Конспект урока: Уравнение tg x = a

Уравнения tg x=a и ctg x=a

План урока

Арктангенс числа.
Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $t g x = a$ .
Арккотангенс числа.
Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $c t g x = a$ .
Вычисление значений тригонометрических выражений.
Решение уравнений.

Цели урока

Знать определение арктангенса и арккотангенса числа.
Знать формулы решения уравнений $t g x = a$ и $c t g x = a$ .
Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа $t g x = a$ и $c t g x = a$ .
Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

1. С помощью рис. 1 найти:

все углы поворота точки А(1; 0) вокруг начала координат, чтобы получить точки В и С.
все углы поворота точки А(1; 0) вокруг начала координат, чтобы получить точки D и E.

2. На рис. 2 изобразить

точку С, соответствующую числу, синус которого равен $\sin α$ .
точку D, соответствующую числу, косинус которого равен $\cos α$ .
точку М, соответствующую числу, тангенс которого равен $tg α$ .

Рис. 1. Поворот точки вокруг начала координат Рис. 2. Точки единичной окружности

Решение простейшего тригонометрического уравнения $t g x = a$

Рассмотрим следующий вид простейших тригонометрических уравнений, а именно $t g x = a$ .

По определению, тангенс угла — это отношение синуса угла $α$ к его косинусу. Отсюда следует, что $t g x$ может принимать любое действительное значение, тогда уравнение $t g x = a$ имеет корни при любом значении $a$ .

Пример 1

Решить уравнение $t g x = 1$

Решение

Рис. 3. Решение уравнения tg x = 1

Через точку А(1; 0) проведем прямую, перпендикулярную АО (Рис. 3) и отложим на ней отрезок AN=1. Через точки N и О проведем прямую, она пересекает единичную окружность в двух точках В₁ и В₂, диаметрально противоположных друг другу. Найдем тангенс угла $x_{1}$ в прямоугольном треугольнике ANO. По определению, тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему, тогда $t g x_{1} = \frac{A N}{A D} = 1,$ откуда $x_{1} = \frac{π}{4} .$ Значит, в точку В₁можно попасть при повороте точки А(1; 0) на угол $\frac{π}{4},$ а также на углы $x = \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z .$ Точка В₂ получается при повороте точки А на угол

$x_{2} = π + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4},$ а также на углы $x = \frac{5 π}{4} + 2 π k, k \in Z,$ или, другими словами, $x = \frac{π}{4} + π (2 k + 1), k \in Z .$ Получили, что корни уравнения $t g x = 1$ можно найти по формулам $x = \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z$ и $x = \frac{π}{4} + π (2 k + 1), k \in Z,$ а их, в свою очередь, можно объединить в одну $x = \frac{π}{4} + π k, k \in Z .$

Ответ: $\frac{π}{4} + π k, k \in Z .$

Пример 2

Решить уравнение $t g x = - 1$

Решение

Рис. 4. Решение уравнения tg x = -1

Пусть $A O ⊥ A M .$ Прямая, проходящая через точки О и М пересекает единичную окружность в диаметрально противоположных точках В₁ и В₂. В прямоугольном треугольнике АОМ $∠ A O M = \frac{π}{4},$ тогда $x_{1} = - \frac{π}{4} .$ Значит, в точку В₁ можно попасть при повороте точки А(1; 0) на угол $x_{1} = - \frac{π}{4},$ а также на углы $x = - \frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z .$ Чтобы попасть в точку В₂, нужно повернуть точку А(1; 0) на угол $x_{2} = - \frac{π}{4} + π,$ а также на углы $x = - \frac{π}{4} + π (2 k + 1), k \in Z .$ Поэтому все корни уравнения $t g x = - 1$ можно найти по формуле $x = - \frac{π}{4} + π k, k \in Z .$

Ответ: $- \frac{π}{4} + π k, k \in Z .$

Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения $t g x = 1$ и $t g x = - 1$ имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это $x = \frac{π}{4},$ число $\frac{π}{4}$ называют арктангенсом числа 1 (обозначают $\frac{π}{4} = a r c t g 1$ ); для второго — $x = - \frac{π}{4},$ называют арктангенсом числа $(- 1)$ (обозначают $- \frac{π}{4} = a r c t g (- 1)$ ). Вообще говоря, уравнение $t g x = a$ , где $a \in R,$ имеет единственный корень на промежутке $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ , причем, если $a \geq 0,$ то корень лежит на промежутке $[0; \frac{π}{2})$ , если $a < 0$ , то на промежутке $(- \frac{π}{2}; 0)$ и этот корень называется арктангенсом числа $a (a r c t g a) .$

Арктангенсом числа a, где $a \in R$ , называется такое число $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ тангенс которого равен $a$ :

$a r c t g a = α$ , если $t g α = a$ и $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .

Для любого $a \in R$ справедливо равенство

$t g (a r c t g a) = a$ (1)

Равенство

$a r c t g (t g α) = α$ (2)

верно только при $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .

Для любого $a \in R$ верно равенство

$a r c t g (- a) = - a r c t g a$ (3)

Все корни уравнения $t g x = a$ , где $a \in R$ , можно находить по формуле

$x = a r c t g a + π k, k \in Z$ . (4)

Пример 3

Вычислить:

а) $3 a r c t g (- \sqrt{3)} + 7 a r c t g 1;$

б) $4 c t g (\frac{π}{2} + a r c t g 4) + 2 t g (π + a r c t g \frac{5}{2});$

в) $\cos (a r c t g 0, 5) .$

Решение

а) Так как $- \sqrt{3} < 0$ , то $a r c t g (- \sqrt{3})$ — число из промежутка $(- \frac{π}{2}; 0)$ , тангенс которого равен $- \sqrt{3} .$ Значит, $a r c t g (- \sqrt{3)} = - \frac{π}{3}; a r c t g 1 = \frac{π}{4} .$ Подставим найденные значения в исходное выражение: $3 a r c t g (- \sqrt{3}) + 7 a r c t g 1 = 3 \times (- \frac{π}{3}) + 7 \times \frac{π}{4} = - π + \frac{7 π}{4} = \frac{3 π}{4} .$

б) Воспользуемся формулами приведения для каждого из слагаемых и применим формулу (1):

$c t g (\frac{π}{2} + a r c t g 4) = - t g (a r c t g 4) = - 4;$

$t g (π + a r c t g \frac{5}{2}) = t g (a r c t g \frac{5}{2}) = \frac{5}{2} .$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$4 \times (- 4) + 2 \times \frac{5}{2} = - 11 .$

в) Пусть $a r c t g 0, 5 = x,$ отсюда по определению арктангенса числа $t g x = 0, 5, x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) .$ Тогда с новыми обозначениями нужно найти $\cos x$ , где $x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ . C учетом того, что $x$ лежит в I или IV четверти, в которых косинус угла положительный, из формулы $1 + t g^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x} : \cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}$ .

Ответ: а) $\frac{3 π}{4};$

б) $- 11$ ;

в) $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Упражнение 1

Вычислить:

1. $\frac{1}{3} a r c t g 0 + 6 a r c t g (- \frac{\sqrt{3}}{3});$

2. $a r c \sin (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 4 a r c t g 1 - \frac{1}{2} a r c \cos (- 1);$

3. $t g (a r c \sin \frac{2}{5}) .$

Уравнение $c t g x = a$ . Арккотангенс числа

Следующий, последний, вид простейших тригонометрических уравнений, $c t g x = a$ .

По определению, котангенс угла — это отношение косинуса угла $α$ к его синусу. Отсюда следует, что $c t g x$ может принимать любое действительное значение, тогда уравнение $c t g x = a$ имеет корни при любом значении $a$ .

Арккотангенсом числа a, где $a \in R$ , называется такое число $α \in (0; π)$ котангенс которого равен a:

$a r c c t g a = α$ , если $c t g α = a$ и $α \in (0; π)$ .

Для любого $a \in R$ справедливо равенство

$c t g (a r c c t g a) = a$ (5)

Равенство

$a r c c t g (c t g α) = α$ (6)

верно только при $α \in (0; π)$

Для любого $a \in R$ верно равенство

$a r c c t g (- a) = π - arcctg a$ (7)

Все корни уравнения $c t g x = a$ , где $a \in R$ , можно находить по формуле

$x = a r c c t g a + π κ, k \in Z$ (8)

Пример 4

Вычислить:

а) $5 a r c c t g (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 8 a r c c t g 0;$

б) $4 a r c c t g (t g \frac{3 π}{4}) + a r c c t g (c t g \frac{π}{7}) .$

Решение

а) $5 a r c c t g (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 8 a r c c t g 0 = 5 \times (π - a r c c t g \frac{\sqrt{3}}{3}) + 8 \times \frac{π}{2} = 5 \times (π - \frac{π}{3}) +$

$+ 4 π = \frac{22 π}{3} .$

б) $4 a r c c t g (t g \frac{3 π}{4}) + a r c c t g (c t g \frac{π}{7}) = 4 a r c c t g (- 1) + \frac{π}{7} = 4 \times (π - a r c c t g 1) + \frac{π}{7} =$

$= 4 \times \frac{3 π}{4} + \frac{π}{7} = \frac{22 π}{7} .$

Ответ: а) $\frac{22 π}{3};$

б) $\frac{22 π}{7} .$

Упражнение 2

Вычислить:

1. $\frac{1}{5} a r c c t g (- \sqrt{3}) + 7 a r c c t g (- 1);$

2. $a r c c t g (\sin \frac{π}{2}) + a r c \cos (- 1) .$

Пример 5

Решить уравнение:

а) $t g 3 x = - \frac{1}{\sqrt{3}};$

б) $9 - 25 t g^{2} 2 x = 0 .$

Решение

а) По формуле (4) находим $3 x = a r c t g (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + π k, k \in Z,$ откуда $3 x = - \frac{π}{6} + π k, k \in Z,$ $x = - \frac{π}{18} + \frac{π k}{3}, k \in Z .$

б) Запишем исходное уравнение в виде $t g^{2} 2 x = \frac{9}{25},$ тогда $t g 2 x = \frac{3}{5}$ или $t g 2 x = - \frac{3}{5} .$ По формуле (4) найдем корни этих уравнений. Для первого $2 x = a r c t g \frac{3}{5} + π k, k \in Z,$ $x = \frac{1}{2} a r c t g \frac{3}{5} + \frac{π k}{2}, k \in Z .$ Для второго $2 x = - a r c t g \frac{3}{5} + π n, n \in Z, x = - \frac{1}{2} a r c t g \frac{3}{5} + \frac{π n}{2}, n \in Z .$

Ответ: а) $- \frac{π}{18} + \frac{π k}{3}, k \in Z;$

б) $\frac{1}{2} a r c t g \frac{3}{5} + \frac{π k}{2}, k \in Z;$ $- \frac{1}{2} a r c t g \frac{3}{5} + \frac{π n}{2}, n \in Z .$

Упражнение 3

Решить уравнение:

1. $3 t g (x + \frac{2 π}{3}) + \sqrt{3} = 0;$

2. $9 c t g^{2} x - 3 = 0 .$

Контрольные вопросы

1. С помощью единичной окружности решить уравнение $t g x = - \frac{1}{2} .$

2. Покажите на единичной окружности точки, соответствующие корням уравнения $c t g x = - 0, 7$ .

3. Найдите решения уравнения $t g x = - \sqrt{3}$ на промежутке $[- 2 π; \frac{π}{2}] .$

Ответы

Упражнение 1

1. $- π .$

2. $\frac{π}{4} .$

3. $\frac{2}{\sqrt{21}} .$

Упражнение 2

1. $\frac{65 π}{12} .$

2. $\frac{5 π}{4} .$

Упражнение 3

1. $- \frac{5 π}{6} + π n, n \in Z .$

2. $\frac{π}{3} + π k, k \in Z; \frac{2 π}{3} + π n, n \in Z .$

Уравнения tg x=a и ctg x=a

План урока

Арктангенс числа.
Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $t g x = a$ .
Арккотангенс числа.
Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $c t g x = a$ .
Вычисление значений тригонометрических выражений.
Решение уравнений.

Цели урока

Знать определение арктангенса и арккотангенса числа.
Знать формулы решения уравнений $t g x = a$ и $c t g x = a$ .
Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа $t g x = a$ и $c t g x = a$ .
Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

1. С помощью рис. 1 найти:

все углы поворота точки А(1; 0) вокруг начала координат, чтобы получить точки В и С.
все углы поворота точки А(1; 0) вокруг начала координат, чтобы получить точки D и E.

2. На рис. 2 изобразить

точку С, соответствующую числу, синус которого равен $\sin α$ .
точку D, соответствующую числу, косинус которого равен $\cos α$ .
точку М, соответствующую числу, тангенс которого равен $tg α$ .

Рис. 1. Поворот точки вокруг начала координат Рис. 2. Точки единичной окружности

Решение простейшего тригонометрического уравнения $t g x = a$

Рассмотрим следующий вид простейших тригонометрических уравнений, а именно $t g x = a$ .

Пример 1

Решить уравнение $t g x = 1$

Решение

Рис. 3. Решение уравнения tg x = 1

Ответ: $\frac{π}{4} + π k, k \in Z .$

Пример 2

Решить уравнение $t g x = - 1$

Решение

Рис. 4. Решение уравнения tg x = -1

Ответ: $- \frac{π}{4} + π k, k \in Z .$

Арктангенсом числа a, где $a \in R$ , называется такое число $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ тангенс которого равен $a$ :

$a r c t g a = α$ , если $t g α = a$ и $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .

Для любого $a \in R$ справедливо равенство

$t g (a r c t g a) = a$ (1)

Равенство

$a r c t g (t g α) = α$ (2)

верно только при $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .

Для любого $a \in R$ верно равенство

$a r c t g (- a) = - a r c t g a$ (3)

Все корни уравнения $t g x = a$ , где $a \in R$ , можно находить по формуле

$x = a r c t g a + π k, k \in Z$ . (4)

Пример 3

Вычислить:

а) $3 a r c t g (- \sqrt{3)} + 7 a r c t g 1;$

б) $4 c t g (\frac{π}{2} + a r c t g 4) + 2 t g (π + a r c t g \frac{5}{2});$

в) $\cos (a r c t g 0, 5) .$

Решение

б) Воспользуемся формулами приведения для каждого из слагаемых и применим формулу (1):

$c t g (\frac{π}{2} + a r c t g 4) = - t g (a r c t g 4) = - 4;$

$t g (π + a r c t g \frac{5}{2}) = t g (a r c t g \frac{5}{2}) = \frac{5}{2} .$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$4 \times (- 4) + 2 \times \frac{5}{2} = - 11 .$

Ответ: а) $\frac{3 π}{4};$

б) $- 11$ ;

в) $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Упражнение 1

Вычислить:

1. $\frac{1}{3} a r c t g 0 + 6 a r c t g (- \frac{\sqrt{3}}{3});$

2. $a r c \sin (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 4 a r c t g 1 - \frac{1}{2} a r c \cos (- 1);$

3. $t g (a r c \sin \frac{2}{5}) .$

Уравнение $c t g x = a$ . Арккотангенс числа

Следующий, последний, вид простейших тригонометрических уравнений, $c t g x = a$ .

Арккотангенсом числа a, где $a \in R$ , называется такое число $α \in (0; π)$ котангенс которого равен a:

$a r c c t g a = α$ , если $c t g α = a$ и $α \in (0; π)$ .

Для любого $a \in R$ справедливо равенство

$c t g (a r c c t g a) = a$ (5)

Равенство

$a r c c t g (c t g α) = α$ (6)

верно только при $α \in (0; π)$

Для любого $a \in R$ верно равенство

$a r c c t g (- a) = π - arcctg a$ (7)

Все корни уравнения $c t g x = a$ , где $a \in R$ , можно находить по формуле

$x = a r c c t g a + π κ, k \in Z$ (8)

Пример 4

Вычислить:

а) $5 a r c c t g (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 8 a r c c t g 0;$

б) $4 a r c c t g (t g \frac{3 π}{4}) + a r c c t g (c t g \frac{π}{7}) .$

Решение

а) $5 a r c c t g (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 8 a r c c t g 0 = 5 \times (π - a r c c t g \frac{\sqrt{3}}{3}) + 8 \times \frac{π}{2} = 5 \times (π - \frac{π}{3}) +$

$+ 4 π = \frac{22 π}{3} .$

б) $4 a r c c t g (t g \frac{3 π}{4}) + a r c c t g (c t g \frac{π}{7}) = 4 a r c c t g (- 1) + \frac{π}{7} = 4 \times (π - a r c c t g 1) + \frac{π}{7} =$

$= 4 \times \frac{3 π}{4} + \frac{π}{7} = \frac{22 π}{7} .$

Ответ: а) $\frac{22 π}{3};$

б) $\frac{22 π}{7} .$

Упражнение 2

Вычислить:

1. $\frac{1}{5} a r c c t g (- \sqrt{3}) + 7 a r c c t g (- 1);$

2. $a r c c t g (\sin \frac{π}{2}) + a r c \cos (- 1) .$

Пример 5

Решить уравнение:

а) $t g 3 x = - \frac{1}{\sqrt{3}};$

б) $9 - 25 t g^{2} 2 x = 0 .$

Решение

Ответ: а) $- \frac{π}{18} + \frac{π k}{3}, k \in Z;$

б) $\frac{1}{2} a r c t g \frac{3}{5} + \frac{π k}{2}, k \in Z;$ $- \frac{1}{2} a r c t g \frac{3}{5} + \frac{π n}{2}, n \in Z .$

Упражнение 3

Решить уравнение:

1. $3 t g (x + \frac{2 π}{3}) + \sqrt{3} = 0;$

2. $9 c t g^{2} x - 3 = 0 .$

Контрольные вопросы

1. С помощью единичной окружности решить уравнение $t g x = - \frac{1}{2} .$

2. Покажите на единичной окружности точки, соответствующие корням уравнения $c t g x = - 0, 7$ .

3. Найдите решения уравнения $t g x = - \sqrt{3}$ на промежутке $[- 2 π; \frac{π}{2}] .$

Ответы

Упражнение 1

1. $- π .$

2. $\frac{π}{4} .$

3. $\frac{2}{\sqrt{21}} .$

Упражнение 2

1. $\frac{65 π}{12} .$

2. $\frac{5 π}{4} .$

Упражнение 3

1. $- \frac{5 π}{6} + π n, n \in Z .$

2. $\frac{π}{3} + π k, k \in Z; \frac{2 π}{3} + π n, n \in Z .$

Конспект урока: Уравнение tg x = a

Тригонометрия

Решение простейшего тригонометрического уравнения tg x=a

Уравнение ctg x=a. Арккотангенс числа

Решение простейшего тригонометрического уравнения tg x=a

Уравнение ctg x=a. Арккотангенс числа

Решение простейшего тригонометрического уравнения $t g x = a$

Уравнение $c t g x = a$ . Арккотангенс числа

Решение простейшего тригонометрического уравнения $t g x = a$

Уравнение $c t g x = a$ . Арккотангенс числа