Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Логарифмическая функция, её свойства и график

План урока

Введение понятия логарифмической функции
Основные свойства логарифмической функции
Решение задач на применение свойств логарифмической функции

Цели урока

Знать, что такое логарифмическая функция, ее график, основные свойства
Уметь строить график логарифмической функции в зависимости от ее основания, применять свойства при решении задач

Разминка

1.При каких значениях $x$ выражение имеет смысл:

а) $\log_{0, 5} x$ ;

б) $0, 8^{x}$ ;

в) $\log_{x} 9$ ;

г) $\log_{5} x^{2}$ .

2.Найти $x,$ если:

а) $\ln x = - 4;$

б) $l g x = 1;$

в) $l g x = \frac{1}{3} .$

3.Возрастающей или убывающей является функция y=f(x) на некотором промежутке, если на нем для любых $x_{1} > x_{2}$ выполняется

а) $f (x_{1}) > f (x_{2});$

б) $f (x_{1}) < f (x_{2});$

Логарифмической функцией называется функция вида $y = \log_{a} x,$ где $a \in R, a > 0, a \neq 1 .$

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения – множество всех положительных чисел (x>0). Следует из того, что выражение $y = \log_{a} x$ имеет смысл только при $x > 0$ .

2. Множество значений – множество R всех действительных чисел. Следует из того, что уравнение $\log_{a} x = b$ имеет корень для любого действительного b и положительного x.

3. Функция не является ограниченной. Следует из предыдущего свойства.

4. Если a>1, то функция $y = \log_{a} x$ возрастает на промежутке $(0; + \infty)$ ; если
0 < a < 1 , то она убывает на этом промежутке.

5. Если a > 1, то логарифмическая функция принимает положительные значения при x > 1 и отрицательные при $x \in (0; 1) .$ Если 0 < a < 1, то она принимает положительные значения при $x \in (0; 1),$ а отрицательные при x > 1.

Кроме рассмотренных свойств логарифмической функции имеют место следующие утверждения, которые применяются при решении уравнений и неравенств с логарифмами:

У т в е р ж д е н и е 1. Если a > 1 и $\log_{a} x_{1} < \log_{a} x_{2}$ , где $x_{1}, x_{2}$ - положительные числа, то $x_{1} < x_{2} .$ Если 0 < a < 1 и $\log_{a} x_{1} < \log_{a} x_{2}$ , где $x_{1}, x_{2}$ - положительные числа, то $x_{1} > x_{2} .$

У т в е р ж д е н и е 2. Если $\log_{a} x_{1} = \log_{a} x_{2}$ , где $x_{1}, x_{2}$ - положительные числа, $a > 0, a \neq 1,$ то $x_{1} = x_{2} .$

Иными словами: если основание логарифма больше 1, то при решении неравенства с логарифмами знак неравенства сохраняется, если основание находится в промежутке (0;1), то знак неравенства меняется на противоположный.

Графики логарифмической функции $y = \log_{a} x,$ в зависимости от основания $a$ функции (см. Рис.1):

Рис. 1

По графику отметим, что ось 0y является вертикальной асимптотой. Кроме того, важно запомнить, что график любой логарифмической функции проходит через точку (1; 0).

Показательная функция $y = a^{x}$ и логарифмическая $y = \log_{a} x,$ где $a > 0, a \neq 1,$ взаимно обратны.

Покажем это на графиках при $a = 2, a = \frac{1}{4}$ (см. Рис. 2, Рис. 3).

Рис. 2 Рис. 3

Пример 1

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция

а) $y = \log_{3, 5} x;$ б) $y = \log_{0, 4} x .$

Решение

а) $y = \log_{3, 5} x .$

Основание логарифмической функции a = 3,5 > 1, значит, по свойству 4 функция $y = \log_{3, 5} x$ возрастающая.

б) $y = \log_{0, 4} x .$

$a = 0, 4 \in (0; 1),$ по тому же свойству 4 функция $y = \log_{0, 4} x$ убывающая.

Ответ: а) возрастающая; б) убывающая.

Пример 2

Сравнить числа:

a) $\log_{7} \frac{1}{4} и \log_{7} \frac{1}{7},$ б) $\log_{0, 2} \frac{1}{2} и \log_{0, 2} 0, 4 .$

Решение

a) $\log_{7} \frac{1}{4} и \log_{7} \frac{1}{7} .$

Функция $y = \log_{7} x$ возрастающая, т.к. a = 7 > 0. Сравним аргументы функций: $\frac{1}{4} > \frac{1}{7},$ тогда $\log_{7} \frac{1}{4} > \log_{7} \frac{1}{7}$ (следует из определения возрастающей функции).

б) $\log_{0, 2} \frac{1}{2} и \log_{0, 2} 0, 4 .$

Функция $y = \log_{0, 2} x$ убывающая, т.к. основание логарифма находится в промежутке $(0; 1), \frac{1}{2} > 0, 4,$ тогда по определению убывающей функции $\log_{0, 2} \frac{1}{2} < \log_{0, 2} 0, 4 .$

Ответ: а) $\log_{7} \frac{1}{4} > \log_{7} \frac{1}{7}$ ; б) $\log_{0, 2} \frac{1}{2} < \log_{0, 2} 0, 4 .$

Пример 3

Выяснить, положительным или отрицательным является число:

а)lg 0,2; б) $\log_{\frac{1}{3}} 0, 7$ .

Решение

а) lg 0,2.

Основание логарифма a = 10 > 1, число, стоящее под знаком логарифмической функции $0, 2 \in (0; 1) .$ По свойству 5 функция y=lg x принимает отрицательное значение при x = 0,2, значит, lg 0,2 < 0.

б) $\log_{\frac{1}{3}} 0, 7$ .

Согласно свойству 5 функция $\log_{\frac{1}{3}} x (a = \frac{1}{3}, 0 < \frac{1}{3} < 1)$ при x=0,7 (0 < 0,7 < 1) принимает положительные значения, значит $\log_{\frac{1}{3}} 0, 7 > 0 .$

Ответ: а) lg 0,2 < 0; б) $\log_{\frac{1}{3}} 0, 7 > 0 .$

Упражнение 1

Сравнить числа: а) $\log_{7} \frac{4}{5} и \log_{7} \frac{6}{5};$ б) $2 и \log_{\frac{1}{2}} 0, 05 .$

Упражнение 2

Определить знак числа: а) $\log_{3} 0, 7;$ б) $\log_{4} 1, 5 .$

Пример 4

Решить уравнение:

а) $\log_{6} (2 - 5 x) = \log_{6} 12;$

б) $\log_{\frac{1}{4}} (3 x + 4) = - 2 .$

Решение

а) $\log_{6} (2 - 5 x) = \log_{6} 12 .$

ОДЗ: $2 - 5 x > 0, x < \frac{2}{5} .$

Согласно утверждению 2: 2 – 5x = 12, x=-2. Найденный корень принадлежит ОДЗ уравнения.

Ответ: -2.

б) $\log_{\frac{1}{4}} (3 x + 4) = - 2 .$

ОДЗ: $3 x + 4 > 0, x > - \frac{4}{3} .$

Представим -2 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{4} : - 2 = - 2 \times \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{4}} {(\frac{1}{4})}^{- 2} = \log_{\frac{1}{4}} 16 .$

Тогда по утверждению 2: 3x + 4 = 16, x=4. Корень принадлежит ОДЗ уравнения.

Ответ: 4.

Пример 5

Решить неравенство:

а) $\log_{8} x < \frac{1}{3};$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x \geq \log_{\frac{1}{3}} 5 .$

Решение

а) $\log_{8} x < \frac{1}{3} .$

ОДЗ: x > 0

Представим $\frac{1}{3}$ в виде логарифма по основанию 8: $\frac{1}{3} = \log_{8} 2 .$

Основание логарифма а = 8 > 0, тогда по утверждению 1: x < 2. После пересечения найденного множества решений с ОДЗ, получим $x \in (0; 2) .$

Ответ: $x \in (0; 2) .$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x \geq \log_{\frac{1}{3}} 5 .$

ОДЗ: x > 0.

Согласно утверждению 1: $x \leq 5 .$ После пересечения с ОДЗ получим $x \in (0; 5] .$

Ответ: $x \in (0; 5] .$

Упражнение 3

Решить уравнение

а) $\log_{\frac{1}{4}} (\frac{x}{16} - 1) = 2;$

б) $\ln (4 x + 3) = 0 .$

Упражнение 4

Решить неравенство:

а) $\log_{π} x \geq 1;$

б) $\log_{\frac{1}{64}} x > \frac{1}{2} .$

Контрольные вопросы

1. Как связаны между собой функции: $y = 3^{x} и y = \log_{3} x; y = \log_{3} x и y = - \log_{3} x; y = \log_{3} x и y = \log_{3} x + 5;$

$y = \log_{3} x и y = \log_{3} (x - 4) .$

2. Какое уравнение ассимптоты для графика функций

$y = \log_{5} (x - 2), y = \log_{5} x - 2 .$

Ответы

Упражнение 1

а) $\log_{7} \frac{4}{5} < \log_{7} \frac{6}{5};$ б) $2 < \log_{\frac{1}{2}} 0, 05 .$

Упражнение 2

а) $\log_{3} 0, 7 < 0;$ б) $\log_{4} 1, 5 > 0 .$

Упражнение 3

а) 17; б) $- \frac{1}{2} .$

Упражнение 4

а) $x \geq π;$ б) $x \in (0; \frac{1}{8}) .$

Конспект урока: Логарифмическая функция, её свойства и график

Функции