Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла

Тригонометрия

Синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла

План урока

  • Вывод формул синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного угла.
  • Решение задач на применение формул синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного угла.

Цели урока

  • Знать формулы синуса, косинуса, тангенса, котангенса двойного угла.
  • Уметь выводить эти формулы, применять их при преобразованиях тригонометрических выражений, вычислениях.

Разминка

1. Вспомните формулы сложения аргументов.

2. Докажите тождество sin(α-β)sin(α+β)=sin2α-sin2β. (Указание. Воспользуйтесь формулами синуса суммы и разности аргументов, основным тригонометрическим тождеством).

 

В прошлом параграфе мы рассматривали формулы сложения аргументов. Вспомним некоторые из них.

 

1. cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

2. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

3. tg(α+β)=tgα+tgβ1-tgαtgβαπ2+πk, βπ2+πk, α+βπ2+πk, kZ.

 

В этом параграфе речь пойдет о формулах, позволяющих выразить sin2α, cos2α, tg2α, ctg2α через sinα, cosα, tgα, ctgα. Эти формулы называют формулами двойного угла .

 

Сначала выведем формулу для sin2α. Для этого представим угол 2α в виде суммы α и α и применим формулу синуса суммы аргументов:

sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα, т. е.

 

sin2α=2sinαcosα.                  (1)

 

Аналогичным образом выведем формулу для cos2α.

cos2α=cos(α+α)=cosαcosα+sinαsinα=cos2α-sin2α. Итак,

 

cos2α=cos2α-sin2α.                 (2)


Пример 1

Вычислить:

 

а) 9cos2α, если cosα=13

б) sin2α, если cosα=0,6; 3π2<α<π.


Решение

 

а) Применим к выражению 9cos2α формулу (2) и следствие из основного тригонометрического тождества:

 9cos2α=9(cos2α-sin2α)=9(cos2α-1+cos2α)=9(2cos2α-1)==18cos2α-9.

Так как  cosα=13, то 18cos2α-9=18×19-0=-7.

 

б) По формуле (1) sin2α=2sinαcosα. Найдем sinα, для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin2α+cos2α=1, отсюда sinα=±1-cos2α. По условию α лежит в IV четверти, в которой  sinα<0,тогда sinα=-1-0,36=-0,8. 

Имеем sin2α=2×(-0,8)×0,6=-0,96.

 

Ответ: а) -7;    

              б) -0,96.


Перейдем к выводу формул для тангенса и котангенса двойного угла.

  • tg2α=tg(α+α)=tgα+tgα1-tgαtgα=2tgα1-tg2α.Значит,
     

tg2α=2tgα1-tg2α.                (3)

 

 

  • ctg2α=cos2αsin2α=cos2α-sin2α2sinαcosα. Для того, чтобы ctgα существовал, нужно, чтобы sinα0, тогда sin2α0.Разделим числитель и знаменатель последней дроби на sin2αcos2α-sin2α2sinαcosα=cos2αsin2α-sin2αsin2α2sinαcosαsin2α=ctg2α-12ctgα.Тогда
     

ctg2α=ctg2α-12ctgα.                (4)

 

 

Формулы (3) и (4) имеют место тогда, когда справедливы левая и правая части равенств. Формулы (1) и (2) справедливы для любых значений аргумента.

 

Формулы двойного угла (1)–(4) можно использовать и в тех случаях, когда вместо аргумента α записано более сложное выражение, например, cos4x=cos22x-sin22x.


Пример 2

Упростить выражение sin2x-2cos2x(sinx+cosx)cos2x-2(sinx-cosx)cos2x.


Решение

         

Применим формулы (1) и (2):  2sinxcosx-2cos2x+2sin2x(sinx+cosx)cos2x-2(sinx-cosx)cos2x-sin2x.

 

Поменяем знаки перед второй дробью и в ее знаменателе: 

2sinxcosx-2cos2x+2sin2x(sinx+cosx)cos2x+2(sinx-cosx)sin2x-cos2x. 

 

Заметим, что sin2x-cos2x=(sinx-cosx)(sinx+cosx) и сократим вторую дробь на выражение sinx-cosx, тогда 2sinxcosx-2cos2x+2sin2x(sinx+cosx)cos2x+2sinx+cosx.

 

Приведем к общему знаменателю и выполним действие

 2sinxcosx-2cos2x+2sin2x+2cos2x(sinx+cosx)cos2x=2sinx(cosx+sinx)(sinx+cosx)cos2x=2tgxcosx.

 

Ответ: 2tgxcosx.


Пример 3

Найти значение выражения sin6x+cos6x, если sinx-cosx=12.


Решение

 

sin6x+cos6x=(sin2x)3+(cos2x)3. 

По формуле суммы кубов, имеем (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x). 

 

Первый множитель по основному тригонометрическому тождеству равен 1, выделим во втором множителе квадрат разности, для этого представим его в виде 

((sin2x)2-2sin2xcos2x+(cos2x)2)+sin2xcos2x=(sin2x-cos2x)2++sin2xcos2x. 

 

Преобразуем выражение, используя формулы (1), (2) (-(cos2x-sin2x))2+14×(2sinxcosx)2=cos22x+14sin22x.

 

Возведем в квадрат обе части равенства sinx-cosx=12,

получим sin2x-2sinxcosx+cos2x=14, отсюда 2sinxcosx=34, т. е. sin2x=34, sin22x=916. 

 

Применив основное тригонометрическое тождество, найдем cos22x=1-sin22x=716

 

Подставим полученные значения в выражение cos22x+14sin22x. Имеем 716+14×916=3764.

 

Ответ: 3764.


Упражнение 1

Найти значение выражения:

 

а) 2sin11π12cos11π12;                              б) sin2α, если ctgα=2.

 


Упражнение 2

Доказать тождество  tgx+ctgx=2sin2x, xπk2, kZ.


Упражнение 3

Вычислить cos8x-sin8x, если cos2x=13.


Итак:

 

Формулы двойного угла:

  • sin2α=2sinαcosα
  • cos2α=cos2α-sin2α
  • tg2α=2tgα1-tg2α
  • ctg2α=ctg2α-12ctgα

Формулы синуса и косинуса двойного угла справедливы для любого аргумента, формулы тангенса и котангенса двойного угла имеют место для тех значений переменных, при которых имеют смысл обе части равенства.


Контрольные вопросы

1. Укажите область допустимых значений в формуле tg2α=2tgα1-tg2α .

2. Укажите область допустимых значений в формуле ctg2α=ctg2α-12ctgα .


Ответы

Упражнение 1

 

а) -12;                    б) 0,8.

 

 

Упражнение 2

 

Указание. Использовать определение тангенса, котангенса угла, основное тригонометрическое тождество. Домножить числитель и знаменатель дроби на 2.

 

 

Упражнение 3

 

527.


Следующий урок
Формулы приведения
Тригонометрия
  • Молекулярная физика и термодинамика. Основные положения молекулярно-кинетической теории. Характер движения и взаимодействия молекул в газах, жидкостях и твёрдых телах. Масса молекул. Количество вещества

    Физика

  • Показательные уравнения

    Алгебра

  • Численность, воспроизводство, половой и возрастной состав населения

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке