Конспект урока: Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла

В прошлом параграфе мы рассмотрели формулы синуса, косинуса, тангенса, котангенса двойного угла. Вспомним некоторые из них.

• $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ;$
• $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha .$

В этом параграфе рассмотрим формулы половинного угла, которые связывают тригонометрические функции угла α и тригонометрические функции угла $\frac{\alpha }{2}.$ По сути, это те же формулы двойного угла, только записанные несколько иным образом.

Запишем основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса двойного угла, в которых в качестве аргумента возьмем угол  $\frac{\alpha }{2}.$

${\sin }^2\frac{\alpha }{2}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=1,$               (1)

${\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\cos \alpha .$         (2)

Сложим равенства (1) и (2): $2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=1+\cos \alpha$, отсюда 

${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}.$              (3)

При вычитании из (1) равенства (2) получаем $2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=1-\cos \alpha ,$ тогда

${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}.$              (4)

Формулы (3) и (4) называют формулами косинуса и синуса половинного угла или, иначе, формулами понижения степени. Откуда появилось такое название? Причина в том, что в левой части формул вторая степень синуса и косинуса, а в правой части — первая, т. е. она понизилась. Но при использовании стоит помнить, что степень уменьшается, но аргумент увеличивается в два раза. Так как для нахождения значения $\sin \frac{\alpha }{2}$и $\cos \frac{\alpha }{2}$нужно извлекать корень, то получается два значения — отрицательное и положительное, знак определяется тем, в какой четверти лежит угол $\frac{\alpha }{2}$.

С помощью формул (3) и (4) можно найти и значение тангенса половинного угла:

$t{g}^2\frac{a}{2}=\frac{{\sin }^2{\displaystyle \frac{a}{2}}}{{\cos }^2{\displaystyle \frac{a}{2}}}=\frac{1-\cos a}{1+\cos a}$, тогда

$t{g}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }.$             (5)

Аналогично

$ct{g}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }.$            (6)

Формулы (5) и (6) имеют место тогда, когда справедливы правая и левая части равенств.

Вычислите $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}, tg\frac{x}{2},$если $\cos x=\frac{3}{14}, \frac{3\pi }{2}<x<2\pi .$

Решение    

По формуле (3) ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}=\frac{1+{\displaystyle \frac{3}{14}}}{2}=\frac{17}{28}.$ По условию $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi ,$ тогда $\frac{3\pi }{4}<\frac{x}{2}<\pi ,$ значит $\frac{x}{2}$ лежит во II четверти, в которой $\cos x<0.$ Поэтому из равенства ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{17}{28}$ получаем $\cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{7}}.$

Для нахождения $\sin \frac{x}{2}$ воспользуемся формулой (4). Имеем ${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-{\displaystyle \frac{3}{14}}}{2}=\frac{11}{28}.$ Выше было установлено, что $\frac{x}{2}$ лежит во II четверти, в которой $\sin x>0,$ тогда $\sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{7}}.$

Найдем $tg\frac{x}{2}$  по определению тангенса угла $tg\frac{x}{2}=\frac{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}{\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}}=-\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{17}}.$

Ответ: $\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{7}},$ $-\frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{7}},$ $-\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{17}}.$

Выразите выражение  ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$ через $\cos 4x.$

Решение

${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x={\left({\sin }^{2}x\right)}^2+{\left({\cos }^{2}x\right)}^2.$ Применим к ${\sin }^{2}x$ и ${\cos }^{2}x$ формулы (4) и (3): ${\left({\sin }^{2}x\right)}^2+{\left({\cos }^{2}x\right)}^2={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^2.$  Раскроем скобки в полученном выражении: 

$\frac{1-2\cos 2x+{\cos }^{2}2x+1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}=\frac{2+2{\cos }^{2}2x}{4}=\frac{1+{\cos }^{2}2x}{2}.$ Для ${\cos }^{2}2x$ понизим степень, получим ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}.$ Тогда выражение примет вид $\frac{1+{\cos }^{2}2x}{2}=\frac{1+{\displaystyle \frac{1+\cos 4x}{2}}}{2}=\frac{3+\cos 4x}{4}.$

Ответ: $\frac{3+\cos 4x}{4}.$

Задача

Выразим $\sin \alpha , \cos \alpha , tg\alpha через tg\frac{\alpha }{2}$. Будем использовать формулы синуса и косинуса двойного угла, основное тригонометрическое тождество, определение тангенса угла.

• $\sin \alpha =\sin (2·\frac{\alpha }{2})=2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{1}=\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}.$

           Разделим почленно числитель и знаменатель на ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}:$ 

           $\frac{{\displaystyle \frac{2\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}}{{\displaystyle \frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}+{\displaystyle \frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}}=\frac{2tg\frac{\alpha }{2}}{1+t{g}^2\frac{\alpha }{2}}.$ Тогда

$\sin \alpha =\frac{2tg\frac{\alpha }{2}}{1+t{g}^2\frac{\alpha }{2}}.$            (7)

• $\cos \alpha =\cos (2·\frac{\alpha }{2})={\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{1}=\frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\sin }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}.$

           Разделим почленно числитель и знаменатель на ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}:$

          $\frac{{\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}-{\displaystyle \frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}}{{\displaystyle \frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}+{\displaystyle \frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}}=$$\frac{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1+t{g}^2\frac{\alpha }{2}}.$ Получили

$\cos \alpha =\frac{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1+t{g}^2\frac{\alpha }{2}}.$               (8)

• $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{2tg{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1+t{g}^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}}}{{\displaystyle \frac{1-t{g}^2\frac{\alpha }{2}}{1+t{g}^2\frac{\alpha }{2}}}}=\frac{2tg\frac{\alpha }{2}}{1-t{g}^2\frac{\alpha }{2}}.$ То есть
   

$tg\alpha =\frac{2tg\frac{\alpha }{2}}{1-t{g}^2\frac{\alpha }{2}}.$               (9)

Формулы (7)–(9) справедливы тогда, когда справедливы обе части равенств.

Вычислите  $\cos \frac{\alpha }{2}, \sin \frac{\alpha }{2},tg\frac{\alpha }{2},$если $\cos \alpha =0,28, \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$

Докажите тождество ${\sin }^2(\frac{3\pi }{4}+2x)=\frac{1-\sin 4x}{2}.$

1. Какие формулы называют формулами понижения степени? Назовите их.

2. Выразите следующие тригонометрические функции через тригонометрические функции половинного угла: $\sin 4x, \cos 6x, tg\frac{x}{4}.$