Конспект урока: Решение тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Разложение на множители

При решении любого тригонометрического уравнения основной задачей является свести его к простейшему тригонометрическому уравнению путем применения различных преобразований. Вспомним основные формулы корней простейших тригонометрических уравнений:

$\sin x=a, \left|a\right|\le 1 x={(-1)}^{n}arc\sin a+\pi n, n\in Z;$

$\cos x=a, \left|a\right|\le 1 x=\pm arc\cos a+2\pi k, k\in Z;$

$tgx=a, a\in R x=arctga+\pi k, k\in Z;$

$ctgx=a, a\in R x=arcctga+\pi k, k\in Z.$

Решите уравнение $3{\cos }^{2}x-5\cos x+2=0$

Решение

Пусть $\cos x=t,$ тогда уравнение примет вид $3t^2-5t+2=0,$ отсюда $x_1=1, x_2=\frac{2}{3}.$ Вернемся к исходной переменной: $\cos x=1$ или $\cos x=\frac{2}{3}.$ Решением первого уравнения является $x=2\pi k, k\in Z,$второго — $x=\pm arc\cos \frac{2}{3}+2\pi n, n\in Z.$

Ответ: $2\pi k, k\in Z;$ $\pm arc\cos \frac{2}{3}+2\pi n, n\in Z.$

Решите уравнение $5-7\sin x=3{\cos }^{2}x.$

Решение

По следствию из основного тригонометрического тождества ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x,$ тогда уравнение примет вид $5-7\sin x=3-3{\sin }^{2}x.$ Сделаем замену $\sin x=t$и приведем подобные слагаемые: $3t^2-7t+2=0, t_1=2, t_2=\frac{1}{3}.$ Имеем  $sinx=2,$ которое не имеет решений, т. к. $\left|\sin x\right|\le 1$, и $\sin x=\frac{1}{3},$ откуда $x={(-1)}^{n}arc\sin \frac{1}{3}+\pi k, k\in Z.$

Ответ: $x={(-1)}^{n}arc\sin \frac{1}{3}+\pi k, k\in Z.$

Решите уравнение $tgx=3ctgx$.

Решение

ОДЗ: $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0,\\ \sin x\ne 0,\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z,\\ x\ne \pi n, n\in Z,\end{array}\right. \\ x\ne \frac{\pi k}{2}, k\in Z. \end{gathered}$$

Так как $ctgx=\frac{1}{tgx},$ то перепишем исходное уравнение в виде $tgx-\frac{3}{tgx}=0.$ Сделаем замену $tgx=t, t\ne 0,$ тогда $t-\frac{3}{t}=0, \frac{t^2-3}{t}=0,$ откуда $t=\pm \sqrt{3}.$ Вернувшись к исходной переменной, имеем $tgx=\sqrt{3}, x=\frac{\pi }{3}+\pi n, n\in Z$ и $tgx=-\sqrt{3}, x=-\frac{\pi }{3}+\pi k, k\in Z .$

Ответ: $\frac{\pi }{3}+\pi n, n\in Z, -\frac{\pi }{3}+\pi k, k\in Z .$

Решите уравнение:

1) $4{\cos }^{2}x+4\cos (\frac{\pi }{2}+x)-1=0;$

2) $2{\cos }^{2}4x+2,5\sin 2x\cos 2x+1=0;$

3) $tgx+3ctgx=4.$