Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

  • Все предметы
  • 10 класс
  • Алгебра
  • Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α

Конспект урока: Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α

Тригонометрия

01.04.2025
3785
0

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса

 

План урока

  • Определение знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по координатным четвертям единичной окружности.
  • Решение заданий.

Цели урока

  • Знать, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в различных координатных четвертях.
  • Уметь определять знак sinα, cosα, tgα, ctgα при заданных значениях α,  сравнивать числа.

Разминка

1. Вычислите:

 

1) sinπ-tg2π;                    2) cosπ2-sinπ6.

 

2. В какой четверти находится точка, полученная путем поворота точки А(1; 0) на угол α, если:

 

1) α=2π7;                     2) α=7π4;                     3) α=-2160?

 

3. Какие знаки имеют абсцисса и ордината точки, полученной поворотом точки А(1; 0) на угол 8π5?


Рассмотрим движение точки А(1; 0) по единичной окружности против часовой стрелки.

 

I четверть:  0<α<π2. Ординаты и абсциссы точек положительны, значит, sinα>0, cosα>0, tgα>0 (т. к. тангенс угла есть отношение синуса угла к его косинусу, а частное двух положительных величин есть величина положительная), ctgα>0 (частное  положительного косинуса угла к положительному синусу угла будет положительным).

 

II четверть:  π2<α<π. Ординаты точек положительны, абсциссы отрицательны. Тогда sinα>0cosα<0tgα<0ctgα<0.

 

III четвертьπ<α<3π2. Ординаты и абсциссы точек отрицательны. Значит,  sinα<0, cosα<0, tgα>0, ctgα>0.

 

IV четверть3π2<α<2π. Ординаты точек отрицательны, абсциссы положительны. Тогда  sinα<0cosα>0tgα<0ctgα<0.

 

Приведем графическую иллюстрацию для лучшего запоминания (рис. 1).

 

Рис.1 Рис.1

 

Если же точка А(1; 0) осуществляет поворот на угол, больший 2π, или движется по часовой стрелке, знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса определяются тем, в какой четверти окажется точка в соответствии с рисунком 1.


Пример 1

Определите знаки sinα, cosα, tgα, ctgα если:

 

1) α=14π3;                2) α=-3280.


Решение

 

1) α=14π3=4π+2π3. Значит, угол α лежит во II четверти, тогда sinα>0, cosα<0, tgα<0, ctgα<0.

 

2) α=-3280=-3600+320, следовательно угол α лежит в IV четверти, тогда sinα<0cosα>0tgα<0ctgα<0.

 

Ответ: 

 

1) sinα>0, cosα<0, tgα<0, ctgα<0.

2) sinα<0, cosα>0, tgα<0, ctgα<0.


Пример 2

Сравните числа:

 

1) sin3 и sin4;                2) cos4 и cos5;                3) sin2 и cos2.


Решение

 

1) 3[π2;π], значит, sin3>0; 4[π;3π2], тогда sin4<0.

Следовательно, sin3>sin4.

 

2) cos4<0, т. к. 4 лежит в III четверти. 5[3π2; 2π], тогда cos5>0. Значит, cos4<cos5.

 

3) 2[π2; π], тогда sin2>0 и cos2<0. Значит, sin2>cos2.

 

Ответ: 1) sin3>sin4;

              2) cos4<cos5;

              3) sin2 >cos2.


Упражнение 1

Определите знаки sinα, cosα, tgα, ctgα если:

 

1) α=-6π7;                    2) α=-4050.


Упражнение 2

Сравните числа:

 

1) sin0,4 и sin6,03;

2) cos-3 и cos-5;

3) sin4,4 и cos4,4.


Контрольные вопросы

 

1. Почему в третьей координатной четверти и синус, и косинус угла принимают отрицательные значения?

2. Почему в четвертой координатной четверти и тангенс, и котангенс угла принимают отрицательные значения?

3. В какой четверти находится точка М, если обе ее координаты отрицательны? Абсцисса точки М отрицательна, а ордината положительна?


Ответы

Упражнение 1

 

1) sinα<0, cosα<0, tgα>0, ctgα>0.

2) sinα<0, cosα>0, tgα<0, ctgα<0.

 

 

Упражнение 2

 

1) sin0,4>sin6,03;

2) cos-3<cos-5;

3) sin4,4<cos4,4.


Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса

 

План урока

  • Определение знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по координатным четвертям единичной окружности.
  • Решение заданий.

Цели урока

  • Знать, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в различных координатных четвертях.
  • Уметь определять знак sinα, cosα, tgα, ctgα при заданных значениях α,  сравнивать числа.

Разминка

1. Вычислите:

 

1) sinπ-tg2π;                    2) cosπ2-sinπ6.

 

2. В какой четверти находится точка, полученная путем поворота точки А(1; 0) на угол α, если:

 

1) α=2π7;                     2) α=7π4;                     3) α=-2160?

 

3. Какие знаки имеют абсцисса и ордината точки, полученной поворотом точки А(1; 0) на угол 8π5?


Рассмотрим движение точки А(1; 0) по единичной окружности против часовой стрелки.

 

I четверть:  0<α<π2. Ординаты и абсциссы точек положительны, значит, sinα>0, cosα>0, tgα>0 (т. к. тангенс угла есть отношение синуса угла к его косинусу, а частное двух положительных величин есть величина положительная), ctgα>0 (частное  положительного косинуса угла к положительному синусу угла будет положительным).

 

II четверть:  π2<α<π. Ординаты точек положительны, абсциссы отрицательны. Тогда sinα>0cosα<0tgα<0ctgα<0.

 

III четвертьπ<α<3π2. Ординаты и абсциссы точек отрицательны. Значит,  sinα<0, cosα<0, tgα>0, ctgα>0.

 

IV четверть3π2<α<2π. Ординаты точек отрицательны, абсциссы положительны. Тогда  sinα<0cosα>0tgα<0ctgα<0.

 

Приведем графическую иллюстрацию для лучшего запоминания (рис. 1).

 

Рис.1 Рис.1

 

Если же точка А(1; 0) осуществляет поворот на угол, больший 2π, или движется по часовой стрелке, знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса определяются тем, в какой четверти окажется точка в соответствии с рисунком 1.


Пример 1

Определите знаки sinα, cosα, tgα, ctgα если:

 

1) α=14π3;                2) α=-3280.


Решение

 

1) α=14π3=4π+2π3. Значит, угол α лежит во II четверти, тогда sinα>0, cosα<0, tgα<0, ctgα<0.

 

2) α=-3280=-3600+320, следовательно угол α лежит в IV четверти, тогда sinα<0cosα>0tgα<0ctgα<0.

 

Ответ: 

 

1) sinα>0, cosα<0, tgα<0, ctgα<0.

2) sinα<0, cosα>0, tgα<0, ctgα<0.


Пример 2

Сравните числа:

 

1) sin3 и sin4;                2) cos4 и cos5;                3) sin2 и cos2.


Решение

 

1) 3[π2;π], значит, sin3>0; 4[π;3π2], тогда sin4<0.

Следовательно, sin3>sin4.

 

2) cos4<0, т. к. 4 лежит в III четверти. 5[3π2; 2π], тогда cos5>0. Значит, cos4<cos5.

 

3) 2[π2; π], тогда sin2>0 и cos2<0. Значит, sin2>cos2.

 

Ответ: 1) sin3>sin4;

              2) cos4<cos5;

              3) sin2 >cos2.


Упражнение 1

Определите знаки sinα, cosα, tgα, ctgα если:

 

1) α=-6π7;                    2) α=-4050.


Упражнение 2

Сравните числа:

 

1) sin0,4 и sin6,03;

2) cos-3 и cos-5;

3) sin4,4 и cos4,4.


Контрольные вопросы

 

1. Почему в третьей координатной четверти и синус, и косинус угла принимают отрицательные значения?

2. Почему в четвертой координатной четверти и тангенс, и котангенс угла принимают отрицательные значения?

3. В какой четверти находится точка М, если обе ее координаты отрицательны? Абсцисса точки М отрицательна, а ордината положительна?


Ответы

Упражнение 1

 

1) sinα<0, cosα<0, tgα>0, ctgα>0.

2) sinα<0, cosα>0, tgα<0, ctgα<0.

 

 

Упражнение 2

 

1) sin0,4>sin6,03;

2) cos-3<cos-5;

3) sin4,4<cos4,4.


Предыдущий урок
Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат
Тригонометрия
Следующий урок
Уравнение cos x = a
Тригонометрия
Урок подготовил(а)
Валерия Александровна
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
  • Названия месяцев

    Английский язык

  • House

    Английский язык

  • С.А. Есенин. Философская лирика. Любовная лирика

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке