Конспект урока: Формулы сложения

План урока

• Вывод формул косинуса суммы и косинуса разности аргументов, примеры использования.
• Вывод формул синуса суммы и синуса разности аргументов, примеры использования.
• Вывод формул тангенса суммы и тангенса разности аргументов, примеры использования.

Цели урока

• Знать формулы сложения и разности аргументов.
• Уметь выводить формулы сложения и разности аргументов, применять их при вычислениях, преобразованиях тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1

1. Вычислите:

 

1) ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x;$

2) ${\sin }^2(x+y)+{\cos }^2(x+y);$

3) ${\sin }^2\left(2m\right)+{\cos }^2\left(2m\right).$

 

2. Упростите выражения:
 

1) $(1-\sin (-a\left)\right)(1+\sin (-a\left)\right);$

2) $\frac{1+\cos (-a)}{\sin (-a)}-ctg(-a).$

 

3. Найдите расстояние между точками M и N единичной окружности, если М получена поворотом точки А(1; 0) на угол $\alpha =\frac{\pi }{3}$, N — на угол $\alpha =-\frac{\pi }{6}$(рис. 1).

Из школьного курса геометрии мы знаем, что расстояние между двумя точками $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ можно найти по формуле $\rho (A;B)=AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}.$

Пусть на единичной окружности есть точки А(1; 0), М₁, полученная поворотом точки А на угол $\alpha ,$ М₂ — на угол $-\beta ,$ М₃ — на угол $\alpha +\beta$(рис. 2). Тогда каждая из этих точек будет иметь координаты:

${М}_1(\cos \alpha ;\sin \alpha ), M_2\left(\cos \right(-\beta );\sin (-\beta \left)\right),M_3\left(\cos \right(\alpha +\beta );\sin (\alpha +\beta \left)\right).$

Рис. 2

Треугольники М₃ОА и М₁ОМ₂ равнобедренные, т. к. $M_{3}O=M_{1}O=M_{2}O$ как радиусы окружности, кроме того $\angle M_{3}OA=\angle M_{1}O{M}_2=\alpha +\beta .$ Значит, $△M_{3}OA=△M_{1}O{M}_2$ по двум сторонам и углу между ними. Треугольники равны, соответствующие элементы равны, тогда их основания $M_{3}A$ и $M_1{M}_2$ равны. 

 

Если равны расстояния, то и квадраты расстояний тоже равны. 

$M_3{A}^2=M_1{M_2}^2,$

$(1-\cos {(\alpha +\beta ))}^2+(0-\sin {(\alpha +\beta ))}^2=\left(cos\right(-\beta )-\cos {\alpha )}^2++(\sin (-\beta )-\sin {\alpha )}^2.$

Применим формулы квадрата суммы, косинуса и синуса отрицательного аргумента

$$\begin{gathered} 1-2\cos (\alpha +\beta )+{\cos }^2(\alpha +\beta )+{\sin }^2(\alpha +\beta )={\cos }^2\beta -2\cos \beta \cos \alpha +{\cos }^2\alpha + \\ +{\sin }^2\beta +2\sin \beta \sin \alpha +{\sin }^2\alpha . \end{gathered}$$

Используя основное тригонометрическое тождество, получим

$2-2\cos (\alpha +\beta )=2-2\cos \beta \cos \alpha +2\sin \beta \sin \alpha .$

Вычтем из обеих частей 2 и разделим обе части равенства на –2:

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .$                (1)

Заменим в формуле (1) $\beta$ на $-\beta$

$\cos (\alpha +(-\beta \left)\right)=\cos \alpha \cos (-\beta )-\sin \alpha \sin (-\beta ),$

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta .$                (2)

Вычислите $\cos \frac{3\pi }{4}.$

Решение

Запишем аргумент $\frac{3\pi }{4}$в виде суммы $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}$и применим формулу (1)

$\cos (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4})=\cos \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{4}=0\times \frac{\sqrt{2}}{2}-1·\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Вычислите $\cos \frac{5\pi }{6}.$

Решение

$\cos \frac{5\pi }{6}=\cos (\pi -\frac{\pi }{6}).$

Воспользуемся формулой (2)

$\cos (\pi -\frac{\pi }{6})=\cos \pi \cos \frac{\pi }{6}+\sin \pi \sin \frac{\pi }{6}=-1·\frac{\sqrt{3}}{2}+0·\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Ответ:  $-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Используя формулу (2) можно доказать, что 

$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha .$                (3)

А если в (3) вместо $\alpha$ взять $\frac{\pi }{2}-\alpha$, то $\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}+\alpha )=\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha ),$

$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha .$                (4)

Теперь выведем формулы для синуса суммы и синуса разности аргументов, т. е. для $\sin (\alpha +\beta )$ и $\sin (\alpha -\beta ).$ Для вывода воспользуемся формулами (1)–(4).

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +\beta )=\cos (\frac{\pi }{2}-(\alpha +\beta \left)\right)=\cos \left(\right(\frac{\pi }{2}-\alpha )-\beta )=\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )\cos \beta + \\ +\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )\sin \beta =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta , \end{gathered}$$ 

т. е.

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$              (5)

 Заменим в (5) $\beta$ на $-\beta$, тем самым получим формулу для синуса разности.

$\sin (\alpha +(-\beta \left)\right)=\sin \alpha \cos (-\beta )+\cos \alpha \sin (-\beta )$,

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$              (6)

Вычислите:

1) $\sin 75°;$

2) $\sin 48°\cos 18°-\cos 48°\sin 18°.$

Решение

1) Представим $75°$ в виде суммы $30°$ и $45°$ и применим формулу (5).

$\sin 75°=\sin \left(30°+45\right)°=\sin 30°\cos 45°+\cos 30°\sin 45°=\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}·$

$·\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.$

2) Заметим, что выражение $\sin 48°\cos 18°-\cos 48°\sin 18°$ похоже на правую часть формулы (6), тогда $\sin 48°\cos 18°-\cos 48°\sin 18°=\sin (48°-18°)=\sin 30°=\frac{1}{2}.$

Ответ: 1)  $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4};$

              2) $\frac{1}{2}.$

Найдем чему будет равен тангенс суммы и тангенс разности аргументов.

$tg(\alpha +\beta )=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}=\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$.

Числитель и знаменатель полученной дроби разделим почленно на $\cos \alpha \cos \beta$

$\frac{{\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}+{\displaystyle \frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\displaystyle \frac{\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}-{\displaystyle \frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}=\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha tg\beta }.$ Значит, 

$tg(\alpha +\beta )=\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha tg\beta }.$             (7)

Аналогично можно доказать 

$tg(\alpha -\beta )=\frac{tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha tg\beta }.$             (8)

Формулы (7) и (8) имеют место при $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+\pi k$, $\beta \ne \frac{\pi }{2}+\pi k$, $\alpha +\beta \ne \frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in Z.$

Упростите выражение $\frac{tgx+ctgy}{\cos (x-y)}·\sin x·\sin y.$

Решение

Воспользуемся определениями тангенса и котангенса угла и преобразуем выражение:

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+{\displaystyle \frac{\cos y}{\sin y}}}{\cos (x-y)}·\sin x\sin y= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{\sin x\sin y+\cos y\cos x}{\cos x\sin y}}}{\cos (x-y)}·\sin x\sin y=\frac{{\displaystyle \frac{\cos (x-y)}{\cos x\sin y}}·\sin x\sin y}{\cos (x-y)}=\frac{\sin x}{\cos x}=tgx. \end{gathered}$$

Ответ: $tgx.$

Вычислите:

1) $tg135°;$

2) $\cos \frac{\pi }{12};$

3) $\cos \frac{14\pi }{15}\cos \frac{3\pi }{5}+\sin \frac{14\pi }{15}\sin \frac{3\pi }{5}.$

Доказать тождество $\frac{\sqrt{2}\cos x-2\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-x)}{2\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{6}}+x)-\sqrt{3}\sin x}=-\sqrt{2}tgx.$

1. Дано тождество $\sin 3x\cos 6x+\cos 3x\sin 6x=t\left(x\right).$ Какое из утверждений $t\left(x\right)=\sin 3x, t\left(x\right)=\cos 3x, t\left(x\right)=\sin 9x, t\left(x\right)=\cos 9x$ верно?

2. Дано тождество $\cos 3x\cos 6x+\sin 3x\sin 6x=t\left(x\right).$ Какое из утверждений $t\left(x\right)=\sin 3x, t\left(x\right)=\cos 3x, t\left(x\right)=\sin 9x, t\left(x\right)=\cos 9x$ верно?

3. Верна ли формула $tg(x+\frac{\pi }{4})=\frac{tgx+1}{1-tgx}?$ Если верна, указать при каких значениях переменной.