[header]Целые и рациональные числа[/header]
[flex column='true'][row title='План урока']
- Расширение множества N натуральных чисел до множества Z целых чисел и множества Q рациональных чисел
- Запись рациональных чисел в виде бесконечной периодической десятичной дроби
- Запись бесконечных периодических десятичных дробей в виде обыкновенных дробей
[/row][row title='Цели урока']
- Знать, что такое натуральное число, целое число, рациональное число, периодическая дробь, период
- Уметь записывать конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби в виде обыкновенных дробей и наоборот
[/row][row title='Разминка' final]
- Выполнить действия: 1) ; 2) ; 3) .
- Записать обыкновенные дроби в виде смешанного числа: 1) ; 2) .
[/row][/flex]
В начале изучения школьного курса математики произошло знакомство с числами, которые применяются при счете предметов, т.е. числами 1,2,3……, и называли их натуральными числами. В результате сложения, умножения натуральных чисел всегда получается натуральное число. Другими словами, множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Но, операции вычитания и деления на множестве N не всегда выполнимы. Например, 6 – 6 = 0, 8 – 13 = –5, числа 0 и –5 не являются натуральными числами.
Так, результат вычитания двух равных чисел приводит к понятию 0 и введению множества целых неотрицательных чисел , при этом натуральные числа называют целыми положительными числами. Для того, чтобы была выполнима операция вычитания, вводят понятие отрицательных целых чисел как чисел, противоположных натуральным. Таким образом, получают множество целых чисел . Множество натуральных чисел является частью множества целых чисел. Это можно описать так .
Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, отличное от нуля, к множеству целых чисел добавляют множество всех положительных и отрицательных обыкновенных дробей и получают множество рациональных чисел
.
В результате сложения, вычитания, умножения, деления (на любое число, кроме 0), рациональных чисел всегда получается рациональное число.
Заметим, .
Каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Если рациональное число можно представить в виде где , то его же можно записать и в виде конечной десятичной дроби. Например, , , . Напомним, к виду можно привести дробь, у которой знаменатель в качестве простых делителей имеет только числа 2 и 5.
Бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр, называется бесконечной периодической, а повторяющийся набор цифр – периодом дроби. Например, 0,6666…. = 0,(6) и читается «нуль целых и шесть в периоде», а 2,46723723.. = 2,46(723) и читается «две целых, сорок шесть сотых и семьсот двадцать три в периоде».
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 1
[/section]
Записать рациональные числа в виде бесконечной периодической десятичной дроби:
а) натуральное число 36;
б) целое число –30;
в) обыкновенная дробь ;
г) обыкновенная дробь .
[line][/line]
Решение
а) 36 = 36,00.. = 36,(0);
б) –30 = –30,00.. = –30,(0);
в) ;
г) Воспользуемся алгоритмом деления в столбик
![](https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/qakyT4qMYFaO_image.png)
Получили, .
Ответ: а) 36,(0); б) –30,(0); в) ; г) .
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 1
[/section]
Какое из чисел можно представить в виде конечной десятичной дроби? Представьте это число в данном виде.
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 2
[/section]
Какое из чисел можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби? Представьте это число в данном виде.
[line][/line]
Вообще, при делении целого числа на натуральное число на некотором шаге остаток от деления может стать равным нулю или остатки начнут повторяться, т.к. каждый из остатков меньше . Тогда начинают повторяться и цифры частного.
Верно и обратное утверждение: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 2
[/section]
Записать бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной:
а) 1,6(48);
б) 2,(183)
[line][/line]
Решение
а) Пусть , т.е. …
1. Умножим выражение на , где n – количество десятичных знаков в записи этой дроби до периода:
(1)
2. Умножим полученное выражение на , где k – количество цифр в периоде, т.е. в данном случае на 100:
(2)
3. Вычтем из равенства (2) равенство (1):
.
Итак, .
б) Пусть , т.е.
1. Умножим выражение на , где k – количество цифр в периоде, т.е. в данном случае на 1000:
(3)
2. Вычтем из равенства (3) исходное выражение
.
Получили, .
Ответ: а) ; б) .
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 3
[/section]
Представить бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной:
а) 0,(3); б) 1,(65); в) -8,12(4); г)16,1(382)
[line][/line]
Итак:
- Множество N натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.
- Множество Z целых чисел состоит из множества целых неотрицательных чисел и множества чисел, противоположных натуральным.
- Множество Q рациональных чисел состоит из множества всех целых чисел и множества всех положительных и отрицательных дробей.
- .
- Каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное утверждение.
[line][/line]
[section icon='question']
Контрольные вопросы
[/section]
- Множества каких чисел вам известны? Приведите примеры.
- Что такое периодическая дробь? Как ее записать в виде обыкновенной дроби?
- Приведите пример бесконечной периодической десятичной дроби с тремя цифрами в периоде.
- Сколько рациональных чисел расположено в ?
[line][/line]
[flex column='true'][row title='Ответы' final]
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 3
а) ; б) ; в) ; г) .
[/row][/flex]
[line][/line]