Конспект урока: Уравнение sin x = a

План урока

• Арксинус числа.
• Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $\sin x=a.$
• Вычисление значений тригонометрических выражений.
• Частные случаи решения уравнения $\sin x=a$.
• Решение уравнений.

Цели урока

• Знать определение арксинуса числа.
• Знать формулу решения уравнения $\sin x=a$.
• Знать частные случаи решения уравнения $\sin x=a$.
• Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа $\sin x=a$.
• Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1 Поворот точки А(1; 0) на некоторый угол

На единичной окружности отмечена точка В, ордината которой равна $-\frac{1}{2}$(Рис. 1). 

 

Найти:

• Абсциссу точки В.
• Меру угла АОВ в радианах.
• Координаты точки С.
• Меры любых трех углов, на которые повернули точку А(1; 0), чтобы получить точки В и С (в радианах).
• Все углы, на которые нужно повернуть точку А, чтобы получить точки В и С.

Решение простейшего тригонометрического уравнения $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{=}\mathit{a}$

Рассмотрим следующий вид простейших тригонометрических уравнений, а именно $\sin x=a$.

По определению, синус угла — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на некоторый угол $\alpha$. Из определения следует, что $\left|\sin \alpha \right|\le 1.$ Если $\left|a\right|>1,$ т. е. когда мы выйдем за пределы единичной окружности, то уравнение $\sin x=a$ корней иметь не будет. Например, уравнение $\sin x=-1,5$.

Решить уравнение $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решение

Рис. 2. Решение уравнения 1

У точек $B_1$ и $B_2$ ординаты равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (Рис. 2). Помним, что $\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}.$ Тогда, для того, чтобы получить точку $B_1$ нужно повернуть точку А(1; 0) на угол $x_1=\frac{\pi }{4}.$ Но в нее же можно попасть и при повороте на угол $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$ Точка $B_2$ получается из А(1; 0) поворотом на $x_2=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$, и на углы $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$ То есть корни уравнения $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ можно найти по формулам $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$,  $x=\pi -\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\pi k, k\in \mathrm{Z}$. А их, в свою очередь, можно объединить в одну: $x={(-1)}^n\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.$ Видим, что если в этой формуле n — четное число $(n=2k)$, то получим $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z,$ а если n — нечетное число $(n=2k+1)$, получим $x=\pi -\frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$

 

Ответ: ${(-1)}^n\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.$

Решить уравнение $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Решение

Рис. 3. Решение уравнения 2

У точек $B_1$ и $B_2$ ординаты равны $-\frac{\sqrt{2}}{2}$(Рис. 3). Значит, 

$x_1=-\frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z,$ а 

$x_2=-\pi +\frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z,$ т. е.

$x_2=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$ Тогда все решения уравнения $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ можно задать одной формулой $x={(-1)}^n(-\frac{\pi }{4})+\pi k, k\in Z.$ В этой формуле если n — четное число ($n=2k$), то получим $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k, k\in Z,$ а если n — нечетное число ($n=2k-1$),  получим $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k, k\in Z.$

 

Ответ: ${(-1)}^n(-\frac{\pi }{4})+\pi k, k\in Z.$

Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это $x=\frac{\pi }{4},$ число $\frac{\pi }{4}$ называют арксинусом числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (обозначают $\frac{\pi }{4}=arc\sin \frac{\sqrt{2}}{2}$); для второго — $x=-\frac{\pi }{4}$, называют арксинусом числа ($-\frac{\sqrt{2}}{2}$) (обозначают $-\frac{\pi }{4}=arc\sin (-\frac{\sqrt{2}}{2})).$

Вообще говоря, уравнение $\sin x=a$ при $\left|a\right|\le 1$(или, другими словами, при $-1\le a\le 1$) имеет единственный корень на отрезке $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$, причем, если $a\ge 0,$ то корень лежит на отрезке $[0;\frac{\pi }{2}]$, если $a<0$, то на промежутке $[-\frac{\pi }{2};0)$ и этот корень называется арксинусом числа $a \left(arc\sin a\right).$

Вычислить:

а) $\frac{1}{2}arc\sin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+0,6arc\sin 0;$

б) $arc\sin \left(\sin \frac{22\pi }{7}\right);$

в) $\cos \left(arc\sin \frac{12}{13}\right).$

Решение

а) Так как $-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$, то $arc\sin (-\frac{\sqrt{3}}{2})$ — число из промежутка $[-\frac{\pi }{2};0)$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Значит, $arc\sin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi }{3}; arc\sin 0=0.$ Подставим найденные значения в исходное выражение: $\frac{1}{2}arc\sin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+0,6arc\sin 0=\frac{1}{2}\times (-\frac{\pi }{3})+0,6\times 0=-\frac{\pi }{6}.$

б) Воспользоваться формулой (2) мы здесь не можем, т. к. $\frac{22\pi }{7}\notin [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$. Поэтому нужно найти число из $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}],$ синус которого будет равен $\sin \frac{22\pi }{7}.$ Так как $\sin \frac{22\pi }{7}=\sin (3\pi +\frac{\pi }{7})=\sin (2\pi +\pi +\frac{\pi }{7})=\sin (\pi +\frac{\pi }{7})=-\sin \frac{\pi }{7}=\sin (-\frac{\pi }{7}),$где $-\frac{\pi }{7}\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right],$ то $arc\sin \left(\sin \frac{22\pi }{7}\right)=-\frac{\pi }{7}.$

в) Пусть $arc\sin \frac{12}{13}=x,$ отсюда по определению арксинуса числа $\sin x=\frac{12}{13}, x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right].$ Тогда с новыми обозначениями нужно найти $\cos x$, где $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right].$ По следствию из основного тригонометрического тождества, с учетом того, что $x$ лежит в I или IV четверти, в которых косинус угла положительный $\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}.$

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6};$

              б)$-\frac{\pi }{7};$

              в)$\frac{5}{13}.$

Вычислить:

1. $5arc\sin (-\frac{1}{\sqrt{2}})+3arc\cos (-\frac{1}{2});$

2. $\frac{1}{3}arc\sin (-1)+\frac{1}{10}arc\cos 1;$

3. $\sin (\pi -arc\sin \frac{2}{3}).$

Частные случаи решения уравнения $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{=}\mathit{a}$

Применим формулу (4) к простейшему тригонометрическому уравнению $\sin x=a$,  когда $a=0, a=1, a=-1$.

$\sin x=0,$            $x=\pi k, k\in Z,$                       (5)

$\sin x=1,$           $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k, k\in Z,$             (6)

$\sin x=-1,$       $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k, k\in Z.$         (7)

Формулы (5)–(7) называют частными случаями решения уравнения $\sin x=a$.

Решить уравнение:

а) $5\sin x=2;$

б) $\sin (3x+\frac{5\pi }{6})=0;$

в) $\sin 7x\cos 3x-\cos 7x\sin 3x=1.$

Решение

а) Разделим обе части уравнения на 5: $\sin x=\frac{2}{5},$откуда по формуле (4) найдем корни $x={(-1)}^{n}arc\sin \frac{2}{5}+\pi n, n\in Z.$

б) По формуле (5) имеем $3x+\frac{5\pi }{6}=\pi k, k\in Z,$откуда $3x=-\frac{5\pi }{6}+\pi k, k\in Z.$ Выразим $x: x=-\frac{5\pi }{18}+\frac{\pi k}{3}, k\in Z.$

в) Применив формулу синуса разности, получим: $\sin 4x=1,$откуда по (6) $4x=\frac{\pi }{2}+2\pi k, k\in Z$, $x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2}, k\in Z.$

Ответ: а)${(-1)}^{n}arc\sin \frac{2}{5}+\pi n, n\in Z.$

              б)$-\frac{5\pi }{18}+\frac{\pi k}{3}, k\in Z.$

              в)$\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2}, k\in Z.$

Решить уравнение:

1. $\frac{1}{2}\sin \frac{x}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4};$

2. $2\sin (2x+\frac{\pi }{3})+\sqrt{3}=0;$

3. $(2\sin x+1)(4+\sin x)=0$.