Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
10 класс
Алгебра
Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α

Алгебра 10 класс Алгебра 10 класс

Конспект урока: Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α

Тригонометрия

23.04.2024

2634

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла

План урока

Понятия синуса, косинуса угла
Частные случаи тригонометрических уравнений
Понятия тангенса, котангенса угла
Таблица некоторых значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла
Решение заданий

Цели урока

Знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, их некоторые табличные значения, решения частных случаев тригонометрических уравнений
Уметь вычислять значения выражений, содержащих синус, косинус, тангенс или котангенс угла, решать тригонометрические уравнения типа $\sin x = 0, \sin x = \pm 1, \cos x = 0, \cos x = \pm 1$

Разминка

1. Найдите координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол: $\frac{π}{2}, 5 π, - 270^{0}, 540^{0}, - \frac{π}{2} + 2 π k, k \in Z .$

2. Определите четверть, в которой расположена точка, полученная путем поворота точки (1; 0) на угол: $\frac{2 π}{3}, - \frac{4 π}{3}, - 627^{0} .$

Что такое синус, косинус и тангенс угла вы уже знаете из курса геометрии, углы рассматривались от $0^{0}$ до $180^{0}$ . Введем определение синуса и косинуса для произвольного угла.

Рис. 1

Синусом угла $α$ называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол $α$ (рис. 1). Обозначается $\sin α$ .

Косинусом угла $α$ называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол $α$ (рис. 1). Обозначается $\cos α .$

Например, при повороте точки (1; 0) на угол $π$ получается точка (–1; 0). Так как синус это ордината, а косинус — абсцисса, то $\sin π = 0, \cos π = - 1 .$

Пример 1

Найдите $\sin (- \frac{π}{2})$ и $\cos (- \frac{π}{2})$ .

Решение

Так как при повороте на угол $- \frac{π}{2}$ точка (1; 0) попадает в точку (0; –1), то $\sin (- \frac{π}{2}) = - 1, \cos (- \frac{π}{2}) = 0 .$

Ответ: $\sin (- \frac{π}{2}) = - 1, \cos (- \frac{π}{2}) = 0 .$

Радианную меру угла $α$ можно рассматривать как действительное число, значит $\sin α$ и $\cos α$ являются числовыми выражениями. В уравнении $\sin x = a$ , где $a \in R,$ $x$ считается неизвестным.

Рис. 2

Решим уравнение $\cos x = 0$ . Найдем все углы, косинус которых равен 0. У двух точек единичной окружности (0; 1)и (0; –1) абсциссы равны нулю (рис. 2). Они получаются из точки (1; 0) путем поворота вокруг начала координат на углы $\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}, \frac{7 π}{2}$ и т. д., и на углы $- \frac{π}{2}, - \frac{3 π}{2}, - \frac{5 π}{2}, - \frac{7 π}{2}$ и т. д.

Тогда $\cos x = 0$ при $x = \frac{π}{2} + π k, k \in Z .$ (1)

Аналогично, при помощи единичной окружности можно решить уравнения $\sin x = 0, \sin x = \pm 1, \cos x = \pm 1$ .

Их называют частными случаями тригонометрических уравнений .

Приведем их решения.

$\sin x = 0, x = π k, k \in Z .$ (2)

$\sin x = 1, x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in Z .$ (3)

$\sin x = - 1, x = - \frac{π}{2} + 2 π k, k \in Z .$ (4)

$\cos x = 1, x = 2 π k, k \in Z .$ (5)

$\cos x = - 1, x = π + 2 π k, k \in Z .$ (6)

$\sin α$ и $\cos α$ определены для любого угла, а их значения находятся в промежутке [–1; 1].

Тангенсом угла $α$ называется отношение синуса угла $α$ к его косинусу. Обозначается $t g α$ .

$t g α$ = $\frac{\sin α}{\cos α} .$

Котангенсом угла $α$ называется отношение косинуса угла $α$ к его синусу. Обозначается $c t g α$ .

$c t g α = \frac{\cos α}{\sin α} .$

Тангенс угла определен тогда, когда $\cos α \neq 0,$ т. е. $α \neq \frac{π}{2} + π k, k \in Z .$ Котангенс угла определен когда $\sin α \neq 0, α \neq π k, k \in Z .$

Таблица некоторых значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Пример 2

Найдите все углы из отрезка $[- 2 π; 2 π],$ на которые нужно повернуть точку

А(1; 0), чтобы получить точку $A_{α}$ , если:

1) $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2};$ 2) $\cos α = - \frac{1}{2} .$

Решение

1) По определению, синус угла это ордината точки. Ординату, равную $\frac{\sqrt{3}}{2},$ имеют две точки единичной окружности – В и С (рис. 3). Точка С получена путем поворота точки А на угол $α_{1} = \frac{π}{3}$ или на угол $α_{2} = - 2 π + \frac{π}{3} = - \frac{5 π}{3} .$ Точка В получена из А поворотом на $α_{3} = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ или на угол $α_{4} = - π - \frac{π}{3} = - \frac{4 π}{3} .$

Рис. 3

2) Абсциссу, равную $- \frac{1}{2},$ имеют точки В и Е единичной окружности. С углами поворота точки А для получения точки В мы разобрались в предыдущем пункте. Точка Е получена из А поворотом на $α_{5} = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}$ или на угол $α_{6} = - π + \frac{π}{3} = - \frac{2 π}{3}$ .

Ответ: 1) $\frac{π}{3}, - \frac{5 π}{3}, \frac{2 π}{3}, - \frac{4 π}{3};$

2) $\frac{2 π}{3}, - \frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3}, - \frac{2 π}{3} .$

Пример 3

Найдите $\sin α, \cos α, t g α$ , если:

1) $α = - 7 π;$ 2) $α = \frac{5 π}{2};$ 3) $α = 1980^{0} .$

Решение

1) Представим $α$ в виде $α = 2 π κ + β, k \in Z, |β| < 2 π,$ или, другими словами, выделим в $α$ полные обороты окружности: $α = - 6 π - π .$ Значит, точка, полученная из точки A(1; 0) поворотом на угол $- 7 π$ совпадает с точкой, полученной поворотом на $- π$ , координаты которой (–1; 0). Тогда $\sin α = 0$ , $\cos α = - 1$ , $t g α = \frac{\sin α}{\cos α} = 0$ .

2) $α = \frac{5 π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} .$ Точка, полученная из начальной точки поворотом на $\frac{5 π}{2}$ совпадает с точкой, полученной поворотом на $\frac{π}{2} .$ Она имеет координаты (0; 1). Значит, $\sin α = 1, \cos α = 0, t g α$ не существует.

3) $α = 1980^{0} = 5 \cdot 360^{0} + 180^{0} .$ Тогда $\sin α = 0, \cos α = - 1, t g α = 0 .$

Ответ:

1) $\sin α = 0, \cos α = - 1, t g α = 0;$

2) $\sin α = 1, \cos α = 0, t g α$ не существует;

3) $\sin α = 0, \cos α = - 1, t g α = 0 .$

Пример 4

Вычислите:

1) $\sin \frac{π}{3} + \cos (- \frac{3 π}{2});$

2) $\cos (- π) + t g \frac{π}{4} .$

Решение

1) Воспользуемся таблицей некоторых значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

$\sin \frac{π}{3} + \cos (- \frac{3 π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

2) $\cos (- π) + t g \frac{π}{4} = - 1 + 1 = 0 .$

Ответ: 1) $\frac{\sqrt{3}}{2};$

2) 0.

Пример 5

Решите уравнение:

1) $4 \cos x = - 4;$

2) $\sin 3 x = 1;$

3) $\cos (2 x + \frac{π}{3}) = 1 .$

Решение

1) $4 \cos x = - 4 .$ Разделим обе части уравнения на 4: $\cos x = - 1$ . Согласно уравнению (6) $x = π + 2 π k, k \in Z .$

2) $\sin 3 x = 1 .$ Воспользуемся уравнением (3): $3 x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in Z .$

Выразим x из этого уравнения:

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π k}{3}, k \in Z .$

3) $\cos (2 x + \frac{π}{3}) = 1 .$ По уравнению (5) имеем:

$2 x + \frac{π}{3} = 2 π k, κ \in Z, 2 x = - \frac{π}{3} + 2 π k, k \in Z, x = - \frac{π}{6} + π k, k \in Z .$

Ответ: 1) $π + 2 π k, k \in Z;$

2) $\frac{π}{6} + \frac{2 π k}{3}, k \in Z;$

3) $- \frac{π}{6} + π k, k \in Z .$

Упражнение 1

Найдите все углы из отрезка $[- 2 π; 2 π]$ , на которые нужно повернуть точку
А(1; 0), чтобы получить точку $А_{α},$ если:

1) $\sin α = - \frac{\sqrt{2}}{2};$ 2) $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Упражнение 2

Найдите $\sin α, \cos α, t g α$ , если:

1) $α = 5 π;$ 2) $α = \frac{9 π}{2};$ 3) $α = - 1260^{0} .$

Упражнение 3

Вычислите:

1) $\cos \frac{π}{6} - \sin (- \frac{π}{2});$

2) $\sin (- 2 π) + \cos \frac{π}{4} .$

Упражнение 4

Решите уравнение:

1) $5 \sin x - 5 = 0;$

2) $\cos 4 x = 1;$

3) $\cos (5 x + \frac{π}{6}) = 0 .$

Контрольные вопросы

При каких значениях $x$ $t g x$ не существует?
При каких значениях $x$ $с t g x$ не существует?
Как можно найти котангенс угла, если известен тангенс этого угла?

Ответы

Упражнение 1

1) $- \frac{π}{4}; - \frac{3 π}{4}; \frac{5 π}{4}; \frac{7 π}{4};$ 2) $\frac{π}{6}; - \frac{π}{6}; \frac{11 π}{6}; - \frac{11 π}{6} .$

Упражнение 2

1) $\sin α = 0, \cos α = - 1, tg α = 0$ ;

2) $\sin α = 1, \cos α = 0, tg α$ не существует;

3) $\sin α = 0, \cos α = - 1, tg α = 0$ .

Упражнение 3

1) $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1;$ 2) $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

Упражнение 4

1) $\frac{π}{2} + 2 π k, k \in Z;$ 2) $\frac{π k}{2}, k \in Z;$ 3) $\frac{π}{15} + \frac{π k}{5}, k \in Z .$

Предыдущий урок

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Тригонометрия

Следующий урок

Свойства логарифмов

Логарифмы

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Н.А. Некрасов. «Кому на Руси жить хорошо». Образ Гриши Добросклонова, его роль в поэме. Открытый финал произведения. Неразрешённость вопроса о народной судьбе

Литература
География природопользования

География
Численность, воспроизводство, половой и возрастной состав населения

География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке