- Арктангенс числа.
- Формула решения простейшего тригонометрического уравнения .
- Арккотангенс числа.
- Формула решения простейшего тригонометрического уравнения .
- Вычисление значений тригонометрических выражений.
- Решение уравнений.
- Знать определение арктангенса и арккотангенса числа.
- Знать формулы решения уравнений и .
- Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа и .
- Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.
1. С помощью рис. 1 найти:
- все углы поворота точки А(1; 0) вокруг начала координат, чтобы получить точки В и С.
- все углы поворота точки А(1; 0) вокруг начала координат, чтобы получить точки D и E.
2. На рис. 2 изобразить
- точку С, соответствующую числу, синус которого равен .
- точку D, соответствующую числу, косинус которого равен .
- точку М, соответствующую числу, тангенс которого равен .
Решение простейшего тригонометрического уравнения
Рассмотрим следующий вид простейших тригонометрических уравнений, а именно .
По определению, тангенс угла — это отношение синуса угла к его косинусу. Отсюда следует, что может принимать любое действительное значение, тогда уравнение имеет корни при любом значении .
Пример 1
Решить уравнение
Решение
Через точку А(1; 0) проведем прямую, перпендикулярную АО (Рис. 3) и отложим на ней отрезок AN=1. Через точки N и О проведем прямую, она пересекает единичную окружность в двух точках В1 и В2, диаметрально противоположных друг другу. Найдем тангенс угла в прямоугольном треугольнике ANO. По определению, тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему, тогда откуда Значит, в точку В1 можно попасть при повороте точки А(1; 0) на угол а также на углы Точка В2 получается при повороте точки А на угол
а также на углы или, другими словами, Получили, что корни уравнения можно найти по формулам и а их, в свою очередь, можно объединить в одну
Ответ:
Пример 2
Решить уравнение
Решение
Пусть Прямая, проходящая через точки О и М пересекает единичную окружность в диаметрально противоположных точках В1 и В2. В прямоугольном треугольнике АОМ тогда Значит, в точку В1 можно попасть при повороте точки А(1; 0) на угол а также на углы Чтобы попасть в точку В2, нужно повернуть точку А(1; 0) на угол а также на углы Поэтому все корни уравнения можно найти по формуле
Ответ:
Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения и имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это число называют арктангенсом числа 1 (обозначают ); для второго — называют арктангенсом числа (обозначают ). Вообще говоря, уравнение , где имеет единственный корень на промежутке , причем, если то корень лежит на промежутке , если , то на промежутке и этот корень называется арктангенсом числа
Арктангенсом числа a, где , называется такое число тангенс которого равен :
, если и .
Для любого справедливо равенство
(1)
Равенство
(2)
верно только при .
Для любого верно равенство
(3)
Все корни уравнения , где , можно находить по формуле
. (4)
Пример 3
Вычислить:
а)
б)
в)
Решение
а) Так как , то — число из промежутка , тангенс которого равен Значит, Подставим найденные значения в исходное выражение:
б) Воспользуемся формулами приведения для каждого из слагаемых и применим формулу (1):
Подставим найденные значения в исходное выражение:
в) Пусть отсюда по определению арктангенса числа Тогда с новыми обозначениями нужно найти , где . C учетом того, что лежит в I или IV четверти, в которых косинус угла положительный, из формулы .
Ответ: а)
б) ;
в)
Упражнение 1
Вычислить:
1.
2.
3.
Уравнение . Арккотангенс числа
Следующий, последний, вид простейших тригонометрических уравнений, .
По определению, котангенс угла — это отношение косинуса угла к его синусу. Отсюда следует, что может принимать любое действительное значение, тогда уравнение имеет корни при любом значении .
Арккотангенсом числа a, где , называется такое число котангенс которого равен a:
, если и .
Для любого справедливо равенство
(5)
Равенство
(6)
верно только при
Для любого верно равенство
(7)
Все корни уравнения , где , можно находить по формуле
(8)
Пример 4
Вычислить:
а)
б)
Решение
а)
б)
Ответ: а)
б)
Упражнение 2
Вычислить:
1.
2.
Пример 5
Решить уравнение:
а)
б)
Решение
а) По формуле (4) находим откуда
б) Запишем исходное уравнение в виде тогда или По формуле (4) найдем корни этих уравнений. Для первого Для второго
Ответ: а)
б)
Упражнение 3
Решить уравнение:
1.
2.
Контрольные вопросы
1. С помощью единичной окружности решить уравнение
2. Покажите на единичной окружности точки, соответствующие корням уравнения .
3. Найдите решения уравнения на промежутке
Упражнение 1
1.
2.
3.
Упражнение 2
1.
2.
Упражнение 3
1.
2.