Конспект урока: Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла

В прошлом параграфе мы рассматривали формулы сложения аргументов. Вспомним некоторые из них.

1. $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$;

2. $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$;

3. $tg(\alpha +\beta )=\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha tg\beta }$, $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+\pi k, \beta \ne \frac{\pi }{2}+\pi k, \alpha +\beta \ne \frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z.$

В этом параграфе речь пойдет о формулах, позволяющих выразить $\sin 2\alpha , \cos 2\alpha , tg2\alpha , ctg2\alpha$ через $\sin \alpha , \cos \alpha , tg\alpha , ctg\alpha$. Эти формулы называют формулами двойного угла.

Сначала выведем формулу для $\sin 2\alpha$. Для этого представим угол $2\alpha$ в виде суммы $\alpha и \alpha$ и применим формулу синуса суммы аргументов:

$\sin 2\alpha =\sin (\alpha +\alpha )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ,$т. е.

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha .$                  (1)

Аналогичным образом выведем формулу для $\cos 2\alpha .$

$\cos 2\alpha =\cos (\alpha +\alpha )=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha .$ Итак,

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha .$                 (2)

Вычислите:

1) $9\cos 2\alpha$, если $\cos \alpha =\frac{1}{3}$;

2) $\sin 2\alpha$, если $\cos \alpha =0,6; \frac{3\pi }{2}<\alpha <\pi$.

Решение

1) Применим к выражению $9\cos 2\alpha$ формулу (2) и следствие из основного тригонометрического тождества:

 $9\cos 2\alpha =9({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )=9({\cos }^2\alpha -1+{\cos }^2\alpha )=9(2{\cos }^2\alpha -1)==18{\cos }^2\alpha -9.$

Так как  $\cos \alpha =\frac{1}{3},$ то $18{\cos }^2\alpha -9=18·\frac{1}{9}-9=-7.$

2) По формуле (1) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha .$ Найдем $\sin \alpha ,$ для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,$ отсюда $\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }.$ По условию $\alpha$ лежит в IV четверти, в которой  $\sin \alpha <0,$тогда $\sin \alpha =-\sqrt{1-0,36}=-0,8.$ 

Имеем $\sin 2\alpha =2·(-0,8)·0,6=-0,96.$

Ответ: 1) $-7$;    

              2) $-0,96$.

Перейдем к выводу формул для тангенса и котангенса двойного угла.

• $tg2\alpha =tg(\alpha +\alpha )=\frac{tg\alpha +tg\alpha }{1-tg\alpha tg\alpha }=\frac{2tg\alpha }{1-t{g}^2\alpha }.$Значит,
   

$tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-t{g}^2\alpha }.$                (3)

• $ctg2\alpha =\frac{\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha }.$ Для того, чтобы $ctg\alpha$ существовал, нужно, чтобы $\sin \alpha \ne 0$, тогда ${\sin }^2\alpha \ne 0.$Разделим числитель и знаменатель последней дроби на ${\sin }^2\alpha$: $\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }}-{\displaystyle \frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }}}{{\displaystyle \frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\sin }^2\alpha }}}=\frac{ct{g}^2\alpha -1}{2ctg\alpha }.$Тогда
   

$ctg2\alpha =\frac{ct{g}^2\alpha -1}{2ctg\alpha }.$                (4)

Формулы (3) и (4) имеют место тогда, когда справедливы левая и правая части равенств. Формулы (1) и (2) справедливы для любых значений аргумента.

Формулы двойного угла (1)–(4) можно использовать и в тех случаях, когда вместо аргумента $\alpha$ записано более сложное выражение, например, $\cos 4x={\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x.$

Упростите выражение $\frac{\sin 2x-2\cos 2x}{(\sin x+\cos x){\cos }^{2}x}-\frac{2(\sin x-\cos x)}{\cos 2x}.$

Решение

Применим формулы (1) и (2):  $\frac{2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x}{(\sin x+\cos x){\cos }^{2}x}-\frac{2(\sin x-\cos x)}{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}.$

Поменяем знаки перед второй дробью и в ее знаменателе: 

$\frac{2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x}{(\sin x+\cos x){\cos }^{2}x}+\frac{2(\sin x-\cos x)}{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}.$ 

Заметим, что ${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)$ и сократим вторую дробь на выражение $\sin x-\cos x,$ тогда $\frac{2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x}{(\sin x+\cos x){\cos }^{2}x}+\frac{2}{\sin x+\cos x}.$

Приведем к общему знаменателю и выполним действие

 $\frac{2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x}{(\sin x+\cos x){\cos }^{2}x}=\frac{2\sin x(\cos x+\sin x)}{(\sin x+\cos x){\cos }^{2}x}=\frac{2tgx}{\cos x}.$

Ответ: $\frac{2tgx}{\cos x}.$

Найдите значение выражения ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x,$если $\sin x-\cos x=\frac{1}{2}.$

Решение

${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x={\left({\sin }^{2}x\right)}^3+{\left({\cos }^{2}x\right)}^3.$ 

По формуле суммы кубов, имеем $({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)({\sin }^{4}x-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x).$ 

Первый множитель по основному тригонометрическому тождеству равен 1, выделим во втором множителе квадрат разности, для этого представим его в виде 

$({\left({\sin }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\left({\cos }^{2}x\right)}^2)+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x={({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)}^2++{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x.$ 

Преобразуем выражение, используя формулы (1), (2) $(-{({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x))}^2+\frac{1}{4}·{\left(2\sin x\cos x\right)}^2={\cos }^{2}2x+\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x.$

Возведем в квадрат обе части равенства $\sin x-\cos x=\frac{1}{2},$

получим ${\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=\frac{1}{4},$ отсюда $2\sin x\cos x=\frac{3}{4},$ т. е. $\sin 2x=\frac{3}{4},$ ${\sin }^{2}2x=\frac{9}{16}.$ 

Применив основное тригонометрическое тождество, найдем ${\cos }^{2}2x=1-{\sin }^{2}2x=\frac{7}{16}$. 

Подставим полученные значения в выражение ${\cos }^{2}2x+\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x.$ Имеем $\frac{7}{16}+\frac{1}{4}·\frac{9}{16}=\frac{37}{64}.$

Ответ: $\frac{37}{64}.$

Найдите значение выражения:

1) $2\sin \frac{11\pi }{12}\cos \frac{11\pi }{12};$                              2) $\sin 2\alpha$, если $ctg\alpha =2$.

Вычислите ${\cos }^{8}x-{\sin }^{8}x, если \cos 2x=\frac{1}{3}.$

1. Укажите область допустимых значений в формуле $tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-t{g}^2\alpha }$ .

2. Укажите область допустимых значений в формуле $ctg2\alpha =\frac{ct{g}^2\alpha -1}{2ctg\alpha }$ .