Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества

Тригонометрия

Зависимость между тригонометрическими функциями

 

План урока

  • Зависимость между синусом и косинусом угла. Примеры применения основного тригонометрического тождества.
  • Зависимость между тангенсом и котангенсом угла.
  • Зависимость между тангенсом и косинусом угла, между котангенсом и синусом угла.
  • Решение задач на применение формул зависимостей.

Цели урока

  • Знать основное тригонометрическое тождество (зависимость между синусом и косинусом), зависимость между тангенсом и котангенсом, между тангенсом и косинусом, между котангенсом и синусом.
  • Уметь применять формулы этих зависимостей на при решении задач.

Разминка

1. Дана окружность с центром в начале координат и радиусом R=1. Принадлежит ли окружности точки A(-32;-12), B(0,7; 0,3), C(-35;-45)?

 

2. Определить знаки значений выражений: cos2550, sin2π3, tg5.

 

Зависимость между синусом и косинусом угла

 

Рис. 1 Рис. 1

Пусть на единичной окружности дана точка А(1; 0). При повороте вокруг начала координат на угол α она попадает в точку Аа, абсцисса которой cosα, а ордината sinα, т. е. у точки Аа координаты (cosα; sinα) (Рис. 1). Значит, x=cosαy=sinα. Уравнение, задающее единичную окружность x2+y2=1. Точка Аа лежит на этой окружности, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению, имеем

 

sin2α+cos2α=1                  (1)

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством .

 

Зная синус угла, можно по формуле (1) найти косинус этого угла, и наоборот, зная косинус угла, можно найти синус. Выразим cosα и sinα из основного тригонометрического тождества.

 

sinα=±1-cos2α.                  (2)

cosα=±1-sin2α.                  (3)

 

Знак cosα и sinα зависит от угла α, а именно от того в какой четверти будет находиться угол.


Пример 1

Найти:

 

а) sinα, если cosα=0,8;  3π2<α<2π;

б) cosα, если sinα=513; 0<α<π2.


Решение

         

а) Для нахождения sinα воспользуемся формулой (2): sinα=±1-0,82=±0,6. Так как α принадлежит IV четверти, в которой синус угла отрицательный, то sinα=-0,6.

 

б) По формуле (3) имеем cosα=±1-(513)2=±1213. Из того, что 0<α<π2 следует, что cosα>0. Тогда cosα=1213.

 

Ответ: а)-0,6

              б)1213.


Зависимость между тангенсом и котангенсом угла

 

Запишем тангенс угла в виде отношения синуса угла на косинус угла, а котангенс в виде отношения косинуса на синус и умножим эти выражения, получим:

tg α×ctg α=sin αcos α×cos αsin α=1, т. е.

tgα×ctgα=1.                     (4)

 

Формула (4) имеет смысл при cosα0 и sinα0, т. е. при απk2, kZ.

 

Из (4) выразим  tgα через ctgα и наоборот:

tgα=1ctgα,                      (5)

ctgα=1tgα.                     (6)


Пример 2

Найти:

 

а) ctgα, если tgα=34; 3π<α<7π2;

б) ctgα, если cosα=-0,6;  π2<α<π.


Решение

 

а) По формуле (6) имеем ctgα=134=43.

б) Найдем sinα по формуле (2)  sinα=±1-(-0,6)2=±0,8. Так как α принадлежит II четверти, в которой синус угла положительный, то sinα=0,8. По определению котангенса угла ctgα=cosαsinα=-0,60,8=-34.

 

Ответ: а) 43; 

              б)-34.


Зависимость между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

 

Пусть дано основное тригонометрическое тождество sin2α+cos2α=1 и cos2α0. Разделим обе части тождества на cos2α. Получим sin2αcos2α+1=1cos2α, откуда

1+tg2α=1cos2α.                            (7)

 

Формула (7) верна тогда, когда cos2α0, т. е. απ2+πk, kZ.

 

Аналогично, из основного тригонометрического тождества делением на sin2α0 можно вывести формулу зависимости между котангенсом и синусом угла

1+ctg2α=1sin2α,                 (8)

где απk, kZ.


Пример 3

Найти tgα, если cosα=-54; π2<α<π.


Решение

 

Для нахождения tgα воспользуемся формулой (7):  tg2α=1cos2α-1=1516-1=115. Тогда tgα=±115. Из того, что π2<α<π следует, что tgα<0, тогда tgα=-115.

 

Ответ: -115.


Пример 4

Упростить выражение cos3α+sin3α(1-sinαcosα)×sinα-ctgα.


Решение

 

cos3α+sin3α(1-sinαcosα)×sinα-ctgα=(cosα+sinα)(cos2α-cosαsinα+sin2α)(1-sinαcosα)×sinα-ctgα=

 

=(cosα+sinα)(1-cosαsinα)(1-sinαcosα)×sinα-ctgα=cosα+sinαsinα-ctgα.

 

Разделив почленно числитель на знаменатель в первом слагаемом, получим cosαsinα+1-ctgα. Применим определение котангенса угла и приведем подобные слагаемые ctgα+1-ctgα=1.

 

Ответ: 1.


Упражнение 1

Найти: 

 

а) sinα  и cosα, если ctgα=43; 7π<α<15π2;

б) cosα и tgα, если sinα=-134; π<α<3π2.


Упражнение 2

Упростить выражение cos2α-sin2α-1(sinα+cosα)2-1.


Итак:

 

1. Основное тригонометрическое тождество: 

sin2α+cos2α=1

2. Зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла:

  • tgα×ctgα=1, απk2, kZ.
  • 1+tg2α=1cos2α, απ2+πk, kZ.
  • 1+ctg2α=1sin2α, απk, kZ.


Контрольные вопросы

 

1. Как найти значение ctg a, если знаешь значение cos a?

2. Как найти значение sin a, если знаешь значение cos a?

3. Как найти значение sin a, если знаешь значение tg a?


Ответы

Упражнение 1

 

а) sinα=-35, cosα=-45;

б) cosα=-34, tgα=133.

 

 

Упражнение 2

 

-tg a.


Предыдущий урок
Уравнение sin x = a
Тригонометрия
Следующий урок
Решение тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Разложение на множители
Тригонометрия
  • Using technology. Используя технологии

    Английский язык

  • Collocations with money. Коллокации с деньгами

    Английский язык

  • Духовная культура общества

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке