа решения тригонометрических уравнений: сведение к квадратному уравнению с помощью замены переменной, метод разложения на множители левой части уравнения. Среди тригонометрических уравнений выделяют однородные и неоднородные уравнения.

Однородное тригонометрическое уравнение первого порядка

Пусть дано уравнение $a \sin x+b \cos x=0$

Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Получим равносильное уравнение, т. к. $\cos x\ne 0,$ иначе, если $\cos x=0$, то уравнение примет вид $a \sin x=0$, т. е. $\sin x=0$, чего быть не может, по основному тригонометрическому тождеству синус и косинус одного и того же аргумента не могут одновременно обращаться в нуль. После деления на ненулевое выражение исходное уравнение примет вид $a tg x+b=0$, из которого последовательно находим $tg x$, а затем переменную $x$.

Решите уравнение $\sin x+\cos x=0$.

Решение

Разделим обе части уравнения на $\cos x\ne 0.$

$tgx+1=0,$ откуда $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z.$

Ответ: $-\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z.$

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка

Пусть дано уравнение $a {\sin }^{2}x+b \sin x\cos x+c {\cos }^{2}x=0$.

Разделим обе части уравнения на ${\cos }^{2}x\ne 0.$ Получим равносильное уравнение $a t{g}^{2}x+b tgx+c=0,$ квадратное относительно $tg x$. Для дальнейшего решения используем метод замены переменной.

Решите уравнение $6{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-5\sin x\cos x=0.$

Решение

Разделим обе части уравнения на ${\cos }^{2}x\ne 0.$ Уравнение примет вид $t{g}^{2}x-5tgx+6=0.$ Пусть $tg x=t$,  тогда  $t^2-5t+6=0,$ откуда $t_1=3, t_2=2.$ Вернемся к исходной переменной:

$tgx=3, x=arctg3+\pi k, k\in Z,$или

$tgx=2, x=arctg2+\pi n, n\in Z.$

Ответ: $arctg3+\pi k, k\in Z;$ $arctg2+\pi n, n\in Z.$

Несложно заметить, что при решении однородного тригонометрического уравнения n-го порядка обе части уравнения делят на косинус аргумента в наибольшей степени.

Решите уравнение:

1. $2\sin x-5\cos x=0;$

2. ${\sin }^{2}x+3\sin x\cos x-4{\cos }^{2}x=0.$

Неоднородные тригонометрические уравнения

Неоднородные тригонометрические уравнения первого порядка имеют несколько способов решения. Рассмотрим основные из них.

Метод решения неоднородных тригонометрических уравнений первого порядка с помощью формул двойного аргумента

Пусть дано уравнение вида $a \sin x+b \cos x=c$, где $a\ne 0, b\ne 0, c\ne 0$. Применим к нему следующие формулы:

$\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}$                                        (1)

$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$                                               (2)

${\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}=1.$                                             (3)

Получаем

$a·2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+b·({\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2})=c·({\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}).$

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

$(-b-c){\sin }^2\frac{x}{2}+2a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+(b-c){\cos }^2\frac{x}{2}=0.$

А это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка, метод решения которого описан выше.

Метод решения неоднородных тригонометрических уравнений первого порядка с помощью универсальной подстановки

Пусть дано уравнение вида $a \sin x+b \cos x=c$, где $a\ne 0, b\ne 0, c\ne 0$. Применим к нему следующие формулы (формулы универсальной подстановки):

$\sin x=\frac{2tg{\displaystyle \frac{x}{2}}}{1+t{g}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}},$                                        (4)

$\cos x=\frac{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}{1+t{g}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}.$                                        (5)

Тогда уравнение примет вид:

$a·\frac{2tg{\displaystyle \frac{x}{2}}}{1+t{g}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}+b·\frac{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}{1+t{g}^2\frac{x}{2}}=c,$

$2a·tg\frac{x}{2}+b-b·t{g}^2\frac{x}{2}=c+c·t{g}^2\frac{x}{2},$ или,

$(c+b)t{g}^2\frac{x}{2}-2a·tg\frac{x}{2}+(c-b)=0.$

А это тригонометрическое уравнение, квадратное относительно $tg\frac{x}{2},$ которое можно решить, заменив $tg\frac{x}{2}$ другой переменной.

Метод решения неоднородных тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента

Пусть дано уравнение вида $a \sin x+b \cos x=c$, где $a\ne 0, b\ne 0, c\ne 0$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2}:$

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Пусть $\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.$ Такое число $\phi$ существует, т. к. 

${\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2+{\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2=1,$ т. е. выполняется равенство

${\sin }^2\phi +{\cos }^2\phi =1.$ Тогда уравнение примет вид

$\cos \phi ·\sin x+\sin \phi ·\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$ Применим формулу синуса суммы аргументов: $\sin (x+\phi )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Неоднородные тригонометрические уравнения второго порядка решаются следующим образом: по основному тригонометрическому тождеству представляют единицу как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ и умножают это выражение на $d$: $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=d({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x).$ После преобразований получим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.

Решите уравнение $3\sin x-4\cos x=5$.

Решение

Решим данное уравнение с помощью формул двойного аргумента, применим формулы (1)–(3). Тогда 

$6\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-4({\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2})=5({\cos }^2\frac{x}{2}+{\sin }^2\frac{x}{2}).$

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

${\sin }^2\frac{x}{2}-6\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+9{\cos }^2\frac{x}{2}=0.$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Разделим обе части уравнения на ${\cos }^2\frac{x}{2}\ne 0,$ тогда $t{g}^2\frac{x}{2}-6tg\frac{x}{2}+9=0.$ Пусть $tg\frac{x}{2}=t.$ Имеем $t^2-6t+9=0,$откуда $t=3$. Вернемся к исходной переменной: $tg\frac{x}{2}=3,$значит, $x=2arctg3+2\pi k, k\in Z.$

Ответ: $2arctg3+2\pi k, k\in Z.$

Решите уравнение $4\sin x-3\cos x=2$.

Решение

Решим данное уравнение с помощью формул универсальной подстановки, применив формулы (4), (5). Тогда 

$4·\frac{2tg{\displaystyle \frac{x}{2}}}{1+t{g}^2\frac{x}{2}}-3·\frac{1-t{g}^2\frac{x}{2}}{1+t{g}^2\frac{x}{2}}=2,$

$8tg\frac{x}{2}-3+3t{g}^2\frac{x}{2}=2+2t{g}^2\frac{x}{2},$

$t{g}^2\frac{x}{2}+8tg\frac{x}{2}-5=0.$

Пусть $tg\frac{x}{2}=t,$ тогда $t^2+8t-5=0,$ откуда $t_1=-4+\sqrt{21}$ и $t_2=-4-\sqrt{21}.$ Вернемся к исходной переменной: 

$tg\frac{x}{2}=-4+\sqrt{21}$ или $tg\frac{x}{2}=-4-\sqrt{21}.$ Тогда

$x=2arctg(-4+\sqrt{21})+2\pi k, k\in Z,$

$x=2arctg(-4-\sqrt{21})+2\pi n, n\in Z.$

Ответ: $2arctg(-4+\sqrt{21})+2\pi k, k\in Z,$ $2arctg(-4-\sqrt{21})+2\pi n, n\in Z.$

Решите уравнение $\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x-1$.

Решение

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=1.$

Решим данное уравнение методом введения вспомогательного аргумента.  Здесь, $a=\sqrt{3}, b=1, \sqrt{a^2+b^2}=2.$

Разделим обе части уравнения на 2: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=\frac{1}{2}.$ Введем вспомогательный аргумент $\phi$ так, чтобы $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \phi =\frac{1}{2}.$ Очевидно, что $\phi =\frac{\pi }{6}.$ Исходное уравнение можно записать в виде:

$\cos \frac{\pi }{6}\sin 2x-\sin \frac{\pi }{6}\cos 2x=\frac{1}{2},$ или $\sin (2x-\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}.$ Это уравнение равносильно совокупности уравнений $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2\pi n, n\in Z$ и $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+2\pi k, k\in Z.$ Откуда $x=\frac{\pi }{6}+\pi n, n\in Z$ и $x=\frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z.$

Ответ: $\frac{\pi }{6}+\pi n, n\in Z, \frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z.$

Решите уравнение ${\cos }^4\frac{x}{4}+{\cos }^4\left(\frac{x}{4}+\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{1}{4}$.

Решение

Воспользуемся формулой понижения степени $\left({\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}\right)$:

${\left(\frac{1+\cos \frac{x}{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1+\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi }{2}\right)}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$.

В левой части уравнения применим свойство степени и умножим обе его части на $4$:

${\left(1+\cos \frac{x}{2}\right)}^2+{\left(1+\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi }{2}\right)\right)}^2=1$.

По формулам приведения $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \frac{x}{2}$.

После раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, применения основного тригонометрического тождества, получим:

$\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}=-1$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{x}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Зная, что $\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}$, последнее уравнение можно переписать так:

$\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{x}{2}+\cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Воспользуемся формулой синуса суммы аргументов:

$\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})=-\frac{1}{\sqrt{2}}$,

$[\begin{array}{c}\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z,\\ \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z,\end{array} [\begin{array}{c}\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{2}+2\pi k, k\in Z,\\ \frac{x}{2}=-\pi +2\pi n, n\in Z,\end{array}$

$[\begin{array}{c}x=-\pi +4\pi k, k\in Z,\\ x=-2\pi +4\pi n, n\in Z,\end{array}$  или  $[\begin{array}{c}x=\pi +4\pi k, k\in Z,\\ x=2\pi +4\pi n, n\in Z.\end{array}$

Ответ: $\pi +4\pi k, k\in Z$;  $2\pi +4\pi n, n\in Z$.

Решите уравнение:

1. ${\sin }^{2}x-4\sin 2x-3{\cos }^{2}x=-5;$

2. $5\sin x-12\cos x=13$ методом введения вспомогательного аргумента;

3. $3\cos x+2\sin x=1$ двумя способами (формул двойного аргумента, универсальной подстановки).