Видеоурок: Санкт-Петербург — новый «хозяйственный узел» России. Санкт-Петербург — «вторая столица» России

Десятичные и натуральные логарифмы

План урока

Введение понятий десятичный логарифм, натуральный логарифм.
Введение формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Решение заданий на использование свойств логарифмов, формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Цели урока

Знать обозначение десятичного и натурального логарифмов, формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Уметь использовать формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию при решении различного рода заданий.

Разминка

1.Прологарифмируйте выражение по основанию $7 : 5 a^{4} \sqrt[5]{b^{3}} .$

2.Вычислить

а) $\log_{144} 168 - \log_{144} 14;$

б) $\log_{\sqrt{2}} 12 - \log_{2} 9 .$

3. Найти x, если $\log_{2} x = \log_{2} 5^{2} - \log_{2} {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} + \log_{2} 0, 2 .$

Для того, чтобы вычислять значения логарифмов, составлены специальные таблицы. Также логарифмы можно вычислять с помощью микрокалькулятора. И в том, и в другом случае находят только десятичные и натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и обозначают lgb вместо $\log_{10} b$ .

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, гдe e — иррациональное число, приближенное значение которого 2,7. Обозначают lnb вместо $\log_{e} b$ .

Рис. 1

Для вычислений десятичных и натуральных логарифмов на микрокалькуляторе существуют клавиши log и ln (см. рис. 1).

А как же вычислять значения других логарифмов? Для этого используют формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:

$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ (1)

где $a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0, c \neq 1 .$

Кроме формулы (1) существуют частные случаи формулы перехода:

$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$ , где $a > 0, a \neq 1, b > 0, b \neq 1 .$ (2)

$\log_{a^{α}} b^{β} = \frac{β}{α} \log_{a} b$ , где $a > 0, a \neq 1, b > 0, α \neq 0 .$ (3)

Пример 1

Зная, что $l g 2 \approx 0, 301, l g 3 \approx 0, 477, l g 5 \approx 0, 699$ найти значение выражения с точностью до сотых:

а) $\log_{5} 0, 25;$

б) $\log_{2} 25 + \log_{5} 0, 5 .$

Решение

а) $\log_{5} 0, 25 = \log_{5} \frac{1}{4} = \log_{5} 2^{- 2} = - 2 \log_{5} 2 .$

Перейдем к основанию 10 по формуле (1): $- 2 \log_{5} 2 = - 2 \times \frac{l g 2}{l g 5} \approx - 2 \times \frac{0, 301}{0, 699} \approx - 0, 86 .$

б) $\log_{2} 25 + \log_{5} 0, 5 = 2 \log_{2} 5 + \log_{5} 2^{- 1} = 2 \log_{2} 5 - \log_{5} 2 .$

Воспользуемся формулой (1) для перехода к основанию $10 : 2 \times \frac{l g 5}{l g 2} - \frac{l g 2}{l g 5} .$

Подставив вместо lg2 и lg5 их значения, получим $\log_{2} 25 + \log_{5} 0, 5 \approx 4, 21 .$

Ответ: а) -0,86; б) 4,21.

Пример 2

Решите уравнения:

а) $\log_{3} x = \log_{3} 2 - 4 \log_{9} 5;$

б) ${\log_{3}}^{2} x - \log_{\sqrt{3}} x = \log_{5} 0, 2;$

в) $\log_{5} x^{4} - 3 \log_{\frac{1}{5}} x = 14$ .

Решение

a) $\log_{3} x = \log_{3} 2 - 4 \log_{9} 5 .$

ОДЗ: x>0.

Упростим правую часть уравнения:
$\log_{3} 2 - 4 \log_{9} 5 = \log_{3} 2 - 4 \log_{3^{2}} 5 = \log_{3} 2 - \frac{4}{2} \log_{3} 5 = \log_{3} 2 - 2 \log_{3} 5 = \log_{3} 2 - - \log_{3} 25 = \log_{3} \frac{2}{25} .$

Тогда исходное уравнение перепишем в виде: $\log_{3} x = \log_{3} \frac{2}{25},$ откуда делаем вывод, что $x = \frac{2}{25}$ .

Ответ: $\frac{2}{25}$

б) ${\log_{3}}^{2} x - \log_{\sqrt{3}} x = \log_{5} 0, 2 .$

ОДЗ: x>0.

${\log_{3}}^{2} x - \log_{3^{\frac{1}{2}}} x = \log_{5} \frac{1}{5}$

${\log_{3}}^{2} x - 2 \log_{3} x + \log_{5} 5 = 0$

${\log_{3}}^{2} x - 2 \log_{3} x + 1 = 0$ .

Пусть $\log_{3} x = t,$ тогда уравнение примет вид $t^{2} - 2 t + 1 = 0, ({t - 1)}^{2} = 0, t = 1 .$

Вернемся к исходной переменной: $\log_{3} x = 1, x = 3 .$

Ответ: 3.

в) $\log_{5} x^{4} - 3 \log_{\frac{1}{5}} x = 14$

ОДЗ: x>0.

$4 \log_{5} x - 3 \log_{5^{- 1}} x = 14$

$4 \log_{5} x + 3 \log_{5} x = 14$

$7 \log_{5} x = 14$

$\log_{5} x = 2$

$x = 25$

Ответ: 25.

Упражнение 1

Выразите данные логарифмы через логарифм по основанию 2; по основанию 3

а) $\log_{128} 3$ ; б) $\log_{\sqrt[5]{4}} 7$ .

Упражнение 2

Решите уравнения:

а) $\log_{2} x - 2 \log_{x} 2 = 1;$

б) $\log_{6} x^{5} + 2 \log_{\frac{1}{6}} x = 9 .$

Контрольные вопросы:

Какое(ие) из приведенных соотношений верны?

а) $\frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 2} = \log_{3} 5 - 2$ ;

б) $\frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 2} = \log_{2} 5$ ;

в) $\frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 2} = \log_{5} 2$ ;

г) $\frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 2} = \log_{3} \frac{5}{2}$ .

Ответы

Упражнение 1

а) $\frac{1}{7} \log_{2} 3; \frac{1}{7 \log_{3} 2};$

б) $\frac{5}{2} \log_{2} 7; \frac{5 \log_{3} 7}{2 \log_{3} 2}$ .

Упражнение 2

а) $\frac{1}{2}; 4;$

б) 216.

Конспект урока: Десятичные и натуральные логарифмы

Логарифмы