Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
10 класс
Алгебра
Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α

Алгебра 10 класс Алгебра 10 класс

Конспект урока: Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α

Тригонометрия

17.01.2025

3617

Синус, косинус, тангенс и котангенс углов α и –α

План урока

Формулы для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов
Решение заданий

Цели урока

Знать формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов.
Уметь находить синус, косинус, тангенс и котангенс отрицательных углов.

Разминка

Сравните с нулём значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов из таблицы.

Рис. 1

Пусть точки М₁ и М₂ получены поворотом точки А(1; 0) на углы $α$ и $- α$ соответственно (рис. 1). Треугольник М₁ОМ₂ равнобедренный. Т. к. ОА — биссектриса угла М₁ОМ₂,то ОА является медианой, $М_{1} А = М_{2} А .$ Видим, что абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются знаками. Тогда

$\sin (- α) = - \sin α$ (1)

$\cos (- α) = \cos α$ (2)

Формулы (1), (2) имеют место для любого действительного $α$ .

Тангенс угла — это отношение синуса угла к его косинусу, тогда

$t g (- α) = \frac{\sin (- α)}{\cos (- α)} = \frac{- \sin α}{\cos α} = - t g α,$ т. е.

$t g (- α) = - t g α$ (3)

Аналогично выводится формула для котангенса отрицательного угла.

$c t g (- α) = - c t g α$ (4)

Формула (3) справедлива при любых $α$ , кроме $\cos α \neq 0,$ т. е. $α \neq \frac{π}{2} + π k, k \in Z,$ а формула (4) для $\sin α \neq 0,$ $α \neq π κ, κ \in Z .$

Пример 1

Вычислите:

1) $c t g (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4});$

2) $\sin (- \frac{7 π}{2}) + \cos (- 13 π) - t g (- 390^{0}) .$

Решение

1) Для упрощения выражения воспользуемся формулами (4), (1), (2)

$- c t g \frac{π}{4} - \sin \frac{π}{4} - \cos \frac{π}{4} = - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = - 1 - \sqrt{2} .$

2) $\sin (- \frac{7 π}{2}) + \cos (- 13 π) - t g (- 390^{0}) = - \sin \frac{7 π}{2} + \cos 13 π + t g 390^{0} .$

Зная, что $\sin \frac{7 π}{2}$ это то же, что и $\sin \frac{3 π}{2}; \cos 13 π$ то же, что и $\cos π; t g 390^{0}$ то же, что и $t g 30^{0}$ , имеем $- \sin \frac{3 π}{2} + \cos π + t g 30^{0} = 1 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

Ответ: 1) $- 1 - \sqrt{2};$

2) $\frac{\sqrt{3}}{3} .$

Упражнение 1

Вычислите:

1) $\cos (- \frac{π}{6}) + \sin (- \frac{π}{3}) + c t g (- \frac{π}{4});$

2) $\sin (- 5 π) + \cos (- \frac{9 π}{2}) + t g (- 405^{0}) .$

Пример 2

Упростите выражение $\frac{\cos α - \sin (- α)}{\cos (- α)} + t g (- α) .$

Решение

Воспользуемся формулами (1)–(3):

$\frac{\cos α - \sin (- α)}{\cos (- α)} + t g (- α) = \frac{\cos α + \sin α}{\cos α} - t g α .$

Разделим в первом слагаемом почленно числитель на знаменатель:

$1 + \frac{\sin α}{\cos α} - t g α .$

Зная, что $\frac{\sin α}{\cos α} = t g α,$ имеем $1 + t g α - t g α = 1 .$

Ответ: 1.

Упражнение 2

Упростите выражение $\frac{\cos (- α)}{\cos (- α) - \sin (- α)} - \frac{\sin (- α)}{\cos (- α) + \sin α} .$

Контрольные вопросы

1. Объясните почему $\sin (- x) = - \sin (x),$ а $\cos (- x) = \cos x ?$

2. Приведите два примера применения формул, позволяющих сводить вычисление значений синуса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.

3. Приведите два примера применения формул, позволяющих сводить вычисление значений косинуса и тангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.

Ответы

Упражнение 1

1) –1; 2) –1.

Упражнение 2

Предыдущий урок

Арифметический корень натуральной степени

Корни

Следующий урок

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Тригонометрия

Урок подготовил(а)