- Введение понятий радианной меры угла, угла в один радиан
- Формула перевода радианной меры угла в градусную
- Формула перевода градусной меры угла в радианную
- Решение задач на применение формул перевода градусной меры угла в радианную и наоборот
- Длина окружности для дуги в радиан
- Площадь кругового сектора в радиан
- Решение задач на применение формул нахождения длины окружности и площади кругового сектора
- Знать определение угла в 1 радиан, формулы перевода градусной меры в радианную и наоборот
- Уметь использовать формулы перевода градусной меры в радианную и наоборот при решении задач, вычислять длину окружности и площадь кругового сектора
- Определение центрального угла, вписанного угла.
- Как найти центральный угол, вписанный угол, если даны градусные меры дуг, на которые они опираются?
- Формула нахождения длины окружности.
- Формула нахождения площади кругового сектора.
Пусть прямая, расположенная вертикально, и окружность радиуса 1 касаются в точке Р (рис. 1). Назовем эту прямую числовой осью с началом в точке Р, направление вверх будем считать положительным, единичным отрезком – радиус окружности. Считая , отметим точки . Представим данную числовую прямую в виде нерастяжимой нити, закрепим ее на окружности в точке Р и «намотаем» ее на окружность. Тогда точка числовой прямой с координатой 1 попадет в точку М1, в М2, -1 в М3, в М4. То есть каждой точке числовой прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.
Будем считать угол РОМ1 единичным, т. к. длина дуги РМ1 равна радиусу окружности, который в свою очередь равен 1, и его мерой измерять другие углы. Таким образом угол РОМ2 будет равен . В таком случае говорят, что углы измеряются в радианной мере, а угол РОМ1 называют углом в один радиан (1 рад).
Пусть дана окружность радиуса R. Отметим на ней радиус ОР, дугу окружности РМ длины R и угол РОМ (рис. 2).
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.
На рисунке 2 угол РОМ является углом в один радиан.
А сколько же градусов содержится в одном радиане? Из курса геометрии мы знаем, что полуокружности (дуга длиной ) соответствует центральный угол в 180, тогда если длина дуги R, то ей соответствует угол, в раз меньший, т. е.
Считая , .
Если угол равен не 1 рад, а рад, то
(1)
Формула (1) называется формулой перевода радианной меры угла в градусную.
Решим обратную задачу. Выведем формулу перевода градусной меры угла в радианную. Так как угол в равен радиан, то
Если угол содержит , то его радианная мера
(2)
Формула (2) называется формулой перевода градусной меры угла в радианную.
Пример 1
Найдите радианную меру угла, выраженную в градусах:
1) ; 2) 153.
Решение
1)
Тогда рад.
2)
Тогда рад.
Ответ: 1) рад; 2) рад.
Пример 2
Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах:
1) ; 2) ; 3) 2 рад (с точностью до 0,01).
Решение
1)
Тогда .
2)
Тогда .
3)
Тогда .
Ответ: 1) ; 2) ; 3) .
Упражнение 1
Найдите радианную меру угла, выраженную в градусах:
1) ; 2) .
Упражнение 2
Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах:
1) ; 2) .
При решении задач часто применяют следующие обозначения мер углов:
Градусы
|
0
|
30
|
45
|
60
|
90
|
180
|
Радианы
|
0
|
|
|
|
|
|
Так как угол в 1 радиан опирается на дугу радиуса R, то угол радиан опирается на дугу длиной , значит, формула длины окружности для дуги в радиан
(3)
Площадь полукруга, т. е. кругового сектора в рад равна . Значит, круговой сектор в 1 радиан имеет площадь, в раз меньшую, . Тогда, площадь сектора в радиан равна .
(4)
Пример 3
Найдите длину l окружности, стягивающей угол в 3 радиана, если радиус R окружности равен 5.
Решение
По формуле (3) длина окружности радиуса 5 для дуги в 3 радиана
.
Ответ: 15.
Пример 4
Дуге кругового сектора соответствует угол в рад. Найдите площадь сектора, если радиус круга 2 см.
Решение
По формуле (4) имеем см2.
Ответ: см2.
Упражнение 3
Центральный угол радиан стягивается дугой окружности, длина которой 2 см. Найти радиус этой окружности.
Упражнение 4
Радиус круга равен 1,5 см, а площадь кругового сектора 2,25 см2. Найдите угол, соответствующий дуге этого кругового сектора.
Контрольные вопросы
- Что такое радианная мера угла?
- Как перевести градусную меру угла в радианную?
- Как перевести радианную меру угла в градусную?
Упражнение 1
1) ; 2) .
Упражнение 2
1) ; 2) .
Упражнение 3
см.
Упражнение 4
2 рад.