Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Показательные неравенства

Решение уравнений и неравенств

02.03.2024
1122
0

Показательные неравенства

План урока

 

  • Введение понятия показательного неравенства
  • Формулировка утверждений, позволяющих решать показательные неравенства
  • Решение показательных неравенств

Цели урока

  • Знать определение показательного неравенства, методы его решения
  • Уметь решать показательные неравенства различными методами

Разминка

  • Имеет ли смысл выражение (-5)38?
  • Запишите числа в порядке убывания: (13)3,(13)3,(13)7
  • Решить уравнение 3(x-3)(x-4)=1


Показательным неравенством называется неравенство вида
 

    af(x)>ag(x),                           (1)
 

где a>0, a1, и все сводящиеся к виду (1) неравенства.


При решении показательных неравенств используют свойства показательной функции:

  1. Если a>1, то неравенство af(x)>ag(x) справедливо тогда и только тогда, когда f(x)>g(x).
  2. Если 0<a<1, то неравенство af(x)>ag(x) справедливо тогда и только тогда, когда f(x)<g(x).

Для того, чтобы свести неравенство к виду (1) применяют те же преобразования, что и при решении показательных уравнений: разложение левой части неравенства на множители, применение свойств степени, замена переменной.


Пример 1

Решить неравенство:
 

а) 23x-14>128;

б) 4x+2x+1-80<0;

в) 5x-1×2x+2>8×10x2-3x+2;

г) 2x3-x.
 


Решение
 

а) 23x-14>128

23x-14>27

3x-14>7

x>7
 

Ответ: x>7.


б) 4x+2x+1-80<0

22х+2×2x-80<0
 

Пусть 2x=t,t>0, тогда неравенство примет вид t2+2t-80<0. Решив последнее неравенство, получим t(-10;8). Вернемся к исходной переменной:

-10<2x<8. Так как 2x>0 для любого x, то 2x<8,x<3.
 

Ответ: x<3.


в) 5x-1×2x+2>8×10x2-3x+2

5x-1×2x+2>23×5x2-3x+2×2x2-3x+2

5x-1×2x+2>5x2-3x+2×2x2-3x+5
 

Так как правая часть неравенства положительна, поделим обе части неравенства на 5x2-3x+2×2x2-3x+5, получим 
 

5x-1×2x+25x2-3x+2×2x2-3x+5>1

5-x2+4x-3×2-x2+4x-3>1

10-x2+4x-3>100

-x2+4x-3>0
 

Решение последнего неравенство: x(1;3).
 

Ответ: (1;3).


г) 2x3-x.

Рис. 1

Решим это неравенство графически. В одной и той же системе координат построим графики функций y=2x и  y=3-x

 

Графики пересекаются в точке А(1;2). Решением исходного неравенства является промежуток x[0;1].


 

Ответ: x[0;1].


Упражнение 1

Решить неравенство:

а) (15)4x-1,5<15;

б) 9x-7×3x-18<0;

в) 5x2-4x-1<1;

г) 3x-2<1+x+1.


Контрольные вопросы:

1. Какое утверждение верно, если a>1

   1) неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству f(x)>g(x);   

   2) неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству f(x)<g(x)?

2. Какое утверждение верно, если 0<a<1

   1) неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству f(x)>g(x);   

   2) неравенство af(x)>ag(x)  равносильно неравенству f(x)<g(x)?


Ответы

Упражнение 1

 

а) x>12;          б) x<2;         в) x(-;-2)(1;2);               г) x[-1;3).


 

Предыдущий урок
Равносильные уравнения и неравенства
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Логарифмические неравенства
Решение уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Показательные уравнения

    Алгебра

  • А.Н. Островский «Гроза». Смысл названия пьесы. Трагическое и жизнеутверждающее в драме Островского. Статья «Луч света в тёмном царстве» Н.А. Добролюбова. Статья Д.И. Писарева «Мотивы русской драмы»

    Литература

  • Применение первого закона термодинамики к изобарическому процессу. Применение первого закона термодинамики к изохорическому, изотермическому и адиабатическому процессам

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке