Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Формулы приведения

Тригонометрия

Формулы приведения

План урока

  • Вывод формул приведения.
  • Правило для запоминания формул приведения.
  • Решение задач на применение формул приведения.

Цели урока

  • Знать формулы приведения, правила записи формул приведения.
  • Уметь их использовать при решении задач.

Разминка

По рис. 1 – рис. 4 ответьте на вопросы:

 

Рис. 1                                                                                            Рис. 2 Рис. 1                                                                                            Рис. 2

Рис. 3                                                                                               Рис. 4 Рис. 3                                                                                               Рис. 4

 

1. Синусы каких углов равны синусу 30° (Рис. 1)?

2. Косинусы каких углов равны косинусу 120° (Рис. 2)?

3. Сравните значения синуса и косинуса для точек В и М. На какой угол повернули точку А(1; 0), чтобы получить точку М (Рис. 3)? На какой угол повернули точку В, чтобы получить точку М?

4. Выразите угол β через α(см. Рис. 4). Сравните синусы и косинусы углов α, β.

Рис. 5 Рис. 5

Вычислим значение  sin855° и cos855° . Как мы уже делали раньше, представим угол 855° в виде k·360°+α, kZ, т. е. выделим полные обороты окружности. 

 

855°=2·360°+135°.

 

Значит, если повернуть точку  А(1; 0) на угол 855°, то попадем в ту же точку, что и при повороте на 135°, назовем ее точкой В (Рис. 5), т. е.  sin855°=sin135°, cos855°=cos135°.

Рис. 6 Рис. 6

Построим точку С, симметричную В относительно оси ординат (Рис. 6). Видно, что ординаты точек В и С одинаковые, а абсциссы отличаются знаками. Раз точка В получена из точки А поворотом на 135°=180°-45°, то точку С можно получить, повернув А на угол 45°.

Поэтому 

sin135°=sin45°=22,

cos135°=-cos45°=-22.

 

Из решения этой задачи можно заметить:

 

  • При повороте точки А(1; 0) на угол α+2πk, kZ получается та же точка, что и при повороте на угол α, значит верны
     

sin(α+2πk)=sinα,               (1)

 

cos(α+2πk)=cosα.               (2)

 

 

  • sin(180°-45°)=sin45°, cos(180°-45°)=-cos45°, тогда
     

sin(π-α)=sinα,               (3)

 

cos(π-α)=-cosα.          (4)

 

Формулы (3) и (4) можно доказать, используя уже известные нам формулы синуса разности аргументов и косинуса разности аргументов. Вообще говоря, (3) и (4) называются формулами приведения . Но только этими двумя список формул приведения не ограничивается.

 

Формулы приведения для синуса и косинуса угла

 

sin(π2-α)=cosα,                 cos(π2-α)=sinα,

sin(π-α)=sinα,                   cos(π-α)=-cosα, 

sin(3π2-α)=-cosα,            cos(3π2-α)=-sinα,             

sin(π2+α)=cosα,                 cos(π2+α)=-sinα,

sin(π+α)=-sinα,               cos(π+α)=-cosα,           

sin(3π2+α)=-cosα,            cos(3π2+α)=sinα .       

 

Все формулы справедливы для любого значения аргумента.


Пример 1

Вычислить:

 

а) cos300°;                  б) sin5π3.


Решение

 

а) cos300°=cos(270°+30°)=sin30°=12.

 

б) sin5π3=sin(2π-π3)=sin(-π3). Вспомним, что  sin(-α)=-sinα, тогда 

sin(-π3)=-sinπ3=-32.

 

Ответ: а) 12;

              б) -32.


Чтобы вывести формулы приведения для тангенса и котангенса угла, можно использовать определение тангенса и котангенса, например, tg(π2-α)=sin(π2-α)cos(π2-α)=cosαsinα=ctgα и т. д. Приведем формулы приведения для тангенса и котангенса угла без доказательства.

 

tg(π2-α)=ctgα,           ctg(π2-α)=tgα,

tg(π-α)=-tgα,           ctg(π-α)=-ctgα, 

tg(3π2-α)=ctgα,          ctg(3π2-α)=tgα,             

tg(π2+α)=-ctgα,        ctg(π2+α)=-tgα,

tg(π+α)=tgα,              ctg(π+α)=ctgα,           

tg(3π2+α)=-ctgα,       ctg(3π2+α)=-tgα .       

 

Все формулы справедливы для любого допустимого значения аргумента.

 

Все приведенные выше формулы приведения помнить необязательно, к ним можно прийти, опираясь на правило:


Если в левой части угол равен πk±α,kZ, то наименование функции остается тем же. Если угол равен π2k±α, kZ, то наименование функции меняется на наименование кофункции: синус — на косинус, косинус — на синус, тангенс — на котангенс, котангенс — на тангенс. Знак определяется условием.


Пример 2

Вычислить:

 

а) tg31π3;                  б) cos945°.


Решение

 

а) Представим аргумент  31π3 в виде a+2πk, kZ: 31π3=10π+π3. Тогда 

tg31π3=tg(10π+π3). Аргумент тангенса имеет вид πk+α, kZ, значит, по правилу, описанному выше, наименование функции останется тем же. Угол 10π+π3 находится в I четверти, в которой tgα>0. Тогда tg(10π+π3)=tgπ3=3.

 

б) cos945°=cos(2×360°+225°)=cos225°=cos(270°-45°).

Аргумент косинуса имеет вид π2k-α, kZ, тогда косинус меняется на синус, угол 225° расположен в III четверти, в которой cosα<0. Получили, что cos(270°-45°)=-sin45°=-22.

 

Ответ: а) 3;

              б) -22.


Пример 3

Определить знак числового выражения В=sin215°×cos318°×tg1060°cos520°.


Решение

         

Определим знак каждого выражения в В.

sin215°=sin(180°+35°)=-sin35°<0;

cos318°=cos(360°-42°)=cos42°>0;

tg1060°=tg(1080°-20°)=-tg20°<0;

cos520°=cos(540°-20°)=-cos20°<0.

 

Таким образом, числитель — положительное число, знаменатель — отрицательное. Тогда выражение B принимает отрицательное значение.

 

Ответ: отрицательное.


Пример 4

Доказать тождество cos(x-2π)sin(2π-x)sin(x-π)ctg(π-x)sin(π2-x)ctg(x+3π2)=sin2x.


Доказательство

 

Рассмотрим левую часть тождества и сделаем так, чтобы аргумент функции начинался с πk или π2k, kZ, для этого вынесем минус там, где это необходимо: 

 

cos-2π-xsin(2π-x)sin-π-xctg(π-x)sin(π2-x)ctg(3π2+x). Применим формулы синуса и косинуса отрицательных углов  sin(-x)=-sinx, cos(-x)=cosx, тогда cos(-(2π-x))sin(2π-x)sin(-(π-x))ctg(π-x)sin(π2-x)ctg(3π2+x)==-cos(2π-x)sin(2π-x)sin(π-x)ctg(π-x)sin(π2-x)ctg(3π2+x).

 

Воспользуемся правилом для формул приведения: -cosx(-sinx)sinx-ctgxcosx(-tgx). Помня, что ctgx×tgx=1 и сократив дробь на cosx, получим sin2x, а это и есть правая часть тождества.


Упражнение 1

Вычислить:

 

а) cos495°-tg945°+sin1125°;

б) sin(-7π)+2cos(-49π6)-ctg(-21π4).


Упражнение 2

Доказать тождество sin2(x-3π2)cos(2π-x)tg2(x-π2)cos2(x-3π2)=cosx.


Контрольные вопросы

1. Замените данное выражение соответствующим обозначением тригонометрической функции:  cos(π2+x)sin(π+x)tg(3π2+x)ctg(2π+x).

 

2. Замените данное выражение соответствующим обозначением тригонометрической функции: sin(π2-x)tg(π-x)ctg(3π2-x)cos(2π-x).

 


Ответы

Упражнение 1

 

а) -1;                  б)3+1.

 

 

Упражнение 2

 

Указание. Использовать формулы приведения, определение котангенса угла.


Предыдущий урок
Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла
Тригонометрия
Следующий урок
Однородные тригонометрические уравнения. Метод введения вспомогательного аргумента
Тригонометрия
  • Деформация. Сила упругости. Закон Гука. Сила трения

    Физика

  • А.С. Пушкин. Периоды жизни и творчества. Основные темы лирики. Тема свободы.

    Литература

  • А.Н. Островский «Гроза». Нравы города Калинова. Образ Катерины Кабановой. Народные истоки её характера. Суть конфликта героини с «тёмным царством»

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке