Конспект урока: Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат

Рис. 1

Пусть на координатной плоскости дана окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Такая окружность называется единичной. Пусть точка 
А (1;0) – начальная точка движения (см. Рис. 1). Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол $\alpha$ радиан $(\alpha \in R).$

1 случай. $\alpha >0.$ Точка А прошла против часовой стрелки по окружности путь длиной $\alpha$ и попала в точку М₁ (рис. 1). Будем говорить, что точка М₁ получена из точки А путем поворота вокруг начала координат на угол $\alpha$ радиан.

2 случай.  $\alpha <0.$ Точка А движется по часовой стрелке, попадает в точку М₂ (рис. 1) и проходит путь длиной $\left|\alpha \right|$.

3 случай. $\alpha =0.$ Точка А остается на месте.

Рис. 2                                            Рис. 3

Например, если повернуть точку А (1;0) на угол $\frac{3\pi }{2}$, получим точку ${М}_1(0;-1).$ При повороте на угол $-\frac{3\pi }{2},$ получим точку ${М}_2(0;1)$ (рис. 2). Поворот точки А (1; 0) на угол $\pi$ дает точку К(-1;0), эту же точку дает и поворот на угол $-\pi$ (рис.3).

Так как у одного и того же угла его мера может быть записана как в радианной мере, так и в градусной, то поворот точки вокруг начала координат можно задавать тоже в двух мерах, т. е. поворот точки А (1;0) на угол $\frac{\pi }{2}$ означает то же самое, что и поворот на ${90}^0$, поворот на $-\frac{\pi }{4}$- поворот на $-{45}^0$. Заметим, что поворот на $2\pi ,$ на $-2\pi$ возвращает точку в начальное положение. 

Таблица поворотов точки на некоторые углы

Рис. 4

Рис. 5

Все рассмотренные случаи лежат в пределах одной окружности. А что делать, если нужно совершить поворот на угол, больший $2\pi ,$ или меньший $-2\pi$? Например, на $\frac{37\pi }{15}?$ В этом случае выделяют полные обороты окружности: $\frac{37\pi }{15}=2\pi +\frac{7\pi }{15},$ т. е. точка А (1;0) совершает один полный оборот и еще проходит путь $\frac{7\pi }{15}$(рис. 5). 

Заметим, что при повороте на $\frac{37\pi }{15}$ и на $\frac{7\pi }{15}$ получается одна и та же точка. 

Иными словами, если     

$\alpha ={\alpha }_0+2\pi \kappa , \kappa \in Z,$ то при повороте на угол $\alpha$ получается та же точка, что и при повороте на угол ${\alpha }_0.$

Найдите координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1;0) на угол:

1)$3\pi ;$  2)$-\frac{5\pi }{2};$   3)$-4,5\pi .$

Решение

1) $3\pi =2\pi +\pi ,$ значит при повороте на $3\pi$ получается та же точка, что и при повороте на $\pi$, т. е. точка с координатами (-1;0).

2) $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}.$ При повороте на $-\frac{5\pi }{2}$получается та же точка, что и при повороте на $-\frac{\pi }{2}$, т. е. точка с координатами (0;-1).

3) $-4,5\pi =-4\pi -0,5\pi .$ Полученная точка совпадет с точкой, полученной при повороте на угол $-0,5\pi ,$ т. е. будет иметь координаты (0;-1).

Ответ: 1) (-1;0); 2) (0;-1); 3) (0;-1).

Укажите четверть, в которой расположена точка ${А}_{\alpha }$, полученная путем поворота точки А(1;0) на угол $\alpha$ радиан, если:

1) $\alpha =\frac{5\pi }{4};$  2)$\alpha =\frac{2\pi }{3};$  3)$\alpha =-\frac{\pi }{8};$  4)$\alpha =2,5.$

Решение

1) $\pi <\frac{5\pi }{4}<\frac{3\pi }{2},$ значит, ${А}_{а}$ расположена в III четверти.

2) $\frac{\pi }{2}<\frac{2\pi }{3}<\pi ,$ II четверть.

3) $0<\left|-\frac{\pi }{8}\right|<\left|-\frac{\pi }{2}\right|,$ IV четверть.

4) $\frac{\pi }{2}<2,5<\pi ,$ II четверть.

Ответ: 1) III;           2) II;           3) IV;              4) II.

На единичной окружности постройте точку, полученную при повороте точки A(1;0) на угол $\alpha$ радиан, если:

1) $\alpha =-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2};$  2)$\alpha =\frac{\pi }{2}+2\pi \kappa , \kappa \in Z.$

Решение

Рис. 6

1) Повернем точку А(1;0) по часовой стрелке на угол $\left|-\frac{\pi }{3}\right|$, попадем в точку В; затем полученную точку повернем на угол$\frac{\pi }{2}$ против часовой стрелки, попадем в точку С. Она и будет искомой (рис. 6).

Рис. 7

2) Повернем точку А(1;0) против часовой стрелки на угол $\frac{\pi }{2}$ попадем в точку В(0;1). При каждом следующем повороте на угол $2\pi$ независимо от направления, будем попадать в точку В. Точка В – искомая 
(см. Рис. 7).

Установите в какой четверти расположена точка $A_{\alpha }$, полученная путем поворота точки A(1;0) на угол $\alpha$, если:

1) $9\pi < \alpha < \frac{19\pi }{2};$  2) ${1650}^0 < \alpha < {1700}^0.$

Решение

1) Представим границы интервалов в виде $2\pi \kappa +\beta , \kappa \in Z: 9\pi =8\pi +\pi ; \frac{19\pi }{2}=8\pi +\frac{3\pi }{2}.$ Значит, точка $A_{\alpha }$ лежит между $\pi$ и $\frac{3\pi }{2}$, т. е. расположена в III четверти.

2) ${1650}^0=4·{360}^0+{210}^0; {1700}^0=4·{360}^0+{260}^0.$ Значит, точка $A_{\alpha }$ лежит между ${180}^0 и {270}^0,$ т. е. расположена в III четверти.

Ответ: III; III.

Найдите координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1;0) на угол:

1) $5\pi ;$   2) $\frac{9\pi }{2}.$

Укажите четверть, в которой расположена точка $A_{\alpha }$, полученная путем поворота точки А(1;0) на угол $\alpha$ радиан, если:

1) $\alpha =\frac{3\pi }{8};$   2)$\alpha =\frac{4\pi }{3}$;  3) $\alpha =3,8.$

На единичной окружности постройте точку, полученную при повороте точки А(1;0) на угол $\alpha$ радиан, если:

1) $\alpha =\frac{2\pi }{3}+\frac{3\pi }{2};$  2) $\alpha =2\pi \kappa , \kappa \in Z.$

1.Чему равна длина единичной окружности? Полуокружности?

2.При каком по счету обходе единичной окружности мы попадем в точку 7?

3.Почему числам $5-2\pi и 5+8\pi$ соответствует одна и та же точка числовой окружности?

Ответы

Упражнение 1

1)(-1;0);       2)(0;1).

 

Упражнение 2

1) I;       2) III;        3) III.

 

Упражнение 3

1)

 

2)