Свойства логарифмов

План урока

Формулировка свойств логарифмов
Решение заданий на применение свойств логарифмов

Цели урока

Знать свойства логарифмов
Уметь применять их при преобразовании выражений с логарифмами

Разминка

1.Представить в виде степени:

a) $m^{5} \times m^{11};$

б) ${(m^{2})}^{13};$

в) $m^{7} : m^{4};$

г) $\frac{m^{9} \times m^{- 5}}{m^{- 7}} .$

2.Вычислить:

a) $4^{\log_{4} 8};$

б) $4^{1 + \log_{4} 8};$

в) $4^{3 \log_{2} 3}$ .

3.Решить уравнение:

a) $\log_{3} x = 4;$

б) $\log_{3} x = - 4;$

в) $\log_{3} x = \frac{1}{4};$

Для того, чтобы вычислять значения логарифмов, решать уравнения, преобразовывать выражения, используют свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть $a > 0, a \neq 1, x > 0, y > 0, p \in R .$ Тогда

1. $\log_{a} a = 1;$

2. $\log_{a} 1 = 0;$

3. $\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y;$

4. $\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$ ;

5. $\log_{a} x^{p} = p \times \log_{a} x$ ;

6. $\log_{a^{p}} x = \frac{1}{p} \log_{a} x .$

Пример 1

Вычислить:

а) $\log_{0, 5} 1$ ;

б) $\log_{15} 3 + \log_{15} 5$ ;

в) $\log_{8} 32 - \log_{8} 4$ ;

г) $\log_{15} \sqrt[3]{225}$ ;

д) $\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{243}}$ ;

е) $5^{2 + \log_{5} 3}$ ;

ж) $\log_{8} \log_{4} \log_{2} 16$ ;

з) $\log_{3} 15 - \log_{3} \frac{5}{9} + \log_{3} \frac{1}{81}$ ;

и) $\log_{7} \frac{1}{7} + 9^{\log_{3} 7}$ ;

к) $\frac{\log_{6} 216}{\log_{7} 343}$ .

Решение

а) $\log_{0, 5} 1$ .

По определению логарифм это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма. Чтобы получить 1, основание 0,5 нужно возвести в нулевую степень, поэтому $\log_{0, 5} 1 = 0 .$

б) $\log_{15} 3 + \log_{15} 5$ .

По свойству 3 сумма логарифмов нескольких чисел равна логарифму произведения этих чисел, т.е. $\log_{15} 3 + \log_{15} 5 = \log_{15} (3 \times 5) = \log_{15} 15 .$ А это в свою очередь по свойству 1 равно 1, $\log_{15} 15 = 1$ .

в) $\log_{8} 32 - \log_{8} 4$ .

Воспользуемся свойством 4: разность логарифмов нескольких чисел равна логарифму частного этих чисел, т.е. $\log_{8} 32 - \log_{8} 4 = \log_{8} \frac{32}{4} = \log_{8} 8 = 1$ .

г) $\log_{15} \sqrt[3]{225}$ .

Перепишем это выражение в виде $\log_{15} 225^{\frac{1}{3}} .$ Применим свойство степени и свойство 5 логарифмов: $\log_{15} {(15^{2})}^{\frac{1}{3}} = \log_{15} 15^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \log_{15} 15 = \frac{2}{3} .$

д) $\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{243}} = \log_{3} \frac{1}{{(3^{5})}^{\frac{1}{4}}} = \log_{3} 1 - \log_{3} 3^{\frac{5}{4}} = 0 - \frac{5}{4} = - 1 \frac{1}{4} .$

е) $5^{2 + \log_{5} 3} = 5^{2} \times 5^{\log_{5} 3} = 25 \times 3 = 75$

ж) $\log_{8} \log_{4} \log_{2} 16$ .

Начнем вычислять значение выражения с внутреннего логарифма, постепенно переходя к внешнему: $\log_{8} \log_{4} 4 = \log_{8} 1 = 0$ .

з) $\log_{3} 15 - \log_{3} \frac{5}{9} + \log_{3} \frac{1}{81} = \log_{3} \frac{15}{\frac{5}{9}} + \log_{3} \frac{1}{81} = \log_{3} 27 + \log_{3} \frac{1}{81} = 3 - 4 = - 1$ .

и) $\log_{7} \frac{1}{7} + 9^{\log_{3} 7} = - 1 + 3^{2 \log_{3} 7} = - 1 + 3^{\log_{3} 7^{2}} = - 1 + 49 = 48$ .

к) $\frac{\log_{6} 216}{\log_{7} 343} = \frac{\log_{6} 6^{3}}{\log_{7} 7^{3}} = \frac{3 \log_{6} 6}{3 \log_{7} 7} = 1$ .

Ответ: а) 0; б) 1; в) 1; г) $\frac{2}{3}$ ; д) $- 1 \frac{1}{4}$ ; е) 75; ж) 0; з) -1; и) 48; к) 1.

Упражнение 1

Вычислить:

а) $\log_{3} \frac{1}{6} - \log_{3} 40, 5;$

б) $2 \log_{10} 4 - \frac{1}{2} \log_{10} 2, 56;$

в) $\frac{5}{3} \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[5]{8} - 3 \log_{\frac{2}{3}} 3 + \frac{1}{2} \log_{\frac{2}{3}} 36 .$

Пример 2

Зная, что $\log_{4} a = 16, \log_{4} b = 9,$ найти:

a) $\log_{4} (a b^{2});$

б) $\log_{4} \frac{\sqrt{b}}{a^{2}} .$

Решение

a) $\log_{4} (a b^{2}) = \log_{4} a + \log_{4} b^{2} = \log_{4} a + 2 \log_{4} b = 16 + 2 \times 9 = 34;$

б) $\log_{4} \frac{\sqrt{b}}{a^{2}} = \log_{4} \sqrt{b} - \log_{4} a^{2} = \frac{1}{2} \log_{4} b - 2 \log_{4} a = \frac{1}{2} \times 9 - 2 \times 16 = 4, 5 - 32 =$

$= - 27, 5$ .

Ответ: а) 34; б) -27,5.

Упражнение 2

Зная, что $\log_{3} x = 8, \log_{3} y = 2,$ найти:

а) $\log_{3} (x^{3} y^{2});$

б) $\log_{3} \frac{\sqrt[5]{x}}{y^{3}} .$

Пример 3

Каждое из чисел 1; 0; $- \frac{3}{4}$ записать в виде некоторого логарифма по основанию 5.

Решение

$1 = \log_{5} 5;$

$0 = \log_{5} 1;$

$- \frac{3}{4} = - \frac{3}{4} \times \log_{5} 5 = \log_{5} 5^{- \frac{3}{4}} = \log_{5} \frac{1}{\sqrt[4]{125}}$ .

Ответ: $\log_{5} 5; \log_{5} 1; \log_{5} \frac{1}{\sqrt[4]{125}} .$

Упражнение 3

Каждое из чисел 0; -3; $\frac{2}{3}$ записать в виде некоторого логарифма по основанию 8.

Контрольные вопросы

Пусть x, y, z — положительные числа, $x \neq 1 .$ Какие утверждения будут верными:

а) $\log_{x} y + \log_{x} z = \log_{x} (y + z);$

б) $\log_{x} y + \log_{x} z = \log_{x} (y z);$

в) $\log_{x} y - \log_{x} z = \log_{x} \frac{y}{z};$

г) $\log_{x} y - \log_{x} z = \log_{x} (y - z);$

д) $\log_{x} (y z) = \log_{x} y \times \log_{x} z;$

е) $- 3 \log_{x} y = \log_{x} \frac{1}{y^{3}} .$

Ответы

Упражнение 1

а) -5; б) 1; в) 2.

Упражнение 2

а) 28; б) $- 4 \frac{2}{5} .$ .

Упражнение 3

$\log_{8} 1; \log_{8} \frac{1}{512}; \log_{8} 4 .$

Конспект урока: Свойства логарифмов

Логарифмы