Онлайн школа №1 - Энциклопедия

Степенная функция, ее свойства и график

План урока

Введение понятия степенной функции
Ограниченная функция
Свойства степенной функции в зависимости от показателя степени
Решение задач на применение свойств степенной функции

Цели урока

Знать виды графиков степенной функции в зависимости от показателя степени, их свойства
Уметь использовать свойства степенной функции при решении задач

Разминка

С помощью графиков функций ответьте на вопросы:

Какая область определения функции $y = f (x)$ ?
Какое множество значений функции $y = f (x)$ ?
Является ли функция четной? Нечетной?
Найти промежутки возрастания, убывания функции.
При каких значениях x функция принимает положительные значения? Отрицательные значения? Значение, равное 0?
Найти значение функции при $x = 0, x = 2$ .

Рис. 1

Начиная с 7 класса, вы знакомились с различными видами функций:

$y = x, y = x^{2}, y = x^{3}, y = \frac{k}{x}$ и т.д. Все перечисленные функции являются частными случаями функции $y = x^{p}, г д е p \in R$ , которая называется степенной. Ее свойства зависят от свойств степени с действительным показателем, от того, при каких x, p имеет смысл $x^{p}$ .

Функция $y = f (x)$ , определенная на множество Х, называется ограниченной снизу на множестве Х, если существует такое число С₁, что для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f (x) \geq C_{1}$ .

Можно сказать, что все точки графика функции $y = f (x), x \in X$ находятся выше прямой $y = C_{1}$ или на этой прямой (см. рис. 2, а).

Функция $y = f (x)$ , определенная на множество Х, называется ограниченной сверху на множестве Х, если существует такое число С₂, что для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f (x) \leq C_{2}$ .

В этом случае все точки графика функции $y = f (x), x \in X$ находятся ниже прямой $y = C_{2}$ или на этой прямой (см. рис. 2, б).

Рис. 2

Примерами функций, ограниченной снизу могут быть функции $y = x^{2}$ , $y = \sqrt{x}$ ограниченной сверху - $y = - x^{2}$ .

Функция $y = f (x)$ , определенная на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х, если она ограничена и сверху, и снизу, или, другими словами, когда существует такое число С, что для любого $x \in X$ выполняется неравенство $| f (x) | \leq C .$

Пример ограниченных функций $y = \sin x, y = \cos x, y = a r c t g x .$

Рассмотрим свойства степенной функции $y = x^{p}$ в зависимости от показателя степени p.

Таблица 1. Свойства степенной функции $y = x^{p} (n \in N)$

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{5}$ на отрезке $[- 2; 1]$ .

Решение

Функция $y = x^{5}$ возрастает на всей своей области определения R, тогда наибольшее значение на отрезке $[- 2; 1]$ она достигает в точке $x = 1$ , а наименьшее в $x = - 2$ .

$y_{н а и б} = y (1) = 1, y_{н а и м} = y (- 2) = - 32$

Ответ: $y_{н а и б} = 1, y_{н а и м} = - 32$ .

Пример 2

Среди функций $y = \sqrt[5]{x - 3}, y = x^{4} + 2, y = {(x - 2)}^{- 3}, y = {(x - 3)}^{- \frac{2}{5}}$ выбрать ту, у которой множеством значений является множество всех действительных чисел кроме нуля.

Решение

$E (\sqrt[5]{x - 3}) = R . E (x^{4} + 2) = [2; + \infty)$

У функции $y = {(x - 2)}^{- 3}$ множеством значений является множество всех действительных чисел кроме нуля, т.к. $- 3 < 0, - 3$ – целое, нечетное.

$E ({(x - 3)}^{- \frac{2}{5}}) = (0; + \infty)$

Ответ: $y = {(x - 2)}^{- 3}$ .

Пример 3

Какая из функций $y = x^{- 6}$ или $y = x^{3, 3}$ возрастает на отрезке $[3; 7]$ ?

Решение

Отрезок $[3; 7]$ принадлежит лучу $x \geq 0$ . Функция $y = x^{- 6}$ убывает в каждой точке этого луча, т.к. степень отрицательная, четная. Функция $y = x^{3, 3}$ с положительной нечетной степенью возрастает везде на $x \geq 0$ , значит, и на отрезке $[3; 7]$ .

Ответ: $y = x^{3, 3}$ .

Упражнение 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{6}$ на отрезке $[- 1; 2]$ .

Упражнение 2

Найти область определения функций:

а) $y = {(x^{4} - x^{2})}^{- 4}$

б) $y = \sqrt[7]{{(9 - x^{2})}^{5}}$

Упражнение 3

Какая из функций $y = x^{4} - 1$ или $y = 2 - x^{5}$ возрастает на отрезке $[1; 2]$ ?

Итак:

Функция вида $y = x^{p}, г д е p \in R$ называется степенной функцией.

2. Свойства степенной функции в зависимости от показателя степени можно увидеть в таблице.

Контрольные вопросы

Какие из функций убывают, какие возрастают: $y = x^{\frac{1}{3}}, y = x^{\frac{5}{2}}, y = x^{\frac{3}{5}}, y = x^{- 9}$ ?
Приведите пример функции, ограниченной снизу, ограниченной сверху.

Ответы

Упражнение 1

$y_{н а и б} = 64, y_{н а и м} = 0$

Упражнение 2

а) $x \neq 0, x \neq \pm 1$ ; б) $x \in R$ .

Упражнение 3

$y = x^{4} - 1$

Конспект урока: Степенная функция, её свойства и график

Функции