Взаимно обратные функции

План урока

Введение понятия обратимой функции
Введение понятия функции, обратной данной, взаимно обратных функций
Решение задач на нахождение функций, обратных данным
Формулировка теорем об обратимости монотонной функции, симметричности графиков взаимно обратных функций

Цели урока

Знать определение обратимой функции, функции обратной для данной функции, теорем об обратных функциях
Уметь строить графики функций, обратных данным

Разминка

1. Назовите промежутки возрастания и убывания функций:

а) $y = 3 x - 5$ ;

б) $y = {(x - 4)}^{2} + 3$ ;

в) $y = \frac{3}{x - 3}$ ;

г) $y = 8 x^{3}$ .

2. Выразите из формулы:

а) переменную R из $C = 2 π R$ ;

б) переменную R из $S = \frac{a b c}{4 R}$ ;

в) переменную h из $ϑ = \sqrt{2 g h}$ .

3. Как выполняется осевая симметрия? Постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC, относительно прямой l.

Пусть есть некоторая функция $f (x)$ , заданная на некотором множестве D. Для каждого значения аргумента из множества D можно найти соответствующее значение функции, и, наоборот, для каждого значения y можно найти соответствующее значение x.

Если функция f(x) принимает каждое свое значение только при одном значении x, то эту функцию называют обратимой.

Рис. 1

Например, функция $y = x^{6}$ при $x = 1$ и $x = - 1$ принимает значение $y = 1$ , значит, она не является обратимой (см. рис. 1).

А функция $y = 3 x + 4$ каждое свое значение y принимает при единственном значении x (см. рис. 2), она является обратимой.

Пусть дана обратимая функция f(x). Согласно определению, данному выше, каждому значению функции y из множества значений функции E(f) соответствует только одно значение аргумента x из области определения функции D(f), что $f (x) = y$ . Это соответствие определяет функцию x от y, обозначим ее $x = g (y)$ . Перейдя к привычному обозначению, поменяв местами x и y, получим $y = g (x)$ , функцию, обратную для f(x).

Рис. 2

Если обратимая функция f(x) задана формулой, то для того, чтобы найти обратную ей функцию, нужно решить уравнение $f (x) = y$ относительно переменной x и поменять местами переменные x и y. Эти функции называют взаимно обратными.

Из определения обратной функции следует, что область определения обратной функции такая же как и множество значений исходной функции, множество значений обратной – область определения исходной.

Пример 1

Найти функции, обратные к данным:

а) $y = - 5 x + 4$ ;

б) $y = \sqrt[3]{6 x - 5}$ .

Решение

а) $y = - 5 x + 4$ .

Решим это уравнение относительно x, получим $x = - \frac{1}{5} y + \frac{4}{5}$ . Меняем местами переменные x и y, получаем формулу для функции, обратной данной, а именно $y = - \frac{1}{5} x + \frac{4}{5}$ .

б) $y = \sqrt[3]{6 x - 5}$

$y^{3} = 6 x - 5$

$x = \frac{1}{6} y^{3} + \frac{5}{6}$

Заменив x на y и y на x, имеем $y = \frac{1}{6} x^{3} + \frac{5}{6}$ .

Ответ: а) $y = - \frac{1}{5} x + \frac{4}{5}$ ; б) $y = \frac{1}{6} x^{3} + \frac{5}{6}$ .

Упражнение 1

Найти функции, обратные к данным:

а) $y = 3 x - 2$ ;

б) $y = \frac{6}{x - 3}$ .

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

Теорема 1

Рис. 3

Монотонная функция является обратимой .

Например, функция $y = x^{5}$ является возрастающей, тогда по теореме 1, она будет обратимой. Обратная для нее функция $y = \sqrt[5]{x}$ (см. рис. 3).

Какой характер монотонности у исходной функции, такой же будет и у обратной, т.е. если исходная функция возрастает, то и обратная будет возрастать; если убывала, то обратная тоже убывает.

Теорема 2

Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой $y = x$ . (См. пример на рис. 3).

Пусть дана функция $y = x^{p}, г д е x > 0, p \neq 0$ . Так как эта функция монотонна, то по теореме 1 она обратима. Обратной ей функцией будет $y = x^{\frac{1}{p}}$ .

Пример 2

На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к ней. Указать область определения исходной и множество значений обратной функций.

а) $y = 3 x + 3$ ;

б) $y = {(x + 3)}^{2} п р и x \geq - 3$ .

Решение

Рис. 4

а) $y = 3 x + 3$

Строим график функции $y = 3 x + 3$ и симметричный ему относительно $y = x$ график обратной функции. Чтобы найти формулу для обратной функции, решим уравнение относительно x, затем поменяем переменные местами. Получим $y = \frac{1}{3} x - 1$ (см. рис. 4).

Область определения исходной функции – вся числовая прямая, таким же будет и множество значений для обратной функции $y = \frac{1}{3} x - 1$ .

Рис. 5

б) $y = {(x + 3)}^{2} п р и x \geq - 3$

Для отыскания обратной функции выразим x через y, поменяем местами переменные: $y = \sqrt{x} - 3, x \geq 0$ .

Область определения исходной: $[- 3; + \infty)$ , множество значений обратной - $[- 3; + \infty)$ (см. рис. 5).

Упражнение 2

а) $y = - 2 x + 5$ ;

б) $y = - x^{2} + 3 п р и x \geq 0$ .

Итак:

Если функция f(x) принимает каждое свое значение только при одном значении x, то эту функцию называют обратимой.
Для нахождения функции, обратной для $y = f (x)$ , нужно решить это уравнение относительно x и поменять местами x и y. Если уравнение имеет более одного корня, то функции, обратной данной, не существует.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$ .

Контрольные вопросы

Объясните, что такое монотонная функция. Приведите примеры.
Объясните, что такое обратимая функция. Приведите примеры. Приведите пример функции, которая не является обратимой.
Объясните, что такое взаимно обратные функции. Приведите примеры.

Ответы

Упражнение 1

а) $y = \frac{x + 2}{3}$ ; б) $y = 3 + \frac{6}{x}$ .

Упражнение 2

Конспект урока: Взаимно обратные функции

Функции