Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Показательная функция, ее свойства и график

План урока

Введение понятия показательной функции
Формулировка свойств показательной функции
Графики показательной функции в зависимости от основания степени а
Решение задач с помощью графиков и свойств показательной функции

Цели урока

Знать определение показательной функции, ее свойства.
Уметь строить по точкам графики конкретных показательных функций, строить эскизы графика показательной функции в зависимости от основания степени а, использовать свойства показательной функции при решении задач

Разминка

1. Представьте в виде степени числа :

а) $a^{2} a^{- 8} a^{\frac{1}{4}}$ ; б) $a^{4 \sqrt{3}} : a^{\sqrt{3}}$ ; в) $\frac{a^{\frac{2}{3}} a}{a^{\frac{1}{6}}}$ .

2. Сравнить с единицей:

а) $1, 2^{\sqrt{2}}$ ; б) $0, 6^{- 3}$ .

3. С помощью графика (см. рис. 1) найдите:

Рис. 1

1) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения;

2) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

3) промежутки возрастания, убывания функции;

4) координаты точек пересечения с осями координат.

Вспомним свойства степени с действительным показателем.

Пусть $a > 0, b > 0, x, x_{1}, x_{2} \in R$ . Тогда

$a^{x} > 0$
если $a > 1, x > 0, т о a^{x} > 1$
если $a > 1, x_{1} < x_{2}, т о a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$
если $0 < a < 1, x_{1} < x_{2}, т о a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$
$a^{x_{1}} a^{x_{2}} = a^{x_{1} + x_{2}}$ ;
$a^{x_{1}} \div a^{x_{2}} = a^{x_{1} - x_{2}}$ ;
${(a^{x_{1}})}^{x_{2}} = а^{х_{1} х_{2}}$ ;
${(a b)}^{x} = a^{x} b^{x}$ ;
${(\frac{a}{b})}^{x} = \frac{а^{х}}{b^{x}}$ .

На практике мы часто сталкиваемся с функциями вида $y = a^{x}, a \in R, a > 0$ , например, $y = 3^{x}, y = 0, 5^{x}, y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ .

Такие функции называются показательными, где неизвестное – показатель степени.

Показательной функцией называется функция вида $y = a^{x}$ , $a$ – заданное действительное число, $a > 0, a \neq 1$ .

Свойства показательной функции

Область определения – множество R всех действительных чисел.
Множество значений – множество всех положительных чисел.
Показательная функция $y = a^{x}$ является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если $a > 1$ , и убывающей, если $0 < a < 1$ .

График показательной функции $y = a^{x}$ в зависимости от основания степени a (рис. 2):

Рис. 2

Пример 1

С помощью графика функции $y = 2^{x}$ найти приближенное значение числа:

а) $\sqrt{2}$ ; б) $2^{- \frac{3}{2}}$ ; в) $2^{2, 5}$ .

Решение

Построим по точкам график функции $y = 2^{x}$ (рис. 3).

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4	8

Рис. 3

Рис. 4

а) $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ . Найдем значение функции при $x = \frac{1}{2}; y \approx 1, 4$ : (ордината точки А на рис. 4).

б) $2^{- \frac{3}{2}} \approx 0, 4$ (ордината точки В на рис. 4).

в) $2^{2, 5} \approx 5, 7$ (ордината точки С на рис. 4).

Ответ: а) $\sqrt{2} \approx 1, 4$ б) $2^{- \frac{3}{2}} \approx 0, 4$ в) $2^{2, 5} \approx 5, 7$

Упражнение 1

С помощью графика функции $y = 2^{x}$ найти приближенное значение числа:

а) $2^{0, 6}$ ; б) $2^{- 1, 2}$ .

Пример 2

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

а) $y = {(2 \frac{2}{3})}^{x}$ ; б) $y = 0, 8^{x}$ ; в) $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .

Решение

а) $y = {(2 \frac{2}{3})}^{x}$ . Так как $a = 2 \frac{2}{3} > 1$ , то функция возрастающая.

б) $y = 0, 8^{x}$ . $a = 0, 8 \in (0; 1)$ , значит, функция убывающая.

в) $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ . Так как $a = \frac{1}{3} \in (0; 1)$ , то функция убывающая.

Ответ: а) возрастающая; б) убывающая; в) убывающая.

Упражнение 2

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

а) $y = 6, 1^{x}$ ; б) $y = 0, 12^{- x}$ ; в) $y = {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{x}$ .

Пример 3

Сравнить $0, 6^{- \sqrt{7}}$ с единицей.

Решение

Представим единицу в виде $1 = 0, 6^{0}$ . Основание степени $a = 0, 6 \in (0; 1)$ , значит, функция $y = 0, 6^{x}$ убывающая. Так как $- \sqrt{7} < 0$ , то $0, 6^{- \sqrt{7}} > 0, 6^{0}$ , т.е. $0, 6^{- \sqrt{7}} > 1$ .

Ответ: $0, 6^{- \sqrt{7}} > 1$ .

Упражнение 3

Сравнить числа:

а) $6, 3^{- 5} и 6, 3^{- 4}$ ; б) ${(1 \frac{1}{8})}^{- 7} и 1$ ; в) ${(\frac{2}{3})}^{- 3} и {(\frac{3}{2})}^{2}$

Пример 4

Решить графически уравнение ${(\frac{1}{5})}^{x} = 2 x + 1$ .

Решение

Рис. 5

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ и $y = 2 x + 1$ .

Графики функций пересекаются в точке А(0;1). Абсцисса этой точки x=0 и будет решением исходного уравнения.

Ответ: 0.

Упражнение 4

Пользуясь графиком, определите количество корней уравнения $2^{x} = 3 - x^{2}$ .

Итак:

Показательная функция – функция вида $y = a^{x}, a > 0, a \neq 1$ .
Свойства показательной функции $y = a^{x}$ :

Область определения – множество всех действительных чисел ( $x \in R$ ).
Область значений – множество всех положительных чисел ( $y > 0$ ).
График функции проходит через точку (0;1).
Функция возрастающая при $a > 1$ , функция убывающая при $0 < a < 1$ .

Контрольные вопросы

Приведите пример показательной функции.
Является ли функция $y = {(- 3)}^{x}$ показательной? Почему?

Ответы

Упражнение 1

а) $2^{0, 6} \approx 1, 5$ ; б) $2^{- 1, 2} \approx 0, 5$ .

Упражнение 2

а) возрастающая; б) возрастающая; в) убывающая.

Упражнение 3

а) $6, 3^{- 5} < 6, 3^{- 4}$ ; б) ${(1 \frac{1}{8})}^{- 7} < 1$ ; в) ${(\frac{2}{3})}^{- 3} > {(\frac{3}{2})}^{2}$ .

Упражнение 4

Два корня.

Конспект урока: Показательная функция, её свойства и график

Функции

Свойства показательной функции