[header]Показательная функция, ее свойства и график[/header]
[flex column='true'][row title='План урока']
- Введение понятия показательной функции
- Формулировка свойств показательной функции
- Графики показательной функции в зависимости от основания степени а
- Решение задач с помощью графиков и свойств показательной функции
[/row][row title='Цели урока']
- Знать определение показательной функции, ее свойства.
- Уметь строить по точкам графики конкретных показательных функций, строить эскизы графика показательной функции в зависимости от основания степени а, использовать свойства показательной функции при решении задач
[/row][row title='Разминка' final]
1. Представьте в виде степени числа :
а) ; б) ; в) .
2. Сравнить с единицей:
а) ; б) .
3. С помощью графика (см. рис. 1) найдите:
[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/qMsJ73juIt7P_image.png' name='Рис. 1' float='right' width='40']
1) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения;
2) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;
3) промежутки возрастания, убывания функции;
4) координаты точек пересечения с осями координат.
[/img]
[/row][/flex]
Вспомним свойства степени с действительным показателем.
Пусть . Тогда
- если
- если
- если
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
На практике мы часто сталкиваемся с функциями вида , например, .
Такие функции называются показательными, где неизвестное – показатель степени.
[line][/line]
[section icon='note']
Показательной функцией называется функция вида , – заданное действительное число, .
[/section]
[line][/line]
Свойства показательной функции
- Область определения – множество R всех действительных чисел.
- Множество значений – множество всех положительных чисел.
- Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если , и убывающей, если .
График показательной функции в зависимости от основания степени a (рис. 2):
[section]
[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/lViR83STMFGd_image.png' name='Рис. 2' width='80'][/img]
[/section]
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 1
[/section]
С помощью графика функции найти приближенное значение числа:
а) ; б) ; в) .
[line][/line]
Решение
Построим по точкам график функции (рис. 3).
[table][tr][td width='10']
x
[/td][td width='10']
-3
[/td][td width='10']
-2
[/td][td width='10']
-1
[/td][td width='10']
0
[/td][td width='10']
1
[/td][td width='10']
2
[/td][td width='10']
3
[/td][/tr][tr][td]
y
[/td][td]
[/td][td]
[/td][td]
[/td][td]
1
[/td][td]
2
[/td][td]
4
[/td][td]
8
[/td][/tr][/table]
[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/VJq2uCyFi4Ad_image.png' name='Рис. 3' float='right' width='70'][/img] | [img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/RhxgUGTnjJKn_image.png' name='Рис. 4' float='right' width='80'][/img] |
а) . Найдем значение функции при : (ордината точки А на рис. 4).
б) (ордината точки В на рис. 4).
в) (ордината точки С на рис. 4).
Ответ: а) б) в)
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 1
[/section]
С помощью графика функции найти приближенное значение числа:
а) ; б) .
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 2
[/section]
Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:
а) ; б) ; в) .
[line][/line]
Решение
а) . Так как , то функция возрастающая.
б) . , значит, функция убывающая.
в) . Так как , то функция убывающая.
Ответ: а) возрастающая; б) убывающая; в) убывающая.
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 2
[/section]
Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:
а) ; б) ; в) .
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 3
[/section]
Сравнить с единицей.
[line][/line]
Решение
Представим единицу в виде . Основание степени , значит, функция убывающая. Так как , то , т.е. .
Ответ: .
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 3
[/section]
Сравнить числа:
а) ; б) ; в)
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 4
[/section]
Решить графически уравнение .
[line][/line]
Решение
[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/KcXlHJ7ZfJ6w_image.png' name='Рис. 5' float='right' width='45']
В одной и той же системе координат построим графики функций и .
Графики функций пересекаются в точке А(0;1). Абсцисса этой точки x=0 и будет решением исходного уравнения.
[/img]
Ответ: 0.
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 4
[/section]
Пользуясь графиком, определите количество корней уравнения .
[line][/line]
Итак:
- Показательная функция – функция вида .
- Свойства показательной функции :
- Область определения – множество всех действительных чисел ().
- Область значений – множество всех положительных чисел ().
- График функции проходит через точку (0;1).
- Функция возрастающая при , функция убывающая при .
[line][/line]
[section icon='question']
Контрольные вопросы
[/section]
- Приведите пример показательной функции.
- Является ли функция показательной? Почему?
[line][/line]
[flex column='true'][row title='Ответы' final]
Упражнение 1
а) ; б) .
Упражнение 2
а) возрастающая; б) возрастающая; в) убывающая.
Упражнение 3
а) ; б) ; в) .
Упражнение 4
Два корня.
[/row][/flex]
[line][/line]