Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Логарифмическая функция, её свойства и график

Функции

28.03.2024
2211
0

Логарифмическая функция, её свойства и график

 

План урока

  • Введение понятия логарифмической функции
  • Основные свойства логарифмической функции
  • Решение задач на применение свойств логарифмической функции

Цели урока

  • Знать, что такое логарифмическая функция, ее график, основные свойства
  • Уметь строить график логарифмической функции в зависимости от ее основания, применять свойства при решении задач

Разминка

1.При каких значениях x выражение имеет смысл:
 

а) log0,5x;

б) 0,8x;

в) logx9;

г) log5x2.

 

2.Найти x, если:
 

а) lnx=-4;

б) lgx=1;

в) lgx=13.

 

3.Возрастающей или убывающей является функция y=f(x) на некотором промежутке, если на нем для любых x1>x2 выполняется
 

а)f(x1)>f(x2);

б)f(x1)<f(x2);

 


Логарифмической функцией называется функция вида y=logax, где aR, a>0, a1.


 

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:

 

1. Область определения – множество всех положительных чисел (x>0). Следует из того, что выражение y=logax имеет смысл только при x>0.

 

2. Множество значений – множество R всех действительных чисел. Следует из того, что уравнение logax=b имеет корень для любого действительного b и положительного x.

 

3. Функция не является ограниченной. Следует из предыдущего свойства.

 

4. Если a>1, то функция y=logax возрастает на промежутке (0;+); если 
0 <  a < 1 , то она убывает на этом промежутке.

 

5. Если a > 1, то логарифмическая функция принимает положительные значения при x > 1 и отрицательные при x (0;1). Если 0 <  a < 1, то она принимает положительные значения при x (0;1), а отрицательные при x > 1.

 

Кроме рассмотренных свойств логарифмической функции имеют место следующие утверждения, которые применяются при решении уравнений и неравенств с логарифмами:

 

У т в е р ж д е н и е 1.  Если a > 1 и  logax1 < logax2, где x1, x2 - положительные числа, то x1< x2. Если 0 <  a < 1 и logax1 < logax2,  где x1, x2  - положительные числа, то x1> x2.

 

У т в е р ж д е н и е 2. Если logax1 = logax2,  где x1, x2 - положительные числа, a>0, a1, то x1= x2.

 

Иными словами: если основание логарифма больше 1, то при решении неравенства с логарифмами знак неравенства сохраняется, если основание находится в промежутке (0;1), то знак неравенства меняется на противоположный.

 

Графики логарифмической функции y=logax, в зависимости от основания a функции (см. Рис.1):

Рис. 1

По графику отметим, что ось 0y является вертикальной асимптотой. Кроме того, важно запомнить, что график любой логарифмической функции проходит через точку (1; 0).

 


Показательная функция y=ax и логарифмическая y=logax, где a>0, a1, взаимно обратны.


 

Покажем это на графиках при a=2, a=14(см. Рис. 2, Рис. 3).

Рис. 2                   Рис. 3

 


Пример 1

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция

а) y=log3,5x;   б)y=log0,4x.


Решение

 

а) y=log3,5x.

Основание логарифмической функции a = 3,5 > 1, значит, по свойству 4 функция y=log3,5x возрастающая.

 

б) y=log0,4x.

a=0,4 (0;1), по тому же свойству 4 функция y=log0,4x убывающая.

 

Ответ: а) возрастающая;   б) убывающая.


Пример 2

Сравнить числа:

a) log714 и log717,   б) log0,212 и log0,20,4.


Решение

 

a) log714 и log717.

Функция y=log7x возрастающая, т.к. a = 7 > 0. Сравним аргументы функций:  14>17, тогда log714 > log717 (следует из определения возрастающей функции).

 

б) log0,212 и log0,20,4.

Функция y=log0,2x убывающая, т.к. основание логарифма находится в промежутке (0;1), 12>0,4, тогда по определению убывающей функции log0,212 < log0,20,4.

 

Ответ: а) log714 > log717;   б) log0,212 < log0,20,4.


Пример 3

Выяснить, положительным или отрицательным является число:
 

а)lg 0,2;    б)log130,7


Решение

 

а) lg 0,2.

Основание логарифма a = 10 > 1, число, стоящее под знаком логарифмической функции 0,2  (0;1). По свойству 5 функция y=lg x принимает отрицательное значение при x = 0,2, значит, lg 0,2 < 0. 

 

б) log130,7.

Согласно свойству 5 функция log13x (a=13, 0<13<1) при x=0,7 (0 < 0,7 < 1) принимает положительные значения, значит log130,7>0.

 

Ответ: а) lg 0,2 < 0;     б) log130,7>0.


Упражнение 1

Сравнить числа: а)log745 и log765;    б)2 и log120,05.


Упражнение 2

Определить знак числа: а) log30,7;    б)log41,5.


Пример 4

Решить уравнение:
 

а) log62-5x=log612;

б) log143x+4=-2.


Решение

 

а) log62-5x=log612.

ОДЗ: 2-5x > 0, x<25.

Согласно утверждению 2: 2 – 5x = 12, x=-2. Найденный корень принадлежит ОДЗ уравнения.

 

Ответ: -2.

 

б) log143x+4=-2.

ОДЗ: 3x+4>0, x> -43.

Представим -2 в виде логарифма по основанию 14: -2=-2×log1414=log1414-2=log1416.

Тогда по утверждению 2: 3x + 4 = 16, x=4. Корень принадлежит ОДЗ уравнения. 

 

Ответ: 4.


Пример 5

Решить неравенство:

 

а) log8x<13;

б) log13xlog135.


Решение

 

а) log8x<13.

ОДЗ: x > 0

Представим 13 в виде логарифма по основанию 8:13=log82.

Основание логарифма а = 8  > 0, тогда по утверждению 1: x < 2. После пересечения найденного множества решений с ОДЗ, получим x(0;2).

 

Ответ: x(0;2).

 

б) log13xlog135.

ОДЗ: x > 0.

Согласно утверждению 1: x5. После пересечения с ОДЗ получим x(0;5].

 

Ответ: x(0;5].


Упражнение 3

Решить уравнение
 

а) log14x16-1=2;

б) ln(4x+3)=0.


Упражнение 4

Решить неравенство:

а)logπx1;

б)log164x>12.


Контрольные вопросы

1. Как связаны между собой функции: y=3x и y=log3x; y=log3x и y=-log3x; y=log3x и y=log3x+5; 

y=log3x и y=log3x-4.

2. Какое уравнение ассимптоты для графика функций 

y=log5x-2, y=log5x-2.


Ответы

Упражнение 1

а) log745<log765;  б) 2<log120,05.

 

Упражнение 2

а)log30,7<0;  б)log41,5>0.

 

Упражнение 3

а) 17;  б) -12.

 

Упражнение 4

а)xπ;  б)x(0;18).


 

Предыдущий урок
Взаимно обратные функции
Функции
Следующий урок
Степенная функция, её свойства и график
Функции
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Подходы к измерению информации
  • Энергетический обмен в клетке

    Биология

  • Динамика. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Сила. Измерение сил

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке