Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
10 класс
Алгебра
Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α

Алгебра 10 класс Алгебра 10 класс

Конспект урока: Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α

Тригонометрия

05.04.2025

3787

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса

План урока

Определение знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по координатным четвертям единичной окружности.
Решение заданий.

Цели урока

Знать, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в различных координатных четвертях.
Уметь определять знак $\sin α, \cos α, t g α, c t g α$ при заданных значениях $α$ , сравнивать числа.

Разминка

1. Вычислите:

1) $\sin π - t g 2 π;$ 2) $\cos \frac{π}{2} - \sin \frac{π}{6} .$

2. В какой четверти находится точка, полученная путем поворота точки А(1; 0) на угол $α$ , если:

1) $α = \frac{2 π}{7};$ 2) $α = \frac{7 π}{4};$ 3) $α = - 216^{0}$ ?

3. Какие знаки имеют абсцисса и ордината точки, полученной поворотом точки А(1; 0) на угол $\frac{8 π}{5} ?$

Рассмотрим движение точки А(1; 0) по единичной окружности против часовой стрелки.

I четверть: $0 < α < \frac{π}{2} .$ Ординаты и абсциссы точек положительны, значит, $\sin α > 0, \cos α > 0, t g α > 0$ (т. к. тангенс угла есть отношение синуса угла к его косинусу, а частное двух положительных величин есть величина положительная), $c t g α > 0$ (частное положительного косинуса угла к положительному синусу угла будет положительным).

II четверть: $\frac{π}{2} < α < π .$ Ординаты точек положительны, абсциссы отрицательны. Тогда $\sin α > 0$ , $\cos α < 0$ , $t g α < 0$ , $c t g α < 0$ .

III четверть: $π < α < \frac{3 π}{2} .$ Ординаты и абсциссы точек отрицательны. Значит, $\sin α < 0, \cos α < 0, t g α > 0, c t g α > 0 .$

IV четверть: $\frac{3 π}{2} < α < 2 π .$ Ординаты точек отрицательны, абсциссы положительны. Тогда $\sin α < 0$ , $\cos α > 0$ , $t g α < 0$ , $c t g α < 0$ .

Приведем графическую иллюстрацию для лучшего запоминания (рис. 1).

Рис.1

Если же точка А(1; 0) осуществляет поворот на угол, больший $2 π$ , или движется по часовой стрелке, знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса определяются тем, в какой четверти окажется точка в соответствии с рисунком 1.

Пример 1

Определите знаки $\sin α, \cos α, t g α, c t g α$ если:

1) $α = \frac{14 π}{3};$ 2) $α = - 328^{0} .$

Решение

1) $α = \frac{14 π}{3} = 4 π + \frac{2 π}{3} .$ Значит, угол $α$ лежит во II четверти, тогда $\sin α > 0, \cos α < 0, t g α < 0, c t g α < 0 .$

2) $α = - 328^{0} = - 360^{0} + 32^{0},$ следовательно угол $α$ лежит в IV четверти, тогда $\sin α < 0$ , $\cos α > 0$ , $t g α < 0$ , $c t g α < 0$ .

Ответ:

1) $\sin α > 0, \cos α < 0, t g α < 0, c t g α < 0 .$

2) $\sin α < 0, \cos α > 0, t g α < 0, c t g α < 0 .$

Пример 2

Сравните числа:

1) $\sin 3$ и $\sin 4$ ; 2) $\cos 4$ и $\cos 5$ ; 3) $\sin 2$ и $\cos 2$ .

Решение

1) $3 \in [\frac{π}{2}; π],$ значит, $\sin 3 > 0; 4 \in [π; \frac{3 π}{2}],$ тогда $\sin 4 < 0 .$

Следовательно, $\sin 3 > \sin 4 .$

2) $\cos 4 < 0,$ т. к. 4 лежит в III четверти. $5 \in [\frac{3 π}{2}; 2 π],$ тогда $\cos 5 > 0 .$ Значит, $\cos 4 < \cos 5 .$

3) $2 \in [\frac{π}{2}; π],$ тогда $\sin 2 > 0$ и $\cos 2 < 0$ . Значит, $\sin 2 > \cos 2 .$

Ответ: 1) $\sin 3 > \sin 4;$

2) $\cos 4 < \cos 5;$

3) $\sin 2 > \cos 2 .$

Упражнение 1

Определите знаки $\sin α, \cos α, t g α, c t g α$ если:

1) $α = - \frac{6 π}{7};$ 2) $α = - 405^{0} .$

Упражнение 2

Сравните числа:

1) $\sin 0, 4$ и $\sin 6, 03$ ;

2) $\cos (- 3)$ и $\cos (- 5)$ ;

3) $\sin 4, 4$ и $\cos 4, 4$ .

Контрольные вопросы

1. Почему в третьей координатной четверти и синус, и косинус угла принимают отрицательные значения?

2. Почему в четвертой координатной четверти и тангенс, и котангенс угла принимают отрицательные значения?

3. В какой четверти находится точка М, если обе ее координаты отрицательны? Абсцисса точки М отрицательна, а ордината положительна?

Ответы

Упражнение 1

1) $\sin α < 0, \cos α < 0, t g α > 0, c t g α > 0 .$

2) $\sin α < 0, \cos α > 0, t g α < 0, c t g α < 0 .$

Упражнение 2

1) $\sin 0, 4 > \sin 6, 03;$

2) $\cos (- 3) < \cos (- 5);$

3) $\sin 4, 4 < \cos 4, 4 .$

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса

План урока

Определение знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по координатным четвертям единичной окружности.
Решение заданий.

Цели урока

Знать, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в различных координатных четвертях.
Уметь определять знак $\sin α, \cos α, t g α, c t g α$ при заданных значениях $α$ , сравнивать числа.

Разминка

1. Вычислите:

1) $\sin π - t g 2 π;$ 2) $\cos \frac{π}{2} - \sin \frac{π}{6} .$

2. В какой четверти находится точка, полученная путем поворота точки А(1; 0) на угол $α$ , если:

1) $α = \frac{2 π}{7};$ 2) $α = \frac{7 π}{4};$ 3) $α = - 216^{0}$ ?

3. Какие знаки имеют абсцисса и ордината точки, полученной поворотом точки А(1; 0) на угол $\frac{8 π}{5} ?$

Рассмотрим движение точки А(1; 0) по единичной окружности против часовой стрелки.

III четверть: $π < α < \frac{3 π}{2} .$ Ординаты и абсциссы точек отрицательны. Значит, $\sin α < 0, \cos α < 0, t g α > 0, c t g α > 0 .$

Приведем графическую иллюстрацию для лучшего запоминания (рис. 1).

Рис.1

Пример 1

Определите знаки $\sin α, \cos α, t g α, c t g α$ если:

1) $α = \frac{14 π}{3};$ 2) $α = - 328^{0} .$

Решение

1) $α = \frac{14 π}{3} = 4 π + \frac{2 π}{3} .$ Значит, угол $α$ лежит во II четверти, тогда $\sin α > 0, \cos α < 0, t g α < 0, c t g α < 0 .$

2) $α = - 328^{0} = - 360^{0} + 32^{0},$ следовательно угол $α$ лежит в IV четверти, тогда $\sin α < 0$ , $\cos α > 0$ , $t g α < 0$ , $c t g α < 0$ .

Ответ:

1) $\sin α > 0, \cos α < 0, t g α < 0, c t g α < 0 .$

2) $\sin α < 0, \cos α > 0, t g α < 0, c t g α < 0 .$

Пример 2

Сравните числа:

1) $\sin 3$ и $\sin 4$ ; 2) $\cos 4$ и $\cos 5$ ; 3) $\sin 2$ и $\cos 2$ .

Решение

1) $3 \in [\frac{π}{2}; π],$ значит, $\sin 3 > 0; 4 \in [π; \frac{3 π}{2}],$ тогда $\sin 4 < 0 .$

Следовательно, $\sin 3 > \sin 4 .$

2) $\cos 4 < 0,$ т. к. 4 лежит в III четверти. $5 \in [\frac{3 π}{2}; 2 π],$ тогда $\cos 5 > 0 .$ Значит, $\cos 4 < \cos 5 .$

3) $2 \in [\frac{π}{2}; π],$ тогда $\sin 2 > 0$ и $\cos 2 < 0$ . Значит, $\sin 2 > \cos 2 .$

Ответ: 1) $\sin 3 > \sin 4;$

2) $\cos 4 < \cos 5;$

3) $\sin 2 > \cos 2 .$

Упражнение 1

Определите знаки $\sin α, \cos α, t g α, c t g α$ если:

1) $α = - \frac{6 π}{7};$ 2) $α = - 405^{0} .$

Упражнение 2

Сравните числа:

1) $\sin 0, 4$ и $\sin 6, 03$ ;

2) $\cos (- 3)$ и $\cos (- 5)$ ;

3) $\sin 4, 4$ и $\cos 4, 4$ .

Контрольные вопросы

1. Почему в третьей координатной четверти и синус, и косинус угла принимают отрицательные значения?

2. Почему в четвертой координатной четверти и тангенс, и котангенс угла принимают отрицательные значения?

Ответы

Упражнение 1

1) $\sin α < 0, \cos α < 0, t g α > 0, c t g α > 0 .$

2) $\sin α < 0, \cos α > 0, t g α < 0, c t g α < 0 .$

Упражнение 2

1) $\sin 0, 4 > \sin 6, 03;$

2) $\cos (- 3) < \cos (- 5);$

3) $\sin 4, 4 < \cos 4, 4 .$

Предыдущий урок

Решение простейших тригонометрических неравенств. Уравнения, содержащие ограничения по ОДЗ

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Feelings and emotions

Английский язык
Измерение отрезков

Геометрия
Склонение имён существительных. Падеж имён существительных.

Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке