Конспект урока: Системы показательных уравнений и неравенств

План урока

• Метод подстановки в решении систем показательных уравнений
• Метод алгебраического сложения в решении систем показательных уравнений
• Решение системы, содержащей и показательное уравнение, и показательное неравенство
• Замена переменной при решении системы показательных уравнений

Цели урока

• Знать, как выглядят системы показательных уравнений и неравенств
• Уметь их решать методом подстановки, методом алгебраического сложения

Разминка

1.Решить уравнение:

а) $4^x=0,25$;                   б) ${128}^x=8$;                  в) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{5х}=1$.

 

2. Решить неравенство:
 

а) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{3x}<{\left(\frac{1}{5}\right)}^2$;     б) ${\pi }^{12}\le {\pi }^{4x}$.

 

3.    С помощью графиков решить неравенство:

 

а) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>\frac{x}{2}$;                    б) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x\le \frac{x}{2}$.

Решить систему:

а) $\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 4^{2x-3y}=1\end{array}\right.$

б) $\left\{\begin{array}{l}{2}^x-4\times 2^y=-62\\ 3\times 2^x+4\times 2^y=70\end{array}\right.$

в) $\left\{\begin{array}{l}{(0,2^x)}^y=0,008\\ 0,4^y=0,4^{3,5-x}\\ 2^x\times 0,5^y<1\end{array}\right.$

г) $\left\{\begin{array}{l}{3}^x-2^{2y}=17\\ 3^{\frac{x}{2}}+2^y=17\end{array}\right.$

Решение

а)  $\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 4^{2x-3y}=1\end{array}\right.$
 

Воспользуемся методом подстановки. Выразим из первого уравнения системы переменную x через y и подставим во второе уравнение:
 

$\left\{\begin{array}{l}x=1+y\\ 4^{2+2y-3y}=1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=1+y\\ 2-y=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$             

Ответ: (3;2).

б) $\left\{\begin{array}{l}{2}^x-4\times 2^y=-62\\ 3\times 2^x+4\times 2^y=70\end{array}\right.$
 

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Сложим почленно первое и второе уравнение системы, получим: $4\times 2^x=8$, откуда x=1. Найденное значение переменной x подставим в первое уравнение:
 

$2^1-4\times 2^y=-62$

$4\times 2^y=64$

$y=4$
 

Ответ: (1;4).

в) $\left\{\begin{array}{l}{(0,2^x)}^y=0,008\\ 0,4^y=0,4^{3,5-x}\\ 2^x\times 0,5^y<1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{(0,2^x)}^y=0,2^3\\ 0,4^y=0,4^{3,5-x}\\ 2^x\times 2^{-y}<1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}xy=3\\ y=3,5-x\\ x-y<0\end{array}\right.$
 

Подставим y из второго уравнения системы в первое:
 

$x(3,5-x)=3$

$2x^2-7x+6=0$

$x_1=2;x_2=1,5$

Найденные значения переменной x подставим во второе уравнение:

если x=2, то y=1,5; если x=1,5, то y=2. Так как по третьему условию системы разность x и y должна быть отрицательной, то x=1,5, y=2.

Ответ: (1,5; 2).

г)  $\left\{\begin{array}{l}{3}^x-2^{2y}=17\\ 3^{\frac{x}{2}}+2^y=17\end{array}\right.$       
 

$\left\{\begin{array}{l}{3}^x-{\left(2^y\right)}^2=17\\ {\left(3^x\right)}^{\frac{1}{2}}+2^y=17\end{array}\right.$
 

Пусть $3^x=U,2^y=V,U>0,V>0$. Тогда система уравнений примет вид:
 

 $\left\{\begin{array}{l}U-V^2=17\\ \sqrt{U}+V=17\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}U-V^2=17\\ \sqrt{U}=17-V\end{array}\right.$
 

Возведем второе уравнение системы во вторую степень при условии, что
 

$17-V\ge 0$, т.е. $V\le 17$.

$\left\{\begin{array}{l}U-V^2=17\\ U={(17-V)}^2\end{array}\right.$
 

Подставим полученное выражение вместо переменной $U$ в первое уравнение:
 

$\left\{\begin{array}{l}{(17-V)}^2-V^2=17\\ U={(17-V)}^2\end{array}\right.$
 

Решим отдельно первое уравнение: 
 

$(17-V-V)(17-V+V)=17$

$(17-2V)\times 17=17$

$17-2V=1$

$V=8$
 

Подставим найденной значение V во второе уравнение:
 

$U={(17-8)}^2$

$U=81$

Вернемся к исходным переменным: $3^x=81$, $2^y=8$. Значит, x=4, y=3.

Ответ: (4; 3).

Решить систему:

а) $\left\{\begin{array}{l}{3}^y-5^{x+1}=2\\ 5^x\times 3^y=135\end{array}\right.$;         

б) $\left\{\begin{array}{l}{\left({13}^x\right)}^y={13}^{-8}\\ {\left(\frac{3}{2}\right)}^x\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-y}=\frac{4}{9}\\ {\pi }^x>{\pi }^y\end{array}\right.$;

в) $\left\{\begin{array}{l}{2}^{x+1}-3^y=-1\\ 3^y-2^x=2\end{array}\right.$;

1. В чем заключается суть метода подстановки и метода алгебраического сложения при решении систем показательных уравнений и неравенств?