Логарифмы

Логарифмы

План урока

Введение понятия логарифма, основного логарифмического тождества
Решение заданий на вычисление значения логарифма
Решение заданий на нахождение области допустимых значений логарифмического выражения

Цели урока

Знать определение логарифма числа, основное логарифмического тождество
Уметь выполнять преобразования выражений с логарифмами, находить значения логарифмических выражений, область допустимых значений логарифмических выражений

Разминка

1. Как вы понимаете, что такое $n$ -ая степень числа $a$ ( $a^{n}$ )? Как называется $a$ ? Как называется n?

2. Какие ограничения накладываются на a, b в показательном уравнении $a^{x} = b$ ?

3. Сколько решений имеет показательное уравнение $a^{x} = b$ ?

4. Решить уравнение:

a) $2^{x} = 8$ ;

б) $3^{x} = \frac{1}{81}$ ;

в) ${(\frac{1}{2})}^{x} = 32$ ;

г) $5^{x} = 1$ ;

д) $4^{x} = - 4$ ;

e) $3^{x} = 80$ .

Как мы уже знаем, чтобы решить показательное уравнение, нужно исходное уравнение свести к тому, чтобы в обеих частях были одинаковые основания степени и затем приравнять их показатели. Но, при решении последнего уравнения, такой прием не удается. Число 80 не является никакой степенью числа 3. Введем новое понятие:

Логарифмом положительного числa b по основанию a, где $a > 0, a \neq 1$ , называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b:

$\log_{a} b = c a^{c} = b$ (1)

Тогда решением последнего уравнения $3^{x} = 80$ будет $x = \log_{3} 80$

Определение логарифма можно записать так:

$a^{\log_{a} b} = b .$ (2)

Равенство (2) называют основным логарифмическим тождеством . Оно имеет место при $a > 0, a \neq 1, b > 0 .$

Нахождение логарифма числа называется логарифмированием . Обратное ему действие, нахождение числа по его логарифму, — потенцированием .

Пример 1

Вычислить:

a) $\log_{3} 27$ ;

б) $\log_{3} \log_{5} 125$ ;

в) $\log_{4} 2$ ;

г) $\log_{6} 1$ ;

д) $\log_{4} \frac{1}{64}$ ;

е) $\log_{- 5} 4$ ;

ж) $\log_{2} 0$ ;

з) $15^{1 + \log_{15} (3)}$ ;

и) $\log_{3 \sqrt{2}} \frac{1}{18}$ ;

к) ${(8)}^{\log_{2} \frac{1}{3}}$ .

Решение

а) $\log_{3} 27$

Пусть $\log_{3} 27 = x$ , тогда по определению логарифма $3^{x} = 27,$ откуда x=3, значит $\log_{3} 27 = 3$ .

б) $\log_{3} \log_{5} 125$

Сначала вычислим значение внутреннего логарифма $\log_{5} 125 = 3$ . Тогда внешний логарифм $\log_{3} 3 = 1 .$

в) $\log_{4} 2 = \frac{1}{2}$ , т.к. $4^{\frac{1}{2}} = 2$ ;

г) $\log_{6} 1 = 0$ , т.к. $6^{0} = 1$ ;

д) $\log_{4} \frac{1}{64} = - 3, 4^{- 3} = \frac{1}{4^{3}} = \frac{1}{64}$ ;

е) $\log_{- 5} 4$

По определению логарифма $\log_{a} b$ на основание логарифма a накладывается ограничение, что $a > 0, a \neq 1$ . Здесь основание отрицательное, поэтому такой логарифм не существует.

ж) $\log_{2} 0$

Исходя из определения логарифма $\log_{a} b$ на b накладывается ограничение, что b>0. В данном выражении под знаком логарифма стоит нуль, значит, логарифм не существует.

з) $15^{1 + \log_{15} 3}$

Используя свойство степени, получим $15 \times 15^{\log_{15} 3} .$ По основному логарифмическому тождеству $15^{\log_{15} 3} = 3$ . Тогда $15 \times 15^{\log_{15} 3} = 45 .$

и) $\log_{3 \sqrt{2}} \frac{1}{18}$

Внесем 3 под корень: $\log_{\sqrt{18}} \frac{1}{18}$ . Пусть $\log_{\sqrt{18}} \frac{1}{18} = x .$ Тогда по определению логарифма ${\sqrt{18}}^{x} = \frac{1}{18}, 18^{\frac{1}{2} x} = 18^{- 1}, \frac{1}{2} x = - 1, x = - 2 .$

То есть $\log_{3 \sqrt{2}} \frac{1}{18} = - 2 .$

к) ${(8)}^{\log_{2} \frac{1}{3}}$

Пусть $\log_{2} \frac{1}{3} = x,$ нужно найти значение выражения $8^{x}$ . По определению логарифма $2^{x} = \frac{1}{3} .$

Тогда $8^{x} = {(2^{3})}^{x} = {(2^{x})}^{3} = {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27} .$ Получили, что $8^{\log_{2} \frac{1}{3}} = \frac{1}{27} .$

Ответ: а) 3; б) 1; в) 2; г) 1; д) $\frac{1}{64}$ ; е) не существует; ж) не существует; з) 45; и) -2;
к) $\frac{1}{27}$ .

Упражнение 1

Вычислить:

а) $\log_{6} 216$ ;

б) $\log_{3} \log_{7} 343$ ;

в) $\log_{2 \sqrt{3}} \frac{1}{12}$ ;

г) $\log_{\sqrt[6]{2}} 64$ ;

д) $4^{2 - \log_{4} 256}$ ;

е) $6^{\frac{2}{7} \log_{6} (8 \sqrt{2})}$ .

Пример 2

Выяснить, при каких значениях x выражение имеет смысл:

а) $\log_{3} \frac{x - 6}{x + 8}$ ;

б) $\log_{x + 1} (x^{2} - 5 x - 14)$ .

Решение

а) $\log_{3} \frac{x - 6}{x + 8}$ .

По определению $\log_{a} b$ имеет смысл, если $a > 0, a \neq 1, b > 0 .$ Здесь a=3>0. Тогда для того, чтобы найти ОДЗ этого выражения, осталось наложить лишь ограничение на b, т.е. $\frac{x - 6}{x + 8} > 0$ . Решив это неравенство, получим $x \in (- \infty; - 8) \cup (6; + \infty) .$

Ответ: $x \in (- \infty; - 8) \cup (6; + \infty) .$

б) $\log_{x + 1} (x^{2} - 5 x - 14)$

Решение

$\log_{a} b$ имеет смысл, если $a > 0, a \neq 1, b > 0 .$ Тогда

$\{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \\ x^{2} - 5 x - 14 > 0 & , \end{cases}$

$\{\begin{cases} x > - 1 \\ x \neq 0 \\ (x - 7) (x + 2) > 0 \end{cases}$

Решение последнего неравенства системы: $x \in (- \infty; - 2) \cup (7; + \infty) .$ Тогда решение системы: x>7.

Ответ: x>7.

Упражнение 2

Выяснить, при каких значениях x выражение имеет смысл:

a) $\log_{5} \frac{8 - 4 x}{x - 10}$ ;

б) $\log_{x + 2} (x - 4) .$

Контрольные вопросы

1. Приведите пример, когдa $\log_{a} b$ — рациональное число.

2. Приведите пример, когдa $\log_{a} b$ — иррациональное число.

Ответы

Упражнение 1

а) 3: б) 1; в) -2; г) 36; д) $\frac{1}{16}$ ; е) 2.

Упражнение 2

a) $x \in (2; 10);$

б) x>4.

Конспект урока: Логарифмы