Конспект урока: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества

Формулу ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ называют основным тригонометрическим тождеством. А что же такое тождество?

Способы доказательств тождеств

1. Преобразование левой части к виду правой.
2. Преобразование правой части к виду левой.
3. Преобразование левой и правой частей к одному и тому же выражению.
4. Установление того, что разность между левой и правой частями равна нулю.

Докажите тождество:

1)$\frac{{\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}+2ct{g}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x};$

2) $ct{g}^{2}x-{\cos }^{2}x=ct{g}^{2}x·{\cos }^{2}x.$

Решение

1) Докажем тождество двумя способами.

1 способ. Упростим левую часть. Применим формулу разности квадратов и определение котангенса угла:

$\frac{{\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}+2ct{g}^{2}x=\frac{({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}{1-{\cos }^{2}x}+\frac{2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}.$

Из основного тригонометрического тождества ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ понимаем, что $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x,$ тогда  $\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}+\frac{2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$  А это и есть правая часть тождества. 

2 способ. Докажем, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю.

$\frac{{\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}+2ct{g}^{2}x-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=$$\frac{({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}{1-{\cos }^{2}x}+\frac{2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=$

$=\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}+\frac{2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=0.$

2) $ct{g}^{2}x-{\cos }^{2}x=ct{g}^{2}x·{\cos }^{2}x.$

Упростим левую часть тождества:

 $$\begin{gathered} ct{g}^{2}x-{\cos }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}-{\cos }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x·{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x(1-{\sin }^{2}x)}{{\sin }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x·{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}= \\ =ct{g}^{2}x·{\cos }^{2}x. \end{gathered}$$

Такое же выражение записано и в правой части, значит тождество доказано.

Докажите тождество:

1)$\frac{1+tga}{1+ctga}=tga;$

2)$\frac{ctga}{tga}+{\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=\frac{1}{{\sin }^{2}a}.$

Найдите значение выражения ${\cos }^{3}x-{\sin }^{3}x,$ если $\cos x-\sin x=0,3.$

Решение

Воспользуемся формулой разности кубов и основным тригонометрическим тождеством:

$$\begin{gathered} {\cos }^{3}x-{\sin }^{3}x=(\cos x-\sin x)({\cos }^{2}x+\cos x\sin x+{\sin }^{2}x)= \\ =(\cos x-\sin x)(1+\cos x\sin x)=0,3(1+\cos x\sin x). \end{gathered}$$

Возведем во вторую степень равенство, данное в условии получим

${\cos }^{2}x-2\cos x\sin x+{\sin }^{2}x=0,09,$

$1-2\cos x\sin x=0,09,$

$2\cos x\sin x=0,91,$

$\cos x\sin x=0,455.$

Тогда $0,3(1+\cos x\sin x)=0,3·1,455=0,4365.$

Ответ: 0,4365.

Найдите значение выражения $t{g}^{2}a+ct{g}^{2}a,$ если $tga+ctga=5.$