Тест к уроку: Причастный оборот | Русский язык 7 класс

Уравнение sin x=a

План урока

Арксинус числа.
Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $\sin x = a .$
Вычисление значений тригонометрических выражений.
Частные случаи решения уравнения $\sin x = a$ .
Решение уравнений.

Цели урока

Знать определение арксинуса числа.
Знать формулу решения уравнения $\sin x = a$ .
Знать частные случаи решения уравнения $\sin x = a$ .
Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа $\sin x = a$ .
Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1 Поворот точки А(1; 0) на некоторый угол

На единичной окружности отмечена точка В, ордината которой равна $- \frac{1}{2}$ (Рис. 1).

Найти:

Абсциссу точки В.
Меру угла АОВ в радианах.
Координаты точки С.
Меры любых трех углов, на которые повернули точку А(1; 0), чтобы получить точки В и С (в радианах).
Все углы, на которые нужно повернуть точку А, чтобы получить точки В и С.

Решение простейшего тригонометрического уравнения $s i n x = a$

Рассмотрим следующий вид простейших тригонометрических уравнений, а именно $\sin x = a$ .

По определению, синус угла — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на некоторый угол $α$ . Из определения следует, что $|\sin α| \leq 1 .$ Если $|a| > 1,$ т. е. когда мы выйдем за пределы единичной окружности, то уравнение $\sin x = a$ корней иметь не будет. Например, уравнение $\sin x = - 1, 5$ .

Пример 1

Решить уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решение

Рис. 2. Решение уравнения 1

У точек $B_{1}$ и $B_{2}$ ординаты равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (Рис. 2). Помним, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{π}{4} .$ Тогда, для того, чтобы получить точку $B_{1}$ нужно повернуть точку А(1; 0) на угол $x_{1} = \frac{π}{4} .$ Но в нее же можно попасть и при повороте на угол $x = \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z .$ Точка $B_{2}$ получается из А(1; 0) поворотом на $x_{2} = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ , и на углы $x = \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z .$ То есть корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ можно найти по формулам $x = \frac{π}{4} + 2 π k$ , $x = π - \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z$ . А их, в свою очередь, можно объединить в одну: $x = {(- 1)}^{n} \frac{π}{4} + π n, n \in Z .$ Видим, что если в этой формуле n — четное число $(n = 2 k)$ , то получим $x = \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z,$ а если n — нечетное число $(n = 2 k + 1)$ , получим $x = π - \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z .$

Ответ: ${(- 1)}^{n} \frac{π}{4} + π n, n \in Z .$

Пример 2

Решить уравнение $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Решение

Рис. 3. Решение уравнения 2

У точек $B_{1}$ и $B_{2}$ ординаты равны $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ (Рис. 3). Значит,

$x_{1} = - \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z,$ а

$x_{2} = - π + \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z,$ т. е.

$x_{2} = - \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z .$ Тогда все решения уравнения $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ можно задать одной формулой $x = {(- 1)}^{n} (- \frac{π}{4}) + π k, k \in Z .$ В этой формуле если n — четное число ( $n = 2 k$ ), то получим $x = - \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z,$ а если n — нечетное число ( $n = 2 k - 1$ ), получим $x = - \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z .$

Ответ: ${(- 1)}^{n} (- \frac{π}{4}) + π k, k \in Z .$

Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это $x = \frac{π}{4},$ число $\frac{π}{4}$ называют арксинусом числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (обозначают $\frac{π}{4} = a r c \sin \frac{\sqrt{2}}{2}$ ); для второго — $x = - \frac{π}{4}$ , называют арксинусом числа ( $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ) (обозначают $- \frac{π}{4} = a r c \sin (- \frac{\sqrt{2}}{2})) .$

Вообще говоря, уравнение $\sin x = a$ при $|a| \leq 1$ (или, другими словами, при $- 1 \leq a \leq 1$ ) имеет единственный корень на отрезке $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ , причем, если $a \geq 0,$ то корень лежит на отрезке $[0; \frac{π}{2}]$ , если $a < 0$ , то на промежутке $[- \frac{π}{2}; 0)$ и этот корень называется арксинусом числа $a (a r c \sin a) .$

Арксинусом числа a, где $a \in [- 1; 1]$ называется такое число $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}],$ синус которого равен $a$ :

$\arcsin a = α$ , если $\sin α = a$ и $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

Для любого $a \in [- 1; 1]$ справедливо равенство

$\sin (\arcsin a) = a$ . (1)

Равенство

$\arcsin (\sin α) = α$ (2)

верно только при $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}],$ хотя выражение $\arcsin (\sin α)$ имеет смысл при всех $α \in R .$

Для любого $a \in [- 1; 1]$ верно равенство

$\arcsin (- a) = - \arcsin a$ . (3)

Все корни уравнения $\sin x = a$ , где $|a| \leq 1$ , можно находить по формуле

$x = {(- 1)}^{n} \arcsin a + π n, n \in Z$ . (4)

Пример 3

Вычислить:

а) $\frac{1}{2} a r c \sin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 0, 6 a r c \sin 0;$

б) $a r c \sin (\sin \frac{22 π}{7});$

в) $\cos (a r c \sin \frac{12}{13}) .$

Решение

а) Так как $- \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ , то $a r c \sin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ — число из промежутка $[- \frac{π}{2}; 0)$ , синус которого равен $- \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Значит, $a r c \sin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3}; a r c \sin 0 = 0 .$ Подставим найденные значения в исходное выражение: $\frac{1}{2} a r c \sin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 0, 6 a r c \sin 0 = \frac{1}{2} \times (- \frac{π}{3}) + 0, 6 \times 0 = - \frac{π}{6} .$

б) Воспользоваться формулой (2) мы здесь не можем, т. к. $\frac{22 π}{7} \notin [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ . Поэтому нужно найти число из $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}],$ синус которого будет равен $\sin \frac{22 π}{7} .$ Так как $\sin \frac{22 π}{7} = \sin (3 π + \frac{π}{7}) = \sin (2 π + π + \frac{π}{7}) = \sin (π + \frac{π}{7}) = - \sin \frac{π}{7} = \sin (- \frac{π}{7}),$ где $- \frac{π}{7} \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}],$ то $a r c \sin (\sin \frac{22 π}{7}) = - \frac{π}{7} .$

в) Пусть $a r c \sin \frac{12}{13} = x,$ отсюда по определению арксинуса числа $\sin x = \frac{12}{13}, x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$ Тогда с новыми обозначениями нужно найти $\cos x$ , где $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$ По следствию из основного тригонометрического тождества, с учетом того, что $x$ лежит в I или IV четверти, в которых косинус угла положительный $\cos x = \sqrt{1 - \sin^{2} x} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13} .$

Ответ: а) $- \frac{π}{6};$

б) $- \frac{π}{7};$

в) $\frac{5}{13} .$

Упражнение 1

Вычислить:

1. $5 a r c \sin (- \frac{1}{\sqrt{2}}) + 3 a r c \cos (- \frac{1}{2});$

2. $\frac{1}{3} a r c \sin (- 1) + \frac{1}{10} a r c \cos 1;$

3. $\sin (π - a r c \sin \frac{2}{3}) .$

Частные случаи решения уравнения $s i n x = a$

Применим формулу (4) к простейшему тригонометрическому уравнению $\sin x = a$ , когда $a = 0, a = 1, a = - 1$ .

$\sin x = 0,$ $x = π k, k \in Z,$ (5)

$\sin x = 1,$ $x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in Z,$ (6)

$\sin x = - 1,$ $x = - \frac{π}{2} + 2 π k, k \in Z .$ (7)

Формулы (5)–(7) называют частными случаями решения уравнения $\sin x = a$ .

Пример 4

Решить уравнение:

а) $5 \sin x = 2;$

б) $\sin (3 x + \frac{5 π}{6}) = 0;$

в) $\sin 7 x \cos 3 x - \cos 7 x \sin 3 x = 1 .$

Решение

а) Разделим обе части уравнения на 5: $\sin x = \frac{2}{5},$ откуда по формуле (4) найдем корни $x = {(- 1)}^{n} a r c \sin \frac{2}{5} + π n, n \in Z .$

б) По формуле (5) имеем $3 x + \frac{5 π}{6} = π k, k \in Z,$ откуда $3 x = - \frac{5 π}{6} + π k, k \in Z .$ Выразим $x : x = - \frac{5 π}{18} + \frac{π k}{3}, k \in Z .$

в) Применив формулу синуса разности, получим: $\sin 4 x = 1,$ откуда по (6) $4 x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in Z$ , $x = \frac{π}{8} + \frac{π k}{2}, k \in Z .$

Ответ: а) ${(- 1)}^{n} a r c \sin \frac{2}{5} + π n, n \in Z .$

б) $- \frac{5 π}{18} + \frac{π k}{3}, k \in Z .$

в) $\frac{π}{8} + \frac{π k}{2}, k \in Z .$

Упражнение 2

Решить уравнение:

1. $\frac{1}{2} \sin \frac{x}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4};$

2. $2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) + \sqrt{3} = 0;$

3. $(2 \sin x + 1) (4 + \sin x) = 0$ .

Контрольные вопросы

1. С помощью единичной окружности решить уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

2. Покажите на единичной окружности точки, соответствующие корням уравнения $\sin x = - 0, 7 .$

3. Найдите решения уравнения $\sin x = - \frac{1}{2}$ на промежутке $[- \frac{3 π}{2}; \frac{π}{2}] .$

Ответы

Упражнение 1

1. $\frac{3 π}{4} .$

2. $- \frac{π}{6} .$

3. $\frac{2}{3} .$

Упражнение 2

1. $π + 8 π k; 3 π + 8 π n, k, n \in Z .$

2. $- \frac{π}{3} + π k; - \frac{π}{2} + π n, k, n \in Z .$

3. $- \frac{π}{6} + 2 π n, n \in Z; - \frac{5 π}{6} + 2 π k, k \in Z .$

Конспект урока: Уравнение sin x = a

Тригонометрия

Решение простейшего тригонометрического уравнения $s i n x = a$

Конспект урока: Уравнение sin x = a

Тригонометрия

Решение простейшего тригонометрического уравнения sin x=a

Решение простейшего тригонометрического уравнения $s i n x = a$