Конспект урока: Целые и рациональные числа. Действительные числа

В начале изучения школьного курса математики произошло знакомство с числами, которые применяются при счете предметов, т.е. числами 1,2,3……, и называли их натуральными числами. В результате сложения, умножения натуральных чисел всегда получается натуральное число. Другими словами, множество $N=\left\{1;2;3;\dots \right\}$ натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Но, операции вычитания и деления на множестве N не всегда выполнимы. Например, 6 – 6 = 0, 8 – 13 = –5, числа 0 и –5 не являются натуральными числами.

Так, результат вычитания двух равных чисел приводит к понятию 0 и введению множества целых неотрицательных чисел $Z_0=\left\{0;1;2;3;\dots \right\}$, при этом натуральные числа называют целыми положительными числами. Для того, чтобы была выполнима операция вычитания, вводят понятие отрицательных целых чисел как чисел, противоположных натуральным. Таким образом, получают множество целых чисел $Z=\left\{\dots -2;-1;0;1;2;\dots .\right\}$. Множество натуральных чисел является частью множества целых чисел. Это можно описать так $N\subset Z$.

Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, отличное от нуля, к множеству целых чисел добавляют множество всех положительных и отрицательных обыкновенных дробей и получают множество рациональных чисел

$Q=\left\{\frac{m}{n}, где m\in Z,n\in N\right\}$.

В результате сложения, вычитания, умножения, деления (на любое число, кроме 0), рациональных чисел всегда получается рациональное число.

Заметим, $N\subset Z\subset Q$.

Каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби. 

Если рациональное число можно представить в виде $\frac{m}{{10}^n}$ где $m\in Z,n\in N$, то его же можно записать и в виде конечной десятичной дроби. Например, $\frac{4}{100}=0,04$, $\frac{50}{10000}=0,005$, $\frac{4}{5}=\frac{4\times 2}{5\times 2}=0,8$. Напомним, к виду $\frac{m}{{10}^n}$ можно привести дробь, у которой знаменатель в качестве простых делителей имеет только числа 2 и 5. 

Бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр, называется бесконечной периодической, а повторяющийся набор цифр –  периодом дроби. Например,  0,6666…. = 0,(6) и читается «нуль целых и шесть в периоде», а 2,46723723.. = 2,46(723) и читается «две целых, сорок шесть сотых и семьсот двадцать три в периоде».

Записать рациональные числа в виде бесконечной периодической десятичной дроби:

а) натуральное число 36;

б) целое число –30;

в) обыкновенная дробь $\frac{43}{10}$;

г) обыкновенная дробь $-\frac{26}{15}$.

Решение
 

а) 36 = 36,00.. = 36,(0);

б) –30 = –30,00.. = –30,(0);

в) $\frac{43}{10}=4,3000..=4,3\left(0\right)$;

г) Воспользуемся алгоритмом деления в столбик

Получили,  $-\frac{26}{15}=-1,7\left(3\right)$.

Ответ: а) 36,(0);    б) –30,(0);   в) $4,3\left(0\right)$;    г) $-1,7\left(3\right)$.

Какое из чисел $\frac{1}{3}; 20\frac{5}{7}; \frac{8}{21}; \frac{3}{16}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби? Представьте это число в данном виде.

Какое из чисел $\frac{3}{4};\frac{6}{25}; \frac{4}{9}$ можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби? Представьте это число в данном виде.

Вообще, при делении целого числа $m$ на натуральное число $n$ на некотором шаге остаток от деления может стать равным нулю или остатки начнут повторяться, т.к. каждый из остатков меньше $n$. Тогда начинают повторяться и цифры частного.

Верно и обратное утверждение: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Записать бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной:

а) 1,6(48);

б) 2,(183)

Решение
 

а) Пусть $x=1,6\left(48\right)$, т.е.  $x=1,64848$…
 

1. Умножим выражение на ${10}^n$, где n – количество десятичных знаков в записи этой дроби до периода:

        $10x=16,4848\dots$ (1)

2.  Умножим полученное выражение на ${10}^k$, где k – количество цифр в периоде, т.е. в данном случае на 100: 

              $1000x=1648,48\dots$ (2) 

3. Вычтем из равенства (2) равенство (1):

       $\_ 1000x=1648,48\dots$

        $10x=16,4848\dots$
 

            $990x=1632$
 

            $x=\frac{1632}{990}=\frac{272}{165}=1\frac{107}{165}$.
 

Итак, $1,6\left(48\right)=1 \frac{107}{165}$.
 

б) Пусть $x=2,\left(183\right)$, т.е.  $x=2,183183\dots$
 

1. Умножим выражение на ${10}^k$, где k – количество цифр в периоде, т.е. в данном случае на 1000: 

        $1000x=2183,183\dots$ (3) 

2. Вычтем из равенства (3) исходное выражение
 

           $\_ 1000x=2183,183\dots$

                      $x=2,183183\dots$
 

          $999x=2181$
 

         $x=\frac{2181}{999}=\frac{727}{333}=2 \frac{61}{333}$.

Получили, $2,\left(183\right)=2 \frac{61}{333}$.

Ответ: а) $1\frac{107}{165}$;       б) $2 \frac{61}{333}$.

Представить бесконечную десятичную периодическую дробь в виде  обыкновенной:

а) 0,(3);               б) 1,(65);               в) -8,12(4);                   г)16,1(382)

Итак:
 

1. Множество N натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.
2. Множество Z целых чисел состоит из множества целых неотрицательных чисел и множества чисел, противоположных натуральным.
3. Множество Q рациональных чисел состоит из множества всех целых чисел и множества всех положительных и отрицательных дробей.
4. $N\subset Z\subset Q$.
5. Каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное утверждение.

1. Множества каких чисел вам известны? Приведите примеры.
2. Что такое периодическая дробь? Как ее записать в виде обыкновенной дроби?
3. Приведите пример бесконечной периодической десятичной дроби с тремя цифрами в периоде.
4. Сколько рациональных чисел расположено в $\left[2,3; 2,4\right]$?