Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Формулы сложения

Тригонометрия

Формулы сложения аргументов

План урока

  • Вывод формул косинуса суммы и косинуса разности аргументов, примеры использования.
  • Вывод формул синуса суммы и синуса разности аргументов, примеры использования.
  • Вывод формул тангенса суммы и тангенса разности аргументов, примеры использования.

Цели урока

  • Знать формулы сложения и разности аргументов.
  • Уметь выводить формулы сложения и разности аргументов, применять их при вычислениях, преобразованиях тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1 Рис. 1

1. Вычислить:

 

а) sin2x+cos2x;

б) sin2(x+y)+cos2(x+y);

в) sin2(2m)+cos2(2m).

 

2. Упростить выражения:
 

а) (1-sin(-a))(1+sin(-a));

б) 1+cos(-a)sin(-a)-ctg(-a).

 

3. Найти расстояние между точками M и N единичной окружности, если М получена поворотом точки А(1; 0) на угол α=π3, N — на угол α=-π6(Рис. 1).

 

Из школьного курса геометрии мы знаем, что расстояние между двумя точками A(x1;y1) и B(x2;y2) можно найти по формуле ρ(A;B)=AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2.

 

Пусть на единичной окружности есть точки А(1; 0), М1, полученная поворотом точки А на угол α, М2 — на угол -β, М3 — на угол α+β(Рис.2). Тогда каждая из этих точек будет иметь координаты

 

М1(cosα;sinα), M2(cos(-β);sin(-β)),M3(cos(α+β);sin(α+β)).

Рис. 2 Рис. 2

Треугольники М3ОА и М1ОМ2 равнобедренные, т. к. M3O=M1O=M2O как радиусы окружности, кроме того M3OA=M1OM2=α+β. Значит, M3OA=M1OM2 по двум сторонам и углу между ними. Треугольники равны, соответствующие элементы равны, тогда их основания M3A=M1M2 равны. 

 

Если равны расстояния, то и квадраты расстояний тоже равны. 


Получили 

M3A2=M1M22,

(1-cos(α+β))2+(0-sin(α+β))2=(cos(-β)-cosα)2++(sin(-β)-sinα)2,

 

Применим формулы квадрата суммы, косинуса и синуса отрицательного аргумента

1-2cos(α+β)+cos2(α+β)+sin2(α+β)=cos2β-2cosβcosα+cos2α++sin2β+2sinβsinα+sin2α.

 

Используя основное тригонометрическое тождество, получим

2-2cos(α+β)=2-2cosβcosα+2sinβsinα.

 

Вычтем из обеих частей 2 и разделим обе части равенства на –2:

 

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.                (1)

 

Заменим в формуле (1) β на -β

cos(α+(-β))=cosαcos(-β)-sinαsin(-β),

 

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.                (2)


Пример 1

Вычислить cos3π4.


Решение

         

Запишем аргумент 3π4в виде суммы π2+π4и применим формулу (1)

cos(π2+π4)=cosπ2cosπ4-sinπ2sinπ4=0×22-1×22=-22.

 

Ответ: -22.


Пример 2

Вычислить cos5π6.


Решение

 

cos5π6=cos(π-π6).

Воспользуемся формулой (2)

cos(π-π6)=cosπcosπ6+sinπsinπ6=-1×32+0×12=-32.

 

Ответ:  -32.


Используя формулу (2) можно доказать, что 

 

cos(π2-α)=sinα,                (3)

 

А если в (3) вместо α взять π2-α, то cos(π2-π2+α)=sin(π2-α),

 

sin(π2-α)=cosα,                (4)

 

Теперь выведем формулы для синуса суммы и синуса разности аргументов, т. е. для sin(α+β) и sin(α-β). Для вывода воспользуемся формулами (1)–(4).

sin(α+β)=cos(π2-(α+β))=cos((π2-α)-β)=cos(π2-α)cosβ++sin(π2-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ, 

т. е.

 

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ              (5)

 

 Заменим в (5) β на -β, тем самым получим формулу для синуса разности.

sin(α+(-β))=sinαcos(-β)+cosαsin(-β),

 

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ              (6)


Пример 3

Вычислить:

 

а) sin75°;

б) sin48°cos18°-cos48°sin18°.


Решение

         

а) Представим 75° в виде суммы 30° и 45° и применим формулу (5).

sin75°=(sin30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=12×22+32×

×22=2+64.

 

б) Заметим, что выражение sin48°cos18°-cos48°sin18° похоже на правую часть формулы (6), тогда sin48°cos18°-cos48°sin18°=sin(48°-18°)=sin30°=12.

 

Ответ: а)  2+64;

              б) 12.


Найдем чему будет равен тангенс суммы и тангенс разности аргументов.

tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ-sinαsinβ.

 

Числитель и знаменатель полученной дроби разделим почленно на cosαcosβ

 

sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ=tgα+tgβ1-tgαtgβ. Значит, 

 

tg(α+β)=tgα+tgβ1-tgαtgβ.             (7)

 

Аналогично можно доказать 

 

tg(α-β)=tgα-tgβ1+tgαtgβ.             (8)

 

Формулы (7) и (8) имеют место при απ2+πkβπ2+πkα+βπ2+πkkZ.


Пример 4

Упростить выражение tgx+ctgycos(x-y)×sinx×siny.


Решение

 

Воспользуемся определением тангенса и котангенса угла и преобразуем выражение:

sinxcosx+cosysinycos(x-y)×sinxsiny=sinxsiny+cosycosxcosxsinycos(x-y)×sinxsiny=cos(x-y)cosxsiny×sinxsinycos(x-y)=sinxcosx=tgx.

 

Ответ: tgx.


Упражнение 1

Вычислить:

 

а)tg135°;

б)cosπ12;

в)cos14π15cos3π5+sin14π15sin3π5.

 


Упражнение 2

Доказать тождество 2cosx-2cos(π4-x)2sin(π6+x)-3sinx=-2tgx.


Итак:

 

1. cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

2. cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

3. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

4. sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

5. tg(α+β)=tgα+tgβ1-tgαtgβαπ2+πk, βπ2+πk, α+βπ2+πk, kZ.

6. tg(α-β)=tgα-tgβ1+tgαtgβ, απ2+πk, βπ2+πk, α+βπ2+πk, kZ.


Контрольные вопросы

1. Дано тождество sin3xcos6x+cos3xsin6x=t(x). Какое из утверждений t(x)=sin3x, t(x)=cos3x, t(x)=sin9x, t(x)=cos9x верно?

2. Дано тождество cos3xcos6x+sin3xsin6x=t(x). Какое из утверждений t(x)=sin3x, t(x)=cos3x, t(x)=sin9x, t(x)=cos9x верно?

3. Верна ли формула tg(x+π4)=tgx+11-tgx? Если верна, указать при каких значениях переменной.


Ответы

Упражнение 1

 

а) -1;                       б) 2+64;                      в) 12.

 

 

Упражнение 2

 

Указание. 

Использовать формулы косинуса разности аргументов, синуса суммы аргументов, табличными значениями синуса и косинуса.


Предыдущий урок
Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов
Тригонометрия
Следующий урок
Однородные тригонометрические уравнения. Метод введения вспомогательного аргумента
Тригонометрия
  • А.П. Чехов. Новая драма. «Вишневый сад»: история создания, жанр, система образов. Действующие лица и авторское отношение к ним

    Литература

  • Правописание чередующихся гласных в корне слова

    Русский язык

  • Поздний романтизм. Ф.И. Тютчев. Жизнь и творчество. Единство мира и философия природы в его лирике. Тема родины

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке