Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Логарифмы

Логарифмы

Логарифмы

План урока

  • Введение понятия логарифма, основного логарифмического тождества
  • Решение заданий на вычисление значения логарифма
  • Решение заданий на нахождение области допустимых значений логарифмического выражения

Цели урока

  • Знать определение логарифма числа, основное логарифмического тождество
  • Уметь выполнять преобразования выражений с логарифмами, находить значения логарифмических выражений, область допустимых значений логарифмических выражений

Разминка

1. Как вы понимаете, что такое n-ая степень числа a (an)? Как называется a? Как называется n?

2. Какие ограничения накладываются на a, b в показательном уравнении ax=b?

3. Сколько решений имеет показательное уравнение ax=b?

4. Решить уравнение:
 

a) 2x=8  ;    

б) 3x=181

в) (12)x=32

г) 5x=1

д) 4x=-4

e) 3x=80.

 

Как мы уже знаем, чтобы решить показательное уравнение, нужно исходное уравнение свести к тому, чтобы в обеих частях были одинаковые основания степени и затем приравнять их показатели. Но, при решении последнего уравнения, такой прием не удается. Число 80 не является никакой степенью числа 3. Введем новое понятие:


Логарифмом  положительного числa b по основанию a, где a>0, a 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b:

 

logab=c     ac=b                     (1)


Тогда решением последнего уравнения 3x=80 будет x=log380

 

Определение логарифма можно записать так:

 

alogab=b.                       (2)

 

Равенство (2) называют  основным логарифмическим тождеством . Оно имеет место при a>0, a 1, b>0.

 

Нахождение логарифма числа называется  логарифмированием . Обратное ему действие, нахождение числа по его логарифму, —  потенцированием .


Пример 1

Вычислить:
 

a) log327;

б)log3log5125;

в)log42;

г)log61;

д)log4164;

е)log-54;

ж)log20;

з)151+log153;

и)log32118;

к)8log213.


Решение

 

а) log327

Пусть  log327=x, тогда по определению логарифма 3x=27, откуда x=3, значит log327=3.

 

б) log3log5125

Сначала вычислим значение внутреннего логарифма log5125=3. Тогда внешний логарифм  log33=1.

в) log42=12, т.к.  412=2;

г) log61=0, т.к. 60=1;

д) log4164=-3,   4-3=143=164;

е) log-54

По определению логарифма logab на основание логарифма a накладывается ограничение, что a>0, a 1. Здесь основание отрицательное, поэтому такой логарифм не существует.

 

ж) log20

Исходя из определения логарифма logab на b накладывается ограничение, что b>0. В данном выражении под знаком логарифма стоит нуль, значит, логарифм не существует.

 

з) 151+log153

Используя свойство степени, получим 15×15log153. По основному логарифмическому тождеству 15log153=3. Тогда 15×15log153=45.

 

и)log32118

Внесем 3 под корень: log18118. Пусть  log18118=x.Тогда по определению логарифма 18x=118,   1812x=18-1,   12x=-1,   x=-2.

То есть log32118=-2.

 

к) 8log213

Пусть log213=x, нужно найти значение выражения 8x. По определению логарифма 2x=13. 

Тогда 8x=(23)x=(2x)3=(13)3=127. Получили, что 8log213=127.

 

Ответ: а) 3; б) 1; в) 2;  г) 1;  д)164;  е) не существует;  ж) не существует;   з) 45; и) -2; 
к) 127.


Упражнение 1

Вычислить:
 

а) log6216;

б) log3log7343;

в) log23112;

г) log2664;

д) 42-log4256;

е) 627log682.


Пример 2

Выяснить, при каких значениях x выражение имеет смысл:

 

а) log3x-6x+8;

б) logx+1x2-5x-14.


Решение
 

а) log3x-6x+8.

По определению logab имеет смысл, если  a>0, a 1, b>0. Здесь a=3>0. Тогда для того, чтобы найти ОДЗ этого выражения, осталось наложить лишь ограничение на b, т.е.  x-6x+8>0. Решив это неравенство, получим x(-;-8)(6;+).

 

Ответ: x(-;-8)(6;+).

 

б) logx+1x2-5x-14

 

Решение
 

logab имеет смысл, если a>0, a 1, b>0. Тогда
 

x+1 >0 x+11 x2-5x-14>0, 

x>-1 x0 (x-7)(x+2)>0 
 

Решение последнего неравенства системы: x(-;-2)(7;+). Тогда решение системы: x>7.

 

Ответ:  x>7.


Упражнение 2

Выяснить, при каких значениях  x выражение имеет смысл:

a) log58-4xx-10;

б) logx+2x-4.


Контрольные вопросы

1. Приведите пример, когдa logab — рациональное число.

2. Приведите пример, когдa logab — иррациональное число.


Ответы

Упражнение 1

а) 3:        б) 1;    в) -2;       г) 36;    д) 116;       е) 2.

 

Упражнение 2

 

a) x(2;10);

б) x>4.


Предыдущий урок
Свойства логарифмов
Логарифмы
Следующий урок
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества
Тригонометрия
  • Имя существительное как часть речи

    Русский язык

  • Решение задач о движении тела под действием нескольких сил

    Физика

  • Пластический обмен в клетке. Биосинтез белка. Генетический код

    Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке