Арифметический корень натуральной степени

План урока

Введение арифметического корня натуральной степени
Введение корня нечетной степени из отрицательного числа
Перечисление основных свойств арифметического корня n-ой степени
Решение задач на свойства арифметического корня n-ой степени

Цели урока

Знать определение арифметического корня натуральной степени, свойства корня n-ой степени
Уметь применять свойства корня n-ой степени при решении задач

Разминка

1.Возвести в квадрат числа:

0; 6; $- \frac{2}{5}; 2 \frac{2}{3}; 0, 7; 0, 3; 0, 09; - 1, 8 .$

2. Представить в виде квадрата числа:

1; $\frac{64}{81}; 0, 0009; 0, 0064; 36^{4}; 3, 2^{8} .$

3. Представить в виде куба числа:

$\frac{8}{27}; \frac{81}{64}; - 0, 001; {(- 2)}^{9}; - 2^{6} .$

4. Вычислить:

${(0, 2)}^{3}; {(- 5)}^{4}; {(0, 3)}^{4}; 2^{5} \times 2^{4}; \frac{1}{4} \times 2^{- 3} .$

Решим графически уравнение $x^{4} = 16$ .

В одной и той же системе координат построим графики левой и правой частей уравнения, т.е. $y = x^{4} и y = 16$ . Они пересекаются в двух точках

А $(- 2, 16)$ и В $(2, 16)$ . Их абсциссы $x_{1} = - 2, x_{2} = 2$ являются решениями уравнения $x^{4} = 16$ . Эти корни называются корнями четвертой степени из числа 16, а положительный корень (равный 2) называют арифметическим корнем четвертой степени из числа 16.

Вообще, при решении уравнения $x^{n} = a, a \geq 0, n \in N$ получается единственный неотрицательный корень. Он называется арифметическим корнем n-ой степени из числа a.

Арифметическим корнем натуральной степени $n \geq 2$ из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Обозначение: $\sqrt[n]{a}$ .

Выражение a называют подкоренным выражением.

$\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a, a \geq 0, b \geq 0 .$

В случае $n = 2$ , в обозначении корня 2 не пишут, а пишут $\sqrt{a}$ и называют «квадратный корень из числа a».

В случае $n = 3$ , называют «кубический корень из числа a».

Решим уравнение $x^{3} = - 64$ .

Перенесем слагаемое из правой части в левую и разложим получившийся многочлен на множители $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ . Если приравнять второй множитель $x^{2} - 4 x + 16$ к нулю, то дискриминант этого выражения будет отрицательным, значит $x^{2} - 4 x + 16 > 0$ для любого действительного x. Тогда $x + 4 = 0, x = - 4$ . Получили, что уравнение $x^{3} = - 64$ имеет один действительный корень $x = - 4$ . Этот корень не является арифметическим, т.к. он отрицательный. Он называется кубическим корнем из числа -64 и обозначается $\sqrt[3]{- 64}$ : $\sqrt[3]{- 64} = - 4$ .

При решении уравнения $x^{n} = a$ в случае нечетности n и отрицательности a, т.е. при решении $x^{2 k + 1} = a, a < 0$ имеем только один отрицательный корень $\sqrt[2 k + 1]{a}$ . Он называется корнем нечетной степени из отрицательного числа.

Так как $- a = | a |, т о \sqrt[2 k + 1]{a} = - \sqrt[2 k + 1]{- a} = - \sqrt[2 k + 1]{|a|}$ .

Например, $\sqrt[3]{- 125} = - \sqrt[3]{125} = - 5$ .

Операция нахождения корня n-й степени из неотрицательного числа является обратной к возведению в соответствующую степень и называется извлечением корня n-й степени.

Пример 1

Вычислить $\sqrt[3]{- 125} + \sqrt[5]{0, 00001} - \sqrt[4]{0, 0081} + \sqrt[3]{- 343}$

Решение

$\sqrt[3]{- 125} + \sqrt[5]{0, 00001} - \sqrt[4]{0, 0081} + \sqrt[3]{- 343} = \sqrt[3]{{(- 5)}^{3}} + \sqrt[5]{0, 1^{5}} - \sqrt[4]{0, 3^{4}} +$

$+ \sqrt[3]{{(- 7)}^{3}} = - 5 + 0, 1 - 0, 3 - 7 = - 12, 2$

Ответ: $- 12, 2$

Свойства арифметического корня n-ой степени

Пусть $a \geq 0, b > 0, m \in N, n \in N, k \in N, m \geq 2, n \geq 2$

$\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$ ;
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ ;
${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ ;
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$ ;
$\sqrt[m k]{a^{n k}} = \sqrt[m]{a^{n}}$ ;
$\sqrt[2 k]{a^{2 k}} = |a|, k \in N$ .

Вообще говоря, в свойстве 1 b может быть равным 0; в свойстве 3 в случае положительного значения a, m может быть любым целым.

Пример 2

Вычислить:

а) $\sqrt[5]{8} \times \sqrt[5]{4}$ ;

б) $\sqrt[3]{1 \frac{61}{64}}$ ;

в) $\sqrt[5]{3^{10} \times {(\frac{1}{3})}^{15}}$ ;

г) ${(\sqrt[4]{3^{3}} \times \sqrt[3]{2^{2}})}^{6} : \sqrt[4]{3^{6}}$ ;

д) $\sqrt[4]{\sqrt{0, 00000001}} \times \sqrt{\sqrt{625}}$ ;

е) $\sqrt[3]{5 - \sqrt[3]{61}} \times \sqrt[3]{25 + 5 \sqrt[3]{61} + \sqrt[3]{61^{2}}}$ .

Решение

а) $\sqrt[5]{8} \times \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{8 \times 4} = \sqrt[5]{32} = 2$ ;

б) $\sqrt[3]{1 \frac{61}{64}} = \sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$ ;

в) $\sqrt[5]{3^{10} \times {(\frac{1}{3})}^{15} =} \sqrt[5]{3^{10} \times 3^{- 15}} = \sqrt[5]{3^{- 5}} = \frac{1}{3}$ ;

г) ${(\sqrt[4]{3^{3}} \times \sqrt[3]{2^{2}})}^{6} \div \sqrt[4]{3^{6}} = \frac{\sqrt[4]{3^{18}} \times \sqrt[3]{2^{12}}}{\sqrt[4]{3^{6}}} = \sqrt[4]{3^{12}} \times 2^{4} = 3^{3} \times 2^{4} = 432$ ;

д) $\sqrt[4]{\sqrt{0, 00000001}} \times \sqrt{\sqrt{625}} = \sqrt[8]{0, 00000001} \times \sqrt[4]{625} = 0, 1 \times 5 = 0, 5$ ;

е) $\sqrt[3]{5 - \sqrt[3]{61}} \times \sqrt[3]{25 + 5 \sqrt[3]{61} + \sqrt[3]{61^{2}}} = \sqrt[3]{(5 - \sqrt[3]{61}) (25 + 5 \sqrt[3]{61} + \sqrt[3]{61^{2})}} =$

$= \sqrt[3]{5^{3} - \sqrt[3]{61^{3}}} = \sqrt[3]{125 - 61} = 4$ .

Ответ: а) 2; б) $1 \frac{1}{4}$ ; в) $\frac{1}{3}$ ; г) 432; д) 0,5; е) 4.

Упражнение 1

Вычислить:

а) $\sqrt[3]{1 \frac{127}{216}}$ ;

б) $\sqrt[5]{27} \times \sqrt[5]{9}$ ;

в) $\sqrt[9]{5^{27} \times {(\frac{1}{5})}^{18}}$ ;

г) ${(\sqrt[3]{3^{2}} \times \sqrt[4]{2^{2}})}^{6} : \sqrt[3]{8^{2}}$ ;

д) $\sqrt[3]{7 - \sqrt[3]{127}} \times \sqrt[3]{49 + 7 \sqrt[3]{127} + \sqrt[3]{127^{2}}}$

Пример 3

Упростить выражения:

а) $\frac{\sqrt[6]{x y} - \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} : \frac{\sqrt[6]{x y}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$ , при x>0, y>0, $x \neq y;$

б) $\frac{y \sqrt[3]{x^{2}} - x \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x y}}$ , при x>0, y>0.

Решение

а) $\frac{\sqrt[6]{x y} - \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} : \frac{\sqrt[6]{x y}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}} = \frac{\sqrt[6]{y} (\sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y})}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} \times \frac{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}{\sqrt[6]{x y}} = \frac{\sqrt[6]{y} (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})}{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}) \sqrt[6]{x} \sqrt[6]{y}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$ ;

б) $\frac{y \sqrt[3]{x^{2}} - x \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x y}} = \frac{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{y} (\sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{x})}{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{x}) = \sqrt[3]{x y^{2}} - \sqrt[3]{x^{2}}$ .

Ответ: а) $\frac{1}{\sqrt[6]{x}}$ ; б) $\sqrt[3]{x y^{2}} - \sqrt[3]{x^{2}}$

Упражнение 2

Упростить выражения:

а) $\frac{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}$ , где $x \neq y$ ;

б) $\frac{x - y}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} - \sqrt[3]{x y}$ , где $x \neq y$ .

Пример 4

Избавиться от иррациональности в знаменателе $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ .

Решение

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, а именно на $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ = $\frac{3 \sqrt{3} ((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5})}{((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}) ((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5})} = \frac{3 \sqrt{6} + 9 - 3 \sqrt{15}}{2 \sqrt{6}}$ .

Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{6}$ .

$\frac{3 \sqrt{6} + 9 - 3 \sqrt{15}}{2 \sqrt{6}} = \frac{(3 \sqrt{6} + 9 - 3 \sqrt{15)} \times \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{18 + 9 \sqrt{6} - 3 \sqrt{90}}{12} = \frac{3 (2 + \sqrt{6} - \sqrt{10})}{4}$ .

Ответ: $\frac{3 (2 + \sqrt{6} - \sqrt{10})}{4}$ .

Упражнение 3

Избавиться от иррациональности в знаменателе $\frac{14 \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}}$ .

Заметим, корень четной степени имеет смысл только на множестве неотрицательных чисел, корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Пример 5

При каких x выражение имеет смысл:

a) $\sqrt[4]{x^{2} - 3 x - 4}$

б) $\sqrt[6]{\frac{x - 5}{4 - x}}$

Решение

а) Так как дан корень четной кратности, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. $x^{2} - 3 x - 4 \geq 0, (x - 4) (x + 1) \geq 0$ . Решив это неравенство, получим $x \in (- \infty; - 1] \cup [4; + \infty) .$

б) $\frac{x - 5}{4 - x} \geq 0$ .

$x \in (4; 5]$

Ответ: а) $(- \infty; - 1] \cup [4; + \infty);$ б)(4;5]

Упражнение 4

При каких $x$ выражение имеет смысл:

а) $\sqrt[9]{5 - x}$ ;

б) $\sqrt[8]{- x^{2} + 5 x - 6}$ ;

в) $\sqrt[12]{\frac{8 - x}{x + 8}}$ .

Итак:

1. Арифметическим корнем натуральной степени $n \geq 2$ из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

2. Решение уравнения $x^{2 k + 1} = a, a < 0, k \in N$ называется корнем нечетной степени из отрицательного числа.

3. При $a < 0 \sqrt[2 k + 1]{a} = - \sqrt[2 k + 1]{- a} = - \sqrt[2 k + 1]{|a|}$ .

4. Пусть $a \geq 0, b > 0, m \in N, n \in N, k \in N, m \geq 2, n \geq 2$

$\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$ ;
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ ;
${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ ;
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$ ;
$\sqrt[m k]{a^{n k}} = \sqrt[m]{a^{n}}$ .

5. $\sqrt[2 k]{a^{2 k}} = |a|, k \in N, a \in R$ .

Контрольные вопросы

Что называют арифметическим корнем натуральной степени?
Что называют корнем нечетной степени из неотрицательного числа?
Какие свойства корня вы знаете?
Найти область допустимых значений выражения: a) $\sqrt[6]{3 x - 4}$ ; б) $\sqrt[5]{2 x - 7}$ .

Ответы

Упражнение 1

а) $1 \frac{1}{6}$ ;

б) 3;

в) 5;

г) 162;

д) 6.

Упражнение 2

а) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}$ ;

б) $\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}}$ .

Упражнение 3

$\frac{7 (2 + \sqrt{10} + \sqrt{14})}{2}$

Упражнение 5

$a) x \in R;$

$б) [2; 3];$

$в) (- 8; 8] .$

Конспект урока: Арифметический корень натуральной степени

Корни