Равносильные уравнения и неравенства

План урока

Понятие равносильности уравнений
Понятие равносильности неравенств
Преобразования, приводящие к равносильности уравнений или неравенств
Понятие уравнения-следствия
Преобразования, приводящие к посторонним корням и потере корней при решении уравнений
Решение задач на установление равносильности уравнений или неравенств

Цели урока

Знать определение равносильных уравнений и неравенств, уравнения-следствия, при каких преобразованиях происходит замена уравнения равносильным ему, при каких появляются посторонние корни, а при каких корни теряются
Уметь устанавливать равносильность и следствие, выполнять преобразования при решении уравнений и неравенств

Разминка

1. Решить неравенство:

а) $- 3 x^{2} + 2 x + 5 \leq 0$ ;

б) $\frac{x^{2} - 3 x - 3}{x^{2} - 2 x + 2} > 0$ ;

в) $x (x + 5) \geq 0$ .

2. Решить уравнение:

а) $\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{30}{x^{2} - 9} = 3$ ;

б) $6 x^{2} + x - 1 = 0$ ;

в) $(x + 10) (x - 2) = 2 (x - 2) (5 - x)$ .

Рассмотрим важный вопрос, связанный с решением уравнений и неравенств на множестве действительных чисел, а именно как правильно преобразовывать уравнения и неравенства к «более простому виду», не теряя корни, не изменяя область допустимых значений, когда надо делать проверку полученных корней.

Пусть есть два уравнения $25 x = 5$ и $5 x - 1 = 0$ . Корнем первого уравнения является $x = \frac{1}{5}$ , он же является и корнем второго уравнения. Такие уравнения называются равносильными.

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными .

Уравнения, не имеющие корней, также являются равносильными .

Например, уравнения $(x - 8) (x + 3) = 0$ и $x^{2} - 5 x - 24 = 0$ являются равносильными, т.к. они имеют одни и те же корни $x_{1} = 8, x_{2} = - 3$ . Уравнения $x^{2} - 16 = 0$ и $5 x = 20$ неравносильны, у первого корни $x_{1} = 4 и x_{2} = - 4$ , у второго только $x = 4$ .

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называются равносильными .

Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными .

Например, неравенства $\frac{x + 8}{x^{2} + 9} > 0$ и $x + 8 > 0$ равносильны, т.к. множества их решений совпадают - $x > - 8$ . А неравенства $\frac{3 x - 4}{x + 2} > 1$ и $3 x - 4 > x + 2$ не будут равносильными: решение первого $(- \infty; - 2) \cup (3; + \infty)$ , второго - $(3; + \infty)$ .

При решении любого уравнения или неравенства первостепенной задачей является преобразовать исходное выражение к «более простому виду». Понятно, что этот термин не совсем определяем, обычно, нам кажется выражение более простым, чем другое, по внешним признакам. И тут возникает вопрос, а совпадает ли множество решений исходного уравнения или неравенства с тем, что получили после всех преобразований? Получились ли лишние корни, или, наоборот, не потеряли ли их? Не изменилась ли область допустимых значений? Рассмотрим преобразования, приводящие к равносильному уравнению или неравенству.

Видно, что не при любом преобразовании уравнение заменяется равносильным ему. Например, $\sqrt{3 x + 4} = 2 - x$ . При возведении во вторую степень получим уравнение $3 x + 4 = {(2 - x)}^{2}$ . Оно не равносильно исходному, т.к. решение первого $x = 0$ , а второго $x = 0, x = 7$ . В таком случае говорят, что второе уравнение является следствием первого.

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называют следствием первого уравнения.

Из определений равносильности двух уравнений и уравнений-следствий следует, что:

Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений могут появиться посторонние корни или, наоборот, корни можно потерять.

Посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение с неизвестной. Потеря корней – при делении обеих частей уравнения на выражение с неизвестной.

Главное, корни не потерять, а наличие посторонних корней можно установить проверкой.

Например, при решении уравнения $(x + 7) (x - 2) = (x + 4) (x + 7)$ деление обеих частей уравнения на (x+7) приведет к потере корня x=–7. А умножение обеих частей уравнения $\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{x + 1} = 5$ на (x+1) к постороннему корню x=–1.

Пример 1

Выяснить какое из двух данных уравнений $x^{2} - 4 x - 32 = 0$ и $x - 8 = 0$ является следствием другого.

Решение

Первое уравнение имеет корни $x_{1} = 8, x_{2} = - 4$ , а второе $x = 8$ . Значит, первое уравнение является следствием второго.

Ответ: $x^{2} - 4 x - 32 = 0$ .

Упражнение 1

Выяснить какое из двух данных уравнений ${25 - x}^{2} = 0$ и $\frac{x^{2} - 25}{x + 5} = 0$ является следствием другого.

Пример 2

Выяснить равносильны ли уравнения $x (x - 3) = 0$ и $x (x^{2} - 9) = 0$ .

Решение

Корни первого уравнения $x = 0, x = 3$ , второго - $x = 0, x = 3, x = - 3$ . Значит, уравнения не являются равносильными.

Ответ: не равносильны.

Упражнение 2

Выяснить равносильны ли уравнения $x^{2} = 4$ и $(x - 2) (x + 2) = 0$ .

Пример 3

Выяснить равносильны ли неравенства $\frac{4 x + 2}{2 x - 5} \leq 6$ и $4 x + 2 \leq 6 (2 x - 5)$ .

Решение

Неравенство $\frac{4 x + 2}{2 x - 5} \leq 6$ равносильно неравенству $\frac{4 x + 2}{2 x - 5} - 6 \leq 0$ , значит, и неравенству $\frac{4 x + 2 - 6 (2 x - 5)}{2 x - 5} \leq 0,$ $\frac{x - 4}{2 x - 5} \geq 0$ . Решением последнего будет $x \in (- \infty; 2, 5) \cup [4; + \infty)$ .

Решением неравенства $4 x + 2 \leq 6 (2 x - 5)$ является промежуток $[4; + \infty)$ .

Значит, неравенства не равносильны.

Ответ: не равносильны.

Упражнение 3

Выяснить равносильны ли неравенства $x (x + 3) < 0$ и $\frac{x}{x + 3} < 0$ .

Итак:

Уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называются равносильными.
Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называются равносильными.
Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.
При решении уравнений можно заменять уравнение равносильным ему уравнением (без проверки на выявление посторонних корней), заменять уравнение его следствием (с последующей проверкой).

Контрольные вопросы

Известно, что оба уравнения не имеют корней. Являются ли они равносильными?
Даны два уравнения, каждое из которых является следствием другого. Можно ли назвать эти уравнения равносильными?
Назовите неравносильные преобразования уравнений.
Назовите основные причины возможной потери корней при решении уравнений.

Ответы

Упражнение 1

$25 - x^{2}$ ;

Упражнение 2

равносильны;

Упражнение 3

равносильны.

Конспект урока: Равносильные уравнения и неравенства

Решение уравнений и неравенств