Конспект урока: Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат

Рис. 1

Пусть прямая, расположенная вертикально, и окружность радиуса 1 касаются в точке Р (рис. 1). Назовем эту прямую числовой осью с началом в точке Р, направление вверх будем считать положительным, единичным отрезком – радиус окружности. Считая $\pi \approx 3,14$, отметим точки $\pm 1,\pm \frac{\pi }{2},\pm 2,\pm 3,\pm \pi$. Представим данную числовую прямую в виде нерастяжимой нити, закрепим ее на окружности в точке Р и «намотаем» ее на окружность. Тогда точка числовой прямой с координатой 1 попадет в точку М₁, $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ в М₂, -1 в М₃, $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ в М₄. То есть каждой точке числовой прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

 

Будем считать угол РОМ₁ единичным, т. к. длина дуги РМ₁ равна радиусу окружности, который в свою очередь равен 1, и его мерой измерять другие углы. Таким образом угол РОМ₂ будет равен $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. В таком случае говорят, что углы измеряются в радианной мере, а угол РОМ₁ называют углом в один радиан (1 рад).

Рис. 2

Пусть дана окружность радиуса R. Отметим на ней радиус ОР, дугу окружности РМ длины R и угол РОМ (рис. 2).

На рисунке 2 угол РОМ является углом в один радиан.

А сколько же градусов содержится в одном радиане? Из курса геометрии мы знаем, что полуокружности (дуга длиной $\mathrm{\pi R}$) соответствует центральный угол в 180$°$, тогда если длина дуги R, то ей соответствует угол, в $\mathrm{\pi }$ раз меньший, т. е.

    $1 рад=\left(\frac{180}{\mathrm{\pi }}\right)°$      

Считая $\pi \approx 3,14$, $1 рад\approx 57,3°$.

Если угол равен не 1 рад, а $\alpha$ рад, то

       $\alpha рад=\left(\frac{180}{\mathrm{\pi }}\alpha \right)°$                       (1)   

Формула (1) называется формулой перевода радианной меры угла в градусную.

Решим обратную задачу. Выведем формулу перевода градусной меры угла в радианную.  Так как угол в $180°$ равен $\mathrm{\pi }$ радиан, то

$1°=\frac{\mathrm{\pi }}{180} рад$

Если угол содержит $\alpha °$, то его радианная мера

       $\alpha °=\frac{\mathrm{\pi }}{180}\alpha рад$                        (2)

Формула (2) называется формулой перевода градусной меры угла в радианную.

Найдите радианную меру угла, выраженную в градусах:

          1) $18°$;                    2) 153$°$.

Решение

1) $\pi -180°,$

$x-18°$

Тогда $x=\frac{18\mathrm{\pi }}{180}=\frac{\mathrm{\pi }}{10}$ рад.

2)  $\pi -180°,$

$x-153°$

Тогда $x=\frac{153\mathrm{\pi }}{180}=\frac{17\mathrm{\pi }}{20}$ рад.

Ответ: 1) $\frac{\mathrm{\pi }}{10}$ рад;    2) $\frac{17\mathrm{\pi }}{20}$ рад.

Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах:

1) $0,3\pi$;  2) $2,25\pi$;  3) 2 рад (с точностью до 0,01$°$).

Решение

 1) $\pi -180°,$

$0,3\pi -x°$

Тогда $x=\frac{180·0,3\pi }{\mathrm{\pi }}=54\left(°\right)$.

2) $\pi -180°,$

$2,25\pi -x°$

Тогда $x=\frac{180·2,25\pi }{\mathrm{\pi }}=405\left(°\right)$.

3) $\pi -180°,$

$2-x°$

Тогда $x=\frac{180·2}{3,14}=114,65\left(°\right)$.

Ответ: 1) $54°$;          2) $405°$;      3) $114,65°$.

Найдите радианную меру угла, выраженную в градусах:

          1) $225°$;                  2) $120°$.

Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах:

          1) $0,6\mathrm{\pi }$;        2) $3,2\mathrm{\pi }$.      

При решении задач часто применяют следующие обозначения мер углов:

Так как угол в 1 радиан опирается на дугу радиуса R, то угол $\alpha$ радиан опирается на дугу длиной $\alpha R$, значит, формула длины окружности для дуги в $\alpha$ радиан

 $l=\alpha R$                                (3)

Площадь полукруга, т. е. кругового сектора в $\mathrm{\pi }$ рад равна $\frac{{\mathrm{\pi R}}^2}{2}$. Значит, круговой сектор в 1 радиан имеет площадь, в $\mathrm{\pi }$ раз меньшую, $\frac{R^2}{2}$. Тогда, площадь сектора в $\alpha$ радиан равна $\frac{R^2\alpha }{2}$.

 $S=\frac{R^2\alpha }{2}$                               (4)

Найдите длину l окружности, стягивающей угол в 3 радиана, если радиус R окружности равен 5.

Решение
 

По формуле (3) длина окружности радиуса 5 для дуги в 3 радиана 

$l=\alpha R=3·5=15$.

Ответ: 15.

Дуге кругового сектора соответствует угол в $\frac{5\mathrm{\pi }}{6}$ рад. Найдите площадь сектора, если радиус круга 2 см.

Решение

По формуле (4) имеем $S=\frac{R·\alpha }{2}=\frac{2·{\displaystyle \frac{5\mathrm{\pi }}{6}}}{2}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}$ см².

Ответ: $\frac{5\mathrm{\pi }}{3}$ см².

Центральный угол $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ радиан стягивается дугой окружности, длина которой 2 см. Найти радиус этой окружности.

Радиус круга равен 1,5 см, а площадь кругового сектора 2,25 см². Найдите угол, соответствующий дуге этого кругового сектора.

1. Что такое радианная мера угла?
2. Как перевести градусную меру угла в радианную?
3. Как перевести радианную меру угла в градусную?