Конспект урока: Показательная функция, её свойства и график

[header]Показательная функция, ее свойства и график[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

• Введение понятия показательной функции
• Формулировка свойств показательной функции
• Графики показательной функции в зависимости от основания степени а
• Решение задач с помощью графиков и свойств показательной функции

[/row][row title='Цели урока']

• Знать определение показательной функции, ее свойства.
• Уметь строить по точкам графики конкретных показательных функций, строить эскизы графика показательной функции в зависимости от основания степени а, использовать свойства показательной функции при решении задач

[/row][row title='Разминка' final]

1. Представьте в виде степени числа :

а) $a^2{a}^{-8}{a}^{\frac{1}{4}}$;          б) $a^{4\sqrt{3}}:a^{\sqrt{3}}$;                    в) $\frac{a^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}a}{a^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}}$.

2. Сравнить с единицей:

а) $1,2^{\sqrt{2}}$;       б) $0,6^{-3}$.

3. С помощью графика (см. рис. 1) найдите: 
 

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/qMsJ73juIt7P_image.png' name='Рис. 1' float='right' width='40']

1) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения;

2) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

3) промежутки возрастания, убывания функции;

4) координаты точек пересечения с осями координат. 

[/img]

[/row][/flex]

Вспомним свойства степени с действительным показателем.
 

Пусть $a>0,b>0,x,x_1,x_2\in R$. Тогда

1. $a^x>0$
2. если $a>1, x>0, то a^x>1$
3. если $a>1,x_1<x_2, то a^{x_1}<a^{x_2}$
4. если $0<a<1,x_1<x_2, то a^{x_1}>a^{x_2}$
5. $a^{x_1}{a}^{x_2}=a^{x_1+x_2}$;
6. $a^{x_1}÷a^{x_2}=a^{x_1-x_2}$;
7. ${\left(a^{x_1}\right)}^{x_2}={а}^{{х}_1{х}_2}$;
8. ${\left(ab\right)}^x=a^x{b}^x$;
9. ${\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{{а}^{х}}{b^x}$.

На практике мы часто сталкиваемся с функциями вида $y=a^x,a\in R,a>0$, например, $y=3^x,y=0,5^x,y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$. 

Такие функции называются показательными, где неизвестное – показатель степени.

[line][/line]

[section icon='note']

Показательной функцией называется функция вида $y=a^x$, $a$ – заданное действительное число, $a>0,a\ne 1$.

[/section]

[line][/line]

Свойства показательной функции

1. Область определения – множество R всех действительных чисел.
2. Множество значений – множество всех положительных чисел.
3. Показательная функция $y=a^x$ является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если $a>1$, и убывающей, если $0<a<1$.

График показательной функции $y=a^x$ в зависимости от основания степени a (рис. 2): 

[section]

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/lViR83STMFGd_image.png' name='Рис. 2' width='80'][/img]

[/section]

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 1

[/section]

С помощью графика функции $y=2^x$ найти приближенное значение числа: 

           а) $\sqrt{2}$;                   б) $2^{-\frac{3}{2}}$;                   в) $2^{2,5}$.

[line][/line]

Решение
 

Построим по точкам график функции $y=2^x$ (рис. 3). 

[table][tr][td width='10']

x

[/td][td width='10']

-3

[/td][td width='10']

-2

[/td][td width='10']

-1

[/td][td width='10']

0

[/td][td width='10']

1

[/td][td width='10']

2

[/td][td width='10']

3

[/td][/tr][tr][td]

y

[/td][td]

$\frac{1}{8}$

[/td][td]

$\frac{1}{4}$

[/td][td]

$\frac{1}{2}$

[/td][td]

1

[/td][td]

2

[/td][td]

4

[/td][td]

8

[/td][/tr][/table]

 

а) $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$. Найдем значение функции при $x=\frac{1}{2}; y\approx 1,4$:  (ордината точки А на рис. 4).

б) $2^{-\frac{3}{2}}\approx 0,4$ (ордината точки В на рис. 4).

в) $2^{2,5}\approx 5,7$ (ордината точки С на рис. 4).

Ответ: а) $\sqrt{2}\approx 1,4$ б) $2^{-\frac{3}{2}}\approx 0,4$ в) $2^{2,5}\approx 5,7$

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 1

[/section]

С помощью графика функции $y=2^x$ найти приближенное значение числа: 

          а) $2^{0,6}$;                  б) $2^{-1,2}$.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 2

[/section]

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

          а) $y={\left(2\frac{2}{3}\right)}^x$;                  б) $y=0,8^x$;                    в) $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$.

[line][/line]

Решение

а) $y={\left(2\frac{2}{3}\right)}^x$. Так как $a=2\frac{2}{3}>1$, то функция возрастающая.

б) $y=0,8^x$. $a=0,8\in (0;1)$, значит, функция  убывающая.

в) $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$. Так как $a=\frac{1}{3}\in (0;1)$, то функция  убывающая.

Ответ: а) возрастающая; б) убывающая; в) убывающая.

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 2

[/section]

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

          а) $y=6,1^x$;                     б) $y=0,{12}^{-x}$;                в) $y={\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^x$.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 3

[/section]

Сравнить $0,6^{-\sqrt{7}}$ с единицей.

[line][/line]

Решение
 

Представим единицу в виде $1=0,6^0$. Основание степени $a=0,6\in (0;1)$, значит, функция $y=0,6^x$ убывающая. Так как $-\sqrt{7}<0$, то $0,6^{-\sqrt{7}}>0,6^0$, т.е. $0,6^{-\sqrt{7}}>1$.

Ответ: $0,6^{-\sqrt{7}}>1$.

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 3

[/section]

Сравнить числа:

          а) $6,3^{-5} и 6,3^{-4}$;             б) ${\left(1\frac{1}{8}\right)}^{-7} и 1$;                 в) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3} и {\left(\frac{3}{2}\right)}^2$

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 4

[/section]

Решить графически уравнение ${\left(\frac{1}{5}\right)}^x=2x+1$.

[line][/line]

Решение

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/KcXlHJ7ZfJ6w_image.png' name='Рис. 5' float='right' width='45']

В одной и той же системе координат построим графики функций $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$и $y=2x+1$.

Графики функций пересекаются в точке А(0;1). Абсцисса этой точки x=0 и будет решением исходного уравнения.

[/img]

Ответ: 0.

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 4

[/section]

Пользуясь графиком, определите количество корней уравнения $2^x=3-x^2$.

[line][/line]

Итак:
 

1. Показательная функция – функция вида $y=a^x,a>0,a\ne 1$.
2. Свойства показательной функции $y=a^x$:

• Область определения – множество всех действительных чисел ($x\in R$).
• Область значений – множество всех положительных чисел ($y>0$).
• График функции проходит через точку (0;1).
• Функция возрастающая при $a>1$, функция убывающая при $0<a<1$.

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

[/section]

1. Приведите пример показательной функции.
2. Является ли функция $y={(-3)}^x$ показательной? Почему?

[line][/line]

[flex column='true'][row title='Ответы' final]

Упражнение 1
 

а) $2^{0,6}\approx 1,5$;            б) $2^{-1,2}\approx 0,5$.

Упражнение 2
 

а) возрастающая;        б) возрастающая;   в) убывающая.

Упражнение 3
 

а) $6,3^{-5} < 6,3^{-4}$;          б) ${\left(1\frac{1}{8}\right)}^{-7} < 1$;      в) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3} > {\left(\frac{3}{2}\right)}^2$.

Упражнение 4
 

Два корня.

[/row][/flex]

[line][/line]