- Зависимость между синусом и косинусом угла. Примеры применения основного тригонометрического тождества.
- Зависимость между тангенсом и котангенсом угла.
- Зависимость между тангенсом и косинусом угла, между котангенсом и синусом угла.
- Решение заданий.
- Знать основное тригонометрическое тождество (зависимость между синусом и косинусом), зависимость между тангенсом и котангенсом, между тангенсом и косинусом, между котангенсом и синусом.
- Уметь применять формулы этих зависимостей при решении заданий.
1. Дана окружность с центром в начале координат и радиусом R=1. Принадлежат ли окружности точки
2. Сравните с нулем значения выражений:
Зависимость между синусом и косинусом угла
Пусть на единичной окружности дана точка А(1; 0). При повороте вокруг начала координат на угол она попадает в точку , абсцисса которой а ордината т. е. у точки координаты (рис. 1). Значит, ; . Уравнение, задающее единичную окружность Точка лежит на этой окружности, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению, имеем
(1)
Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством .
Зная синус угла, можно по формуле (1) найти косинус этого угла, и наоборот, зная косинус угла, можно найти синус. Выразим и из основного тригонометрического тождества.
(2)
(3)
Знак и зависит от угла , а именно от того в какой четверти будет находиться угол.
Пример 1
Найдите:
1) если
2) если .
Решение
1) Для нахождения воспользуемся формулой (2): Так как принадлежит IV четверти, в которой синус угла отрицательный, то
2) По формуле (3) имеем Из того, что следует, что Тогда
Ответ: а);
б)
Зависимость между тангенсом и котангенсом угла
Запишем тангенс угла в виде отношения синуса угла к его косинусу, а котангенс в виде отношения косинуса к синусу и умножим эти выражения, получим:
т. е.
(4)
Формула (4) имеет смысл при т. е. при
Из (4) выразим через и наоборот:
(5)
(6)
Пример 2
Найдите:
1) , если
2) , если
Решение
1) По формуле (6) имеем
2) Найдем по формуле (2): Так как принадлежит II четверти, в которой синус угла положительный, то По определению котангенса угла,
Ответ: 1)
2)
Зависимость между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
Пусть дано основное тригонометрическое тождество и Разделим обе части тождества на . Получим откуда
(7)
Формула (7) верна тогда, когда т. е.
Аналогично, из основного тригонометрического тождества делением на можно вывести формулу зависимости между котангенсом и синусом угла
(8)
где
Пример 3
Найдите , если
Решение
Для нахождения воспользуемся формулой (7): Тогда Из того, что следует, что тогда
Ответ:
Пример 4
Упростите выражение
Решение
Разделив почленно числитель на знаменатель в первом слагаемом, получим Применим определение котангенса угла и приведем подобные слагаемые
Ответ: 1.
Упражнение 1
Найдите:
1) и , если
2) и , если
Упражнение 2
Упростите выражение
Контрольные вопросы
1. Как найти значение , если известно значение ?
2. Как найти значение , если известно значение ?
3. Как найти значение , если известно значение ?
Упражнение 1
1)
2)
Упражнение 2
.