Конспект урока: Формулы приведения

План урока

• Вывод формул приведения
• Правило для запоминания формул приведения
• Решение заданий

Цели урока

• Знать формулы приведения, правила записи формул приведения
• Уметь их использовать при решении задач

Разминка

По рис. 1 – рис. 4 ответьте на вопросы:

 

Рис. 1                                                                                            Рис. 2

Рис. 3                                                                                               Рис. 4

 

1. Синусы каких углов равны синусу $30°$ (рис. 1)?

2. Косинусы каких углов равны косинусу $120°$ (рис. 2)?

3. Сравните значения синуса и косинуса для точек В и М. На какой угол повернули точку А(1; 0), чтобы получить точку М (рис. 3)? На какой угол повернули точку В, чтобы получить точку М?

4. Выразите угол $\beta$ через $\alpha$ (рис. 4). Сравните синусы и косинусы углов $\alpha , \beta .$

Рис. 5

Вычислим значение  $\sin 855°$ и $\cos 855°.$ Как мы уже делали раньше, представим угол $855°$в виде $k·360°+\alpha , k\in Z,$ т. е. выделим полные обороты окружности. 

 

$855°=2·360°+135°.$

 

Значит, если повернуть точку  А(1; 0) на угол $855°$, то попадем в ту же точку, что и при повороте на $135°,$ назовем ее точкой В (рис. 5), т. е.  $\sin 855°=\sin 135°, \cos 855°=\cos 135°.$

Рис. 6

Построим точку С, симметричную В относительно оси ординат (рис. 6). Видно, что ординаты точек В и С одинаковые, а абсциссы отличаются знаками. Раз точка В получена из точки А поворотом на $135°=180°-45°,$ то точку С можно получить, повернув А на угол $45°$.

Поэтому 

$\sin 135°=\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},$

$\cos 135°=-\cos 45°=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Из решения этой задачи можно заметить:

• При повороте точки А(1; 0) на угол $\alpha +2\pi k, k\in Z$ получается та же точка, что и при повороте на угол $\alpha$, значит верны
   

$\sin (\alpha +2\pi k)=\sin \alpha ,$               (1)

$\cos (\alpha +2\pi k)=\cos \alpha .$               (2)

• $\sin (180°-45°)=\sin 45°, \cos (180°-45°)=-\cos 45°,$ тогда
   

$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha ,$               (3)

$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha .$          (4)

Формулы (3) и (4) можно доказать, используя уже известные нам формулы синуса разности аргументов и косинуса разности аргументов. Вообще говоря, (3) и (4) называются формулами приведения. Но только этими двумя список формул приведения не ограничивается.

Формулы приведения для синуса и косинуса угла

$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha , \cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha ,$

$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha , \cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha ,$

$\sin (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-\cos \alpha , \cos (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-\sin \alpha ,$

$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha , \cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha ,$

$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha , \cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha ,$

$\sin (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\cos \alpha , \cos (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=\sin \alpha .$

Все формулы справедливы для любого значения аргумента.

Вычислите:

1) $\cos 300°;$                  2) $\sin \frac{5\pi }{3}.$

Решение

1) $\cos 300°=\cos (270°+30°)=\sin 30°=\frac{1}{2}.$

2) $\sin \frac{5\pi }{3}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{3})=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Ответ: 1) $\frac{1}{2};$

              2) $-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Чтобы вывести формулы приведения для тангенса и котангенса угла, можно использовать определение тангенса и котангенса, например, $tg\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\frac{\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )}{\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=ctg\alpha$ и т. д. Приведем формулы приведения для тангенса и котангенса угла без доказательства.

$$\begin{gathered} tg(\frac{\pi }{2}-\alpha )=ctg\alpha , \\ ctg(\frac{\pi }{2}-\alpha )=tg\alpha , \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} tg(\pi -\alpha )=-tg\alpha , \\ ctg(\pi -\alpha )=-ctg\alpha , \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} tg(\frac{3\pi }{2}-\alpha )=ctg\alpha , \\ ctg(\frac{3\pi }{2}-\alpha )=tg\alpha , \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} tg(\frac{\pi }{2}+\alpha )=-ctg\alpha , \\ ctg(\frac{\pi }{2}+\alpha )=-tg\alpha , \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} tg(\pi +\alpha )=tg\alpha , \\ ctg(\pi +\alpha )=ctg\alpha , \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} tg(\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-ctg\alpha , \\ ctg(\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-tg\alpha . \end{gathered}$$

Все формулы справедливы для любого допустимого значения аргумента.

Все приведенные выше формулы приведения помнить необязательно, к ним можно прийти, опираясь на правило:

Вычислите:

1) $tg\frac{31\pi }{3};$                  2) $\cos 945°.$

Решение

1) Представим аргумент  $\frac{31\pi }{3}$ в виде $a+2\pi k, k\in Z:$ $\frac{31\pi }{3}=10\pi +\frac{\pi }{3}.$ Тогда 

$tg\frac{31\pi }{3}=tg(10\pi +\frac{\pi }{3}).$ Аргумент тангенса имеет вид $\pi k+\alpha , k\in Z,$ значит, по правилу, описанному выше, наименование функции останется тем же. Угол $10\pi +\frac{\pi }{3}$ находится в I четверти, в которой $tg\alpha >0.$Тогда $tg(10\pi +\frac{\pi }{3})=tg\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}.$

2) $\cos 945°=\cos (2·360°+225°)=\cos 225°=\cos (270°-45°).$

Аргумент косинуса имеет вид $\frac{\pi }{2}k-\alpha , k\in Z,$ тогда косинус меняется на синус, угол $225°$ расположен в III четверти, в которой cos$\alpha$<0. Получили, что $\cos (270°-45°)=-\sin 45°=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Ответ: 1) $\sqrt{3;}$

              2) $-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Определите знак числового выражения $В=\frac{\sin 215°·\cos 318°·tg1060°}{\cos 520°}.$

Решение

Определим знак каждого выражения в В.

$\sin 215°=\sin (180°+35°)=-\sin 35°<0;$

$\cos 318°=\cos (360°-42°)=\cos 42°>0;$

$tg1060°=tg(1080°-20°)=-tg20°<0;$

$\cos 520°=\cos (540°-20°)=-\cos 20°<0.$

Таким образом, числитель — положительное число, знаменатель — отрицательное. Тогда выражение $B$ принимает отрицательное значение.

Ответ: отрицательное.

Докажите тождество $\frac{\cos (x-2\pi )\sin (2\pi -x)\sin (x-\pi )}{ctg(\pi -x)\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)ctg(x+{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})}={\sin }^{2}x.$

Доказательство

Рассмотрим левую часть тождества и сделаем так, чтобы аргумент функции начинался с $\pi k$ или $\frac{\pi }{2}k, k\in Z$, для этого вынесем минус там, где это необходимо: 

$\frac{\cos \left(-\left(2\pi -x\right)\right)\sin (2\pi -x)\sin \left(-\left(\pi -x\right)\right)}{ctg(\pi -x)\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)ctg\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}+x}\right)}.$ Применим формулы синуса и косинуса отрицательных углов  $\sin (-x)=-\sin x, \cos (-x)=\cos x,$тогда $\frac{\cos (-(2\pi -x\left)\right)\sin (2\pi -x)\sin (-(\pi -x\left)\right)}{ctg(\pi -x)\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)ctg\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}+x}\right)}=$$\frac{-\cos (2\pi -x)\sin (2\pi -x)\sin (\pi -x)}{ctg(\pi -x)\sin (\frac{\pi }{2}-x)ctg(\frac{3\pi }{2}+x)}.$

Воспользуемся правилом для формул приведения: $\frac{-\cos x(-\sin x)\sin x}{-ctgx\cos x(-tgx)}.$ Помня, что $ctgx·tgx=1$ и сократив дробь на cosx, получим ${\sin }^{2}x,$ а это и есть правая часть тождества.

Вычислите:

1) $\cos 495°-tg945°+\sin 1125°;$

2) $\sin (-7\pi )+2\cos (-\frac{49\pi }{6})-ctg(-\frac{21\pi }{4}).$

Докажите тождество $\frac{{\sin }^2(x-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})\cos (2\pi -x)}{t{g}^2(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}){\cos }^2(x-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})}=\cos x.$

1. Замените данное выражение соответствующим обозначением тригонометрической функции:  $\cos (\frac{\pi }{2}+x)$, $\sin (\pi +x)$, $tg(\frac{3\pi }{2}+x)$, $ctg(2\pi +x)$.

2. Замените данное выражение соответствующим обозначением тригонометрической функции: $\sin (\frac{\pi }{2}-x)$, $tg(\pi -x)$, $ctg(\frac{3\pi }{2}-x)$, $\cos (2\pi -x)$.