Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат

Тригонометрия

22.02.2024
2505
0

Радианная мера угла

План урока

  • Введение понятий радианной меры угла, угла в один радиан
  • Формула перевода радианной меры угла в градусную
  • Формула перевода градусной меры угла в радианную
  • Решение задач на применение формул перевода градусной меры угла в радианную и наоборот
  • Длина окружности для дуги в α радиан
  • Площадь кругового сектора в α радиан
  • Решение задач на применение формул нахождения длины окружности и площади кругового сектора

 

Цели урока

  • Знать определение угла в 1 радиан, формулы перевода градусной меры в радианную и наоборот
  • Уметь использовать формулы перевода градусной меры в радианную и наоборот при решении задач, вычислять длину окружности и площадь кругового сектора

Разминка

  1. Определение центрального угла, вписанного угла.
  2. Как найти центральный угол, вписанный угол, если даны градусные меры дуг, на которые они опираются?
  3. Формула нахождения длины окружности.
  4. Формула нахождения площади кругового сектора.

Рис. 1

Пусть прямая, расположенная вертикально, и окружность радиуса 1 касаются в точке Р (рис. 1). Назовем эту прямую числовой осью с началом в точке Р, направление вверх будем считать положительным, единичным отрезком – радиус окружности. Считая π3,14, отметим точки ±1,±π2,±2,±3,±π. Представим данную числовую прямую в виде нерастяжимой нити, закрепим ее на окружности в точке Р и «намотаем» ее на окружность. Тогда точка числовой прямой с координатой 1 попадет в точку М1π2 в М2, -1 в М3-π2 в М4. То есть каждой точке числовой прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

 

Будем считать угол РОМ1 единичным, т. к. длина дуги РМ1 равна радиусу окружности, который в свою очередь равен 1, и его мерой измерять другие углы. Таким образом угол РОМ2 будет равен π2. В таком случае говорят, что углы измеряются в радианной мере, а угол РОМ1 называют углом в один радиан (1 рад).

Рис. 2

Пусть дана окружность радиуса R. Отметим на ней радиус ОР, дугу окружности РМ длины R и угол РОМ (рис. 2).


Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан .


На рисунке 2 угол РОМ является углом в один радиан.

А сколько же градусов содержится в одном радиане? Из курса геометрии мы знаем, что полуокружности (дуга длиной πR) соответствует центральный угол в 180°, тогда если длина дуги R, то ей соответствует угол, в π раз меньший, т. е.

    1 рад=(180π)°      

Считая π3,141 рад57,3°.

Если угол равен не 1 рад, а α рад, то

       α рад=(180πα)°                       (1)   

Формула (1) называется формулой перевода радианной меры угла в градусную.

 

Решим обратную задачу. Выведем формулу перевода градусной меры угла в радианную.  Так как угол в 180° равен π радиан, то

 

1°=π180 рад

Если угол содержит α°, то его радианная мера

       α°=π180α рад                        (2)

 

Формула (2) называется формулой перевода градусной меры угла в радианную.


Пример 1

Найдите радианную меру угла, выраженную в градусах:

          1) 18°;                    2) 153°.


Решение

          

1) π-180°,     

 x-18°

Тогда x=18π180=π10 рад.

 

2)  π-180°,        

x-153°

Тогда x=153π180=17π20 рад.

 

Ответ: 1) π10 рад;    2) 17π20 рад.


Пример 2

Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах:

          

1) 0,3π;  2) 2,25π;  3) 2 рад (с точностью до 0,01°).


Решение

          

 1) π-180°,      

0,3π-x°

Тогда x=180·0,3ππ=54°.

 

2) π-180°,      

2,25π-x°

Тогда x=180·2,25ππ=405°.

 

3) π-180°,      

2-x°

Тогда x=180·23,14=114,65°.

 

Ответ: 1) 54°;          2) 405°;      3) 114,65°.

 


Упражнение 1

Найдите радианную меру угла, выраженную в градусах:

          1) 225°;                  2) 120°.


Упражнение 2

Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах:

          1) 0,6π;        2) 3,2π.      


При решении задач часто применяют следующие обозначения мер углов:

 

Градусы

0

30

45

60

90

180

Радианы

0

π6

π4

π3

π2

π

 

Так как угол в 1 радиан опирается на дугу радиуса R, то угол α радиан опирается на дугу длиной αR, значит, формула длины окружности для дуги в α радиан

 

 l=αR                                (3)

 

Площадь полукруга, т. е. кругового сектора в π рад равна πR22. Значит, круговой сектор в 1 радиан имеет площадь, в π раз меньшую, R22. Тогда, площадь сектора в α радиан равна R2α2.

 S=R2α2                               (4)


Пример 3

Найдите длину l окружности, стягивающей угол в 3 радиана, если радиус R окружности равен 5.


Решение
 

По формуле (3) длина окружности радиуса 5 для дуги в 3 радиана 

l=αR=3·5=15.

 

Ответ: 15.


Пример 4

Дуге кругового сектора соответствует угол в 5π6 рад. Найдите площадь сектора, если радиус круга 2 см.


Решение

По формуле (4) имеем S=R·α2=2·5π62=5π3 см2.

 

Ответ: 5π3 см2.


Упражнение 3

Центральный угол π3 радиан стягивается дугой окружности, длина которой 2 см. Найти радиус этой окружности.


Упражнение 4

Радиус круга равен 1,5 см, а площадь кругового сектора 2,25 см2. Найдите угол, соответствующий дуге этого кругового сектора.


Контрольные вопросы

  1. Что такое радианная мера угла?
  2. Как перевести градусную меру угла в радианную?
  3. Как перевести радианную меру угла в градусную?         


Ответы

Упражнение 1

 

1) 5π4;      2) 2π3.

 

Упражнение 2

 

1) 108°; 2) 576°.

 

Упражнение 3

 

 6π см.

 

Упражнение 4

 

 2 рад.


Предыдущий урок
Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла
Тригонометрия
Следующий урок
Формулы сложения
Тригонометрия
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Термодинамическая система. Внутренняя энергия и способы её изменения. Температура и тепловое равновесие

    Физика

  • Познавательная деятельность

    Обществознание

  • Динамика общественного развития

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке