Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Показательная функция, её свойства и график

Функции

Показательная функция, ее свойства и график

План урока

  • Введение понятия показательной функции
  • Формулировка свойств показательной функции
  • Графики показательной функции в зависимости от основания степени а
  • Решение задач с помощью графиков и свойств показательной функции

Цели урока

  • Знать определение показательной функции, ее свойства.
  • Уметь строить по точкам графики конкретных показательных функций, строить эскизы графика показательной функции в зависимости от основания степени а, использовать свойства показательной функции при решении задач

Разминка

1. Представьте в виде степени числа :

а) a2a-8a14;          б) a43:a3;                    в) a23aa16.

2. Сравнить с единицей:

а) 1,22;       б) 0,6-3.

 

3. С помощью графика (см. рис. 1) найдите: 
 

Рис. 1 Рис. 1

1) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения;

2) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

3) промежутки возрастания, убывания функции;

4) координаты точек пересечения с осями координат. 

Вспомним свойства степени с действительным показателем.
 

Пусть a>0,b>0,x,x1,x2R. Тогда

  1. ax>0
  2. если a>1, x>0, то ax>1
  3. если a>1,x1<x2, то ax1<ax2
  4. если 0<a<1,x1<x2, то ax1>ax2
  5. ax1ax2=ax1+x2;
  6. ax1÷ax2=ax1-x2;
  7. (ax1)x2=ах1х2;
  8. (ab)x=axbx;
  9. (ab)x=ахbx.

На практике мы часто сталкиваемся с функциями вида y=ax,aR,a>0, например, y=3x,y=0,5x,y=(15)x

Такие функции называются показательными, где неизвестное – показатель степени.


Показательной функцией называется функция вида y=axa – заданное действительное число, a>0,a1.


Свойства показательной функции

 

  1. Область определения – множество R всех действительных чисел.
  2. Множество значений – множество всех положительных чисел.
  3. Показательная функция y=ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a>1, и убывающей, если 0<a<1.

График показательной функции y=ax в зависимости от основания степени a (рис. 2): 

Рис. 2 Рис. 2


Пример 1

С помощью графика функции y=2x найти приближенное значение числа: 

           а) 2;                   б) 2-32;                   в) 22,5.


Решение
 

Построим по точкам график функции y=2x (рис. 3). 

 

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

18

14

12

1

2

4

8



 

Рис. 3 Рис. 3
 
Рис. 4 Рис. 4

а) 2=212. Найдем значение функции при x=12; y1,4 :  (ордината точки А на рис. 4).

б) 2-320,4 (ордината точки В на рис. 4).

в) 22,55,7 (ордината точки С на рис. 4).

 

Ответ: а) 21,4 б) 2-320,4 в) 22,55,7


Упражнение 1

С помощью графика функции y=2x найти приближенное значение числа: 

          а) 20,6;                  б) 2-1,2.


Пример 2

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

          а) y=(223)x;                  б) y=0,8x;                    в) y=(13)x.


Решение

           

а) y=(223)x. Так как  a=223>1, то функция возрастающая.

б) y=0,8xa=0,8(0;1), значит, функция  убывающая.

в) y=(13)x. Так как a=13(0;1), то функция  убывающая.

 

Ответ: а) возрастающая; б) убывающая; в) убывающая.


Упражнение 2

Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

          а) y=6,1x;                     б) y=0,12-x;                в) y=(63)x.


Пример 3

Сравнить 0,6-7 с единицей.


Решение
 

Представим единицу в виде 1=0,60. Основание степени a=0,6(0;1), значит, функция y=0,6x убывающая. Так как -7<0, то 0,6-7>0,60, т.е. 0,6-7>1.

 

Ответ: 0,6-7>1.


Упражнение 3

Сравнить числа:

          а) 6,3-5 и 6,3-4;             б) (118)-7 и 1;                 в) 23-3 и 322


Пример 4

Решить графически уравнение (15)x=2x+1.


Решение

 

Рис. 5 Рис. 5

В одной и той же системе координат построим графики функций y=(15)xи y=2x+1.

 

Графики функций пересекаются в точке А(0;1). Абсцисса этой точки x=0 и будет решением исходного уравнения.

Ответ: 0.


Упражнение 4

Пользуясь графиком, определите количество корней уравнения 2x=3-x2.


Итак:
 

  1. Показательная функция – функция вида y=ax,a>0,a1.
  2. Свойства показательной функции y=ax:
  • Область определения – множество всех действительных чисел (xR).
  • Область значений – множество всех положительных чисел (y>0).
  • График функции проходит через точку (0;1).
  • Функция возрастающая при a>1, функция убывающая при 0<a<1.


Контрольные вопросы

  1. Приведите пример показательной функции.
  2. Является ли функция y=(-3)x показательной? Почему?


Ответы

Упражнение 1
 

а) 20,61,5;            б) 2-1,20,5.

 

Упражнение 2
 

а) возрастающая;        б) возрастающая;   в) убывающая.

 

Упражнение 3
 

а) 6,3-5 < 6,3-4;          б) (118)-7 < 1;      в) 23-3 > 322.

 

Упражнение 4
 

Два корня.


Предыдущий урок
Степенная функция, её свойства и график
Функции
Следующий урок
Логарифмы
Логарифмы
  • Частицы. Правописание частиц

    Русский язык

  • Деформация. Сила упругости. Закон Гука. Сила трения

    Физика

  • Семейное право

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке