Конспект урока: Арифметический корень натуральной степени

В одной и той же системе координат построим графики левой и правой частей уравнения, т.е. $y=x^4 и y=16$. Они пересекаются в двух точках 

А $\left(-2, 16\right)$ и В $\left(2, 16\right)$. Их абсциссы $x_1=-2, x_2=2$ являются решениями уравнения $x^4=16$. Эти корни называются корнями четвертой степени из числа 16, а положительный корень (равный 2) называют арифметическим корнем четвертой степени из числа 16.

 

Вообще, при решении уравнения $x^n=a, a\ge 0, n\in N$ получается единственный неотрицательный корень. Он называется арифметическим корнем n-ой степени из числа a.

Обозначение: $\sqrt[n]{a}$. 

Выражение a называют подкоренным выражением. 

$\sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a, a\ge 0, b\ge 0.$

В случае $n=2$, в обозначении корня 2 не пишут, а пишут $\sqrt{a}$ и называют «квадратный корень из числа a».

В случае $n=3$, называют «кубический корень из числа a».

Перенесем слагаемое из правой части в левую и разложим получившийся многочлен на множители $(x+4)(x^2-4x+16)=0$. Если приравнять второй множитель $x^2-4x+16$ к нулю, то дискриминант этого выражения будет отрицательным, значит $x^2-4x+16>0$ для любого действительного x. Тогда $x+4=0, x=-4$. Получили, что уравнение $x^3=-64$ имеет один действительный корень $x=-4$. Этот корень не является арифметическим, т.к. он отрицательный. Он называется кубическим корнем из числа -64 и обозначается $\sqrt[3]{-64}$: $\sqrt[3]{-64}=-4$.

При решении уравнения $x^n=a$ в случае нечетности n и отрицательности a, т.е. при решении $x^{2k+1}=a, a<0$ имеем только один отрицательный корень $\sqrt[2k+1]{a}$. Он называется корнем нечетной степени из отрицательного числа.

Так как $-a=\left|a\right|, то \sqrt[2k+1]{a}=-\sqrt[2k+1]{-a}=-\sqrt[2k+1]{\left|a\right|}$.
 

Например, $\sqrt[3]{-125}=-\sqrt[3]{125}=-5$.

Операция нахождения корня n-й степени из неотрицательного числа является обратной к возведению в соответствующую степень и называется извлечением корня n-й степени.

Вычислить $\sqrt[3]{-125}+\sqrt[5]{0,00001}-\sqrt[4]{0,0081}+\sqrt[3]{-343}$

Решение

$\sqrt[3]{-125}+\sqrt[5]{0,00001}-\sqrt[4]{0,0081}+\sqrt[3]{-343}=\sqrt[3]{{\left(-5\right)}^3}+\sqrt[5]{0,1^5}-\sqrt[4]{0,3^4}+$

$+\sqrt[3]{{\left(-7\right)}^3}=-5+0,1-0,3-7=-12,2$

Ответ: $-12,2$

Свойства арифметического корня n-ой степени

Пусть $a\ge 0, b>0, m\in N, n\in N, k\in N, m\ge 2, n\ge 2$
 

1. $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}$;
    
2. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$;
    
3. ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$;
    
4. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$;
    
5. $\sqrt[mk]{a^{nk}}=\sqrt[m]{a^n}$;
    
6. $\sqrt[2k]{a^{2k}}=\left|a\right|, k\in N$.

Вообще говоря, в свойстве 1 b может быть равным 0; в свойстве 3 в случае положительного значения a, m может быть любым целым.

Вычислить: 

а) $\sqrt[5]{8}\times \sqrt[5]{4}$;

б) $\sqrt[3]{1\frac{61}{64}}$;

в) $\sqrt[5]{3^{10}\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^{15}}$;

г) ${\left(\sqrt[4]{3^3}\times \sqrt[3]{2^2}\right)}^6:\sqrt[4]{3^6}$;

д) $\sqrt[4]{\sqrt{0,00000001 }}\times \sqrt{\sqrt{625}}$;

е) $\sqrt[3]{5-\sqrt[3]{61}} \times \sqrt[3]{25+5\sqrt[3]{61}+\sqrt[3]{{61}^2}}$.
 

Решение

а) $\sqrt[5]{8}\times \sqrt[5]{4}=\sqrt[5]{8\times 4}=\sqrt[5]{32}=2$;

б) $\sqrt[3]{1\frac{61}{64}}=\sqrt[3]{\frac{125}{64}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$;

в) $\sqrt[5]{3^{10 }\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^{15}=} \sqrt[5]{3^{10}\times 3^{-15}}=\sqrt[5]{3^{-5}}=\frac{1}{3}$;

г) ${\left(\sqrt[4]{3^{3 }}\times \sqrt[3]{2^2} \right)}^6÷\sqrt[4]{3^6}=\frac{\sqrt[4]{3^{18}}\times \sqrt[3]{2^{12}}}{\sqrt[4]{3^6}}=\sqrt[4]{3^{12}}\times 2^4=3^3\times 2^4=432$;

д) $\sqrt[4]{\sqrt{0,00000001}}\times \sqrt{\sqrt{625}}=\sqrt[8]{0,00000001}\times \sqrt[4]{625}=0,1\times 5=0,5$ ;

е) $\sqrt[3]{5-\sqrt[3]{61}}\times \sqrt[3]{25+5\sqrt[3]{61}+\sqrt[3]{{61}^2}}=\sqrt[3]{(5-\sqrt[3]{61}) (25+5\sqrt[3]{61}+\sqrt[3]{{61}^2)}}=$

$=\sqrt[3]{5^3-\sqrt[3]{{61}^3 }}=\sqrt[3]{125-61}=4$.

Ответ: а) 2;        б) $1\frac{1}{4}$ ;   в) $\frac{1}{3}$ ;   г) 432;           д) 0,5;  е) 4.

Вычислить:

а) $\sqrt[3]{1\frac{127}{216}}$;

б) $\sqrt[5]{27}\times \sqrt[5]{9}$;

в)$\sqrt[9]{5^{27}\times {\left(\frac{1}{5}\right)}^{18}}$;

г)${(\sqrt[3]{3^2}\times \sqrt[4]{2^2})}^6 : \sqrt[3]{8^2}$;

д)$\sqrt[3]{7-\sqrt[3]{127}}\times \sqrt[3]{49+7\sqrt[3]{127}+\sqrt[3]{{127}^2}}$

Упростить выражения:
 

а) $\frac{\sqrt[6]{xy }-\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}: \frac{\sqrt[6]{xy}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$, при x>0, y>0, $x\ne y;$
 

б)$\frac{y\sqrt[3]{x^2}-x\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xy}}$,  при x>0, y>0.

Решение
 

а) $\frac{\sqrt[6]{xy}-\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}: \frac{\sqrt[6]{xy}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}=\frac{\sqrt[6]{y}(\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y})}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}\times \frac{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}{\sqrt[6]{xy}}=\frac{\sqrt[6]{y}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})}{(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})\sqrt[6]{x}\sqrt[6]{y}}=\frac{1}{\sqrt[6]{x}}$;
 

б) $\frac{y\sqrt[3]{x^2}-x\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{\sqrt[3]{x^2}\sqrt[3]{y}(\sqrt[3]{y^2}-\sqrt[3]{x})}{\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}}=\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{y^2}-\sqrt[3]{x})=\sqrt[3]{x{y}^2}-\sqrt[3]{x^2}$.
 

Ответ: а) $\frac{1}{\sqrt[6]{x}}$; б) $\sqrt[3]{x{y}^2} - \sqrt[3]{x^2}$

Упростить выражения:

а) $\frac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}$, где $x\ne y$;
 

б)$\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}- \sqrt[3]{xy}$, где $x\ne y$.

Избавиться от иррациональности в знаменателе $\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$.

Решение

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, а именно на $(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}$.
 

$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{3}\left(\right(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5})}{\left(\right(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5})\left(\right(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5})}=\frac{3\sqrt{6}+9-3\sqrt{15}}{2\sqrt{6}}$.

Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{6}$.

$\frac{3\sqrt{6}+9-3\sqrt{15}}{2\sqrt{6}}=\frac{(3\sqrt{6}+9-3\sqrt{15)}\times \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{18+9\sqrt{6}-3\sqrt{90}}{12}=\frac{3(2+\sqrt{6}-\sqrt{10})}{4}$.

Ответ: $\frac{3(2+\sqrt{6}-\sqrt{10})}{4}$.

Избавиться от иррациональности в знаменателе $\frac{14\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}$.

Заметим, корень четной степени имеет смысл только на множестве неотрицательных чисел, корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

При каких x выражение имеет смысл:
 

a) $\sqrt[4]{x^2-3x-4}$

б) $\sqrt[6]{\frac{x-5}{4-x}}$

Решение
 

а) Так как дан корень четной кратности, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. $x^2-3x-4\ge 0, (x-4)(x+1)\ge 0$. Решив это неравенство, получим $x\in (-\infty ;-1]\cup [4;+\infty ).$
 

б) $\frac{x-5}{4-x}\ge 0$.

$x\in (4;5]$
 

Ответ: а) $(-\infty ;-1]\cup [4;+\infty );$ б)(4;5]

При каких $x$ выражение имеет смысл:
 

а) $\sqrt[9]{5-x}$;

б) $\sqrt[8]{-x^2+5x-6}$;

в) $\sqrt[12]{\frac{8-x}{x+8}}$.

Итак:

1. Арифметическим корнем натуральной степени $n\ge 2$ из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.
 

2. Решение уравнения $x^{2k+1}=a, a<0, k\in N$ называется корнем нечетной степени из отрицательного числа.
 

3. При $a<0 \sqrt[2k+1]{a}=-\sqrt[2k+1]{-a}=-\sqrt[2k+1]{\left|a\right|}$.
 

4. Пусть $a\ge 0, b>0, m\in N, n\in N, k\in N, m\ge 2, n\ge 2$
 

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}$;
• $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$;
• ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$;
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$;
• $\sqrt[mk]{a^{nk}}=\sqrt[m]{a^n}$.

5. $\sqrt[2k]{a^{2k}}=\left|a\right|, k\in N, a\in R$.

1. Что называют арифметическим корнем натуральной степени?
2. Что называют корнем нечетной степени из неотрицательного числа?
3. Какие свойства корня вы знаете?
4. Найти область допустимых значений выражения:   a) $\sqrt[6]{3x-4}$;   б)$\sqrt[5]{2x-7}$.