Конспект урока: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества

Зависимость между синусом и косинусом угла

Рис. 1

Пусть на единичной окружности дана точка А(1; 0). При повороте вокруг начала координат на угол $\alpha$ она попадает в точку ${А}_{\alpha }$, абсцисса которой $\cos \alpha ,$ а ордината $\sin \alpha ,$ т. е. у точки ${А}_{\alpha }$ координаты $(\cos \alpha ; \sin \alpha )$ (рис. 1). Значит, $x=\cos \alpha$; $y=\sin \alpha$. Уравнение, задающее единичную окружность $x^2+y^2=1.$ Точка ${А}_{\alpha }$ лежит на этой окружности, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению, имеем

 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$                  (1)

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Зная синус угла, можно по формуле (1) найти косинус этого угла, и наоборот, зная косинус угла, можно найти синус. Выразим $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества.

$\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }.$                  (2)

$\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }.$                  (3)

Знак $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ зависит от угла $\alpha$, а именно от того в какой четверти будет находиться угол.

Найдите:

1) $\sin \alpha ,$ если $\cos \alpha =0,8; \frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi ;$

2) $\cos \alpha ,$ если $\sin \alpha =\frac{5}{13}; 0<\alpha <\frac{\pi }{2}$.

Решение

1) Для нахождения $\sin \alpha$ воспользуемся формулой (2): $\sin \alpha =\pm \sqrt{1-0,8^2}=\pm 0,6.$ Так как $\alpha$ принадлежит IV четверти, в которой синус угла отрицательный, то $\sin \alpha =-0,6.$

2) По формуле (3) имеем $\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\pm \frac{12}{13}.$ Из того, что $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ следует, что $\cos \alpha >0.$ Тогда $\cos \alpha =\frac{12}{13}.$

Ответ: а)$-0,6$; 

              б)$\frac{12}{13}.$

Зависимость между тангенсом и котангенсом угла

Запишем тангенс угла в виде отношения синуса угла к его косинусу, а котангенс в виде отношения косинуса к синусу и умножим эти выражения, получим:

$tg \alpha ·ctg \alpha =\frac{sin \alpha }{cos \alpha }·\frac{cos \alpha }{sin \alpha }=1,$т. е.

$tg\alpha ·ctg\alpha =1.$                     (4)

Формула (4) имеет смысл при $\cos \alpha \ne 0 и \sin \alpha \ne 0,$ т. е. при $\alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k\in Z.$

Из (4) выразим  $tg\alpha$ через $ctg\alpha$ и наоборот:

$tg\alpha =\frac{1}{ctg\alpha },$                      (5)

$ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }.$                     (6)

Найдите:

1) $ctg\alpha$, если $tg\alpha =\frac{3}{4};$

2) $ctg\alpha$, если $\cos \alpha =-0,6; \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$

Решение

1) По формуле (6) имеем $ctg\alpha =\frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\frac{4}{3}.$

2) Найдем $\sin \alpha$ по формуле (2):  $\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{(-0,6)}^2}=\pm 0,8.$ Так как $\alpha$ принадлежит II четверти, в которой синус угла положительный, то $\sin \alpha =0,8.$ По определению котангенса угла, $ctg\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-0,6}{0,8}=-\frac{3}{4}.$

Ответ: 1) $\frac{4}{3};$ 

              2)$-\frac{3}{4}.$

Зависимость между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

Пусть дано основное тригонометрическое тождество ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ и ${\cos }^2\alpha \ne 0.$ Разделим обе части тождества на ${\cos }^2\alpha$. Получим $\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha },$ откуда

$1+t{g}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }.$                            (7)

Формула (7) верна тогда, когда ${\cos }^2\alpha \ne 0,$ т. е. $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z.$

Аналогично, из основного тригонометрического тождества делением на ${\sin }^2\alpha \ne 0$ можно вывести формулу зависимости между котангенсом и синусом угла

$1+ct{g}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha },$                 (8)

где $\alpha \ne \pi k, k\in Z.$

Найдите $tg\alpha$, если $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{4}; \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$

Решение

Для нахождения $tg\alpha$ воспользуемся формулой (7):  $t{g}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1=\frac{1}{{\displaystyle \frac{5}{16}}}-1=\frac{11}{5}.$ Тогда $tg\alpha =\pm \sqrt{\frac{11}{5}}.$ Из того, что $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ следует, что $tg\alpha <0,$ тогда $tg\alpha =-\frac{11}{5}.$

Ответ: $-\frac{11}{5}.$

Упростите выражение $\frac{{\cos }^3\alpha +{\sin }^3\alpha }{(1-\sin \alpha \cos \alpha )·\sin \alpha }-ctg\alpha .$

Решение

$\frac{{\cos }^3\alpha +{\sin }^3\alpha }{(1-\sin \alpha \cos \alpha )·\sin \alpha }-ctg\alpha =\frac{(\cos \alpha +\sin \alpha )({\cos }^2\alpha -\cos \alpha \sin \alpha +{\sin }^2\alpha )}{(1-\sin \alpha \cos \alpha )·\sin \alpha }-ctg\alpha =$

$=\frac{(\cos \alpha +\sin \alpha )(1-\cos \alpha \sin \alpha )}{(1-\sin \alpha \cos \alpha )·\sin \alpha }-ctg\alpha =\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\sin \alpha }-ctg\alpha .$

Разделив почленно числитель на знаменатель в первом слагаемом, получим $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }+1-ctg\alpha .$ Применим определение котангенса угла и приведем подобные слагаемые $ctg\alpha +1-ctg\alpha =1.$

Ответ: 1.

Найдите: 

1) $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, если $ctg\alpha =\frac{4}{3}; 7\pi <\alpha <\frac{15\pi }{2};$

2) $\cos \alpha$ и $tg\alpha$, если $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{13}}{4}; \pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}.$

Упростите выражение $\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha -1}{{(\sin \alpha +\cos \alpha )}^2-1}.$