Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Свойства логарифмов

План урока

Формулировка свойств логарифмов
Решение заданий на применение свойств логарифмов

Цели урока

Знать свойства логарифмов
Уметь применять их при преобразовании выражений с логарифмами

Разминка

1.Представить в виде степени:

a) $m^{5} \times m^{11};$

б) ${(m^{2})}^{13};$

в) $m^{7} : m^{4};$

г) $\frac{m^{9} \times m^{- 5}}{m^{- 7}} .$

2.Вычислить:

a) $4^{\log_{4} 8};$

б) $4^{1 + \log_{4} 8};$

в) $4^{3 \log_{2} 3}$ .

3.Решить уравнение:

a) $\log_{3} x = 4;$

б) $\log_{3} x = - 4;$

в) $\log_{3} x = \frac{1}{4};$

Для того, чтобы вычислять значения логарифмов, решать уравнения, преобразовывать выражения, используют свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть $a > 0, a \neq 1, x > 0, y > 0, p \in R .$ Тогда

1. $\log_{a} a = 1;$

2. $\log_{a} 1 = 0;$

3. $\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y;$

4. $\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$ ;

5. $\log_{a} x^{p} = p \times \log_{a} x$ ;

6. $\log_{a^{p}} x = \frac{1}{p} \log_{a} x .$

Пример 1

Вычислить:

а) $\log_{0, 5} 1$ ;

б) $\log_{15} 3 + \log_{15} 5$ ;

в) $\log_{8} 32 - \log_{8} 4$ ;

г) $\log_{15} \sqrt[3]{225}$ ;

д) $\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{243}}$ ;

е) $5^{2 + \log_{5} 3}$ ;

ж) $\log_{8} \log_{4} \log_{2} 16$ ;

з) $\log_{3} 15 - \log_{3} \frac{5}{9} + \log_{3} \frac{1}{81}$ ;

и) $\log_{7} \frac{1}{7} + 9^{\log_{3} 7}$ ;

к) $\frac{\log_{6} 216}{\log_{7} 343}$ .

Решение

а) $\log_{0, 5} 1$ .

По определению логарифм это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма. Чтобы получить 1, основание 0,5 нужно возвести в нулевую степень, поэтому $\log_{0, 5} 1 = 0 .$

б) $\log_{15} 3 + \log_{15} 5$ .

По свойству 3 сумма логарифмов нескольких чисел равна логарифму произведения этих чисел, т.е. $\log_{15} 3 + \log_{15} 5 = \log_{15} (3 \times 5) = \log_{15} 15 .$ А это в свою очередь по свойству 1 равно 1, $\log_{15} 15 = 1$ .

в) $\log_{8} 32 - \log_{8} 4$ .

Воспользуемся свойством 4: разность логарифмов нескольких чисел равна логарифму частного этих чисел, т.е. $\log_{8} 32 - \log_{8} 4 = \log_{8} \frac{32}{4} = \log_{8} 8 = 1$ .

г) $\log_{15} \sqrt[3]{225}$ .

Перепишем это выражение в виде $\log_{15} 225^{\frac{1}{3}} .$ Применим свойство степени и свойство 5 логарифмов: $\log_{15} {(15^{2})}^{\frac{1}{3}} = \log_{15} 15^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \log_{15} 15 = \frac{2}{3} .$

д) $\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{243}} = \log_{3} \frac{1}{{(3^{5})}^{\frac{1}{4}}} = \log_{3} 1 - \log_{3} 3^{\frac{5}{4}} = 0 - \frac{5}{4} = - 1 \frac{1}{4} .$

е) $5^{2 + \log_{5} 3} = 5^{2} \times 5^{\log_{5} 3} = 25 \times 3 = 75$

ж) $\log_{8} \log_{4} \log_{2} 16$ .

Начнем вычислять значение выражения с внутреннего логарифма, постепенно переходя к внешнему: $\log_{8} \log_{4} 4 = \log_{8} 1 = 0$ .

з) $\log_{3} 15 - \log_{3} \frac{5}{9} + \log_{3} \frac{1}{81} = \log_{3} \frac{15}{\frac{5}{9}} + \log_{3} \frac{1}{81} = \log_{3} 27 + \log_{3} \frac{1}{81} = 3 - 4 = - 1$ .

и) $\log_{7} \frac{1}{7} + 9^{\log_{3} 7} = - 1 + 3^{2 \log_{3} 7} = - 1 + 3^{\log_{3} 7^{2}} = - 1 + 49 = 48$ .

к) $\frac{\log_{6} 216}{\log_{7} 343} = \frac{\log_{6} 6^{3}}{\log_{7} 7^{3}} = \frac{3 \log_{6} 6}{3 \log_{7} 7} = 1$ .

Ответ: а) 0; б) 1; в) 1; г) $\frac{2}{3}$ ; д) $- 1 \frac{1}{4}$ ; е) 75; ж) 0; з) -1; и) 48; к) 1.

Упражнение 1

Вычислить:

а) $\log_{3} \frac{1}{6} - \log_{3} 40, 5;$

б) $2 \log_{10} 4 - \frac{1}{2} \log_{10} 2, 56;$

в) $\frac{5}{3} \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[5]{8} - 3 \log_{\frac{2}{3}} 3 + \frac{1}{2} \log_{\frac{2}{3}} 36 .$

Пример 2

Зная, что $\log_{4} a = 16, \log_{4} b = 9,$ найти:

a) $\log_{4} (a b^{2});$

б) $\log_{4} \frac{\sqrt{b}}{a^{2}} .$

Решение

a) $\log_{4} (a b^{2}) = \log_{4} a + \log_{4} b^{2} = \log_{4} a + 2 \log_{4} b = 16 + 2 \times 9 = 34;$

б) $\log_{4} \frac{\sqrt{b}}{a^{2}} = \log_{4} \sqrt{b} - \log_{4} a^{2} = \frac{1}{2} \log_{4} b - 2 \log_{4} a = \frac{1}{2} \times 9 - 2 \times 16 = 4, 5 - 32 =$

$= - 27, 5$ .

Ответ: а) 34; б) -27,5.

Упражнение 2

Зная, что $\log_{3} x = 8, \log_{3} y = 2,$ найти:

а) $\log_{3} (x^{3} y^{2});$

б) $\log_{3} \frac{\sqrt[5]{x}}{y^{3}} .$

Пример 3

Каждое из чисел 1; 0; $- \frac{3}{4}$ записать в виде некоторого логарифма по основанию 5.

Решение

$1 = \log_{5} 5;$

$0 = \log_{5} 1;$

$- \frac{3}{4} = - \frac{3}{4} \times \log_{5} 5 = \log_{5} 5^{- \frac{3}{4}} = \log_{5} \frac{1}{\sqrt[4]{125}}$ .

Ответ: $\log_{5} 5; \log_{5} 1; \log_{5} \frac{1}{\sqrt[4]{125}} .$

Упражнение 3

Каждое из чисел 0; -3; $\frac{2}{3}$ записать в виде некоторого логарифма по основанию 8.

Контрольные вопросы

Пусть x, y, z — положительные числа, $x \neq 1 .$ Какие утверждения будут верными:

а) $\log_{x} y + \log_{x} z = \log_{x} (y + z);$

б) $\log_{x} y + \log_{x} z = \log_{x} (y z);$

в) $\log_{x} y - \log_{x} z = \log_{x} \frac{y}{z};$

г) $\log_{x} y - \log_{x} z = \log_{x} (y - z);$

д) $\log_{x} (y z) = \log_{x} y \times \log_{x} z;$

е) $- 3 \log_{x} y = \log_{x} \frac{1}{y^{3}} .$

Ответы

Упражнение 1

а) -5; б) 1; в) 2.

Упражнение 2

а) 28; б) $- 4 \frac{2}{5} .$ .

Упражнение 3

$\log_{8} 1; \log_{8} \frac{1}{512}; \log_{8} 4 .$

Конспект урока: Свойства логарифмов

Логарифмы