Показательные неравенства

План урока

Введение понятия показательного неравенства
Формулировка утверждений, позволяющих решать показательные неравенства
Решение показательных неравенств

Цели урока

Знать определение показательного неравенства, методы его решения
Уметь решать показательные неравенства различными методами

Разминка

Имеет ли смысл выражение ${(- 5)}^{\frac{3}{8}}$ ?
Запишите числа в порядке убывания: $(\frac{1}{3})^{3}, {(\frac{1}{3})}^{\sqrt{3}}, {(\frac{1}{3})}^{\sqrt{7}}$
Решить уравнение $3^{(x - 3) (x - 4)} = 1$

Показательным неравенством называется неравенство вида

$a^{f (x)} > a^{g (x)}$ , (1)

где $a > 0, a \neq 1$ , и все сводящиеся к виду (1) неравенства.

При решении показательных неравенств используют свойства показательной функции:

Если $a > 1$ , то неравенство $a^{f (x)} > a^{g (x)}$ справедливо тогда и только тогда, когда $f (x) > g (x)$ .
Если $0 < a < 1$ , то неравенство $a^{f (x)} > a^{g (x)}$ справедливо тогда и только тогда, когда $f (x) < g (x)$ .

Для того, чтобы свести неравенство к виду (1) применяют те же преобразования, что и при решении показательных уравнений: разложение левой части неравенства на множители, применение свойств степени, замена переменной.

Пример 1

Решить неравенство:

а) $2^{3 x - 14} > 128$ ;

б) $4^{x} + 2^{x + 1} - 80 < 0$ ;

в) $5^{x - 1} \times 2^{x + 2} > 8 \times 10^{x^{2} - 3 x + 2}$ ;

г) $2^{x} \leq 3 - \sqrt{x}$ .

Решение

а) $2^{3 x - 14} > 128$

$2^{3 x - 14} > 2^{7}$

$3 x - 14 > 7$

$x > 7$

Ответ: $x > 7$ .

б) $4^{x} + 2^{x + 1} - 80 < 0$

$2^{2 х} + 2 \times 2^{x} - 80 < 0$

Пусть $2^{x} = t, t > 0$ , тогда неравенство примет вид $t^{2} + 2 t - 80 < 0$ . Решив последнее неравенство, получим $t \in (- 10; 8)$ . Вернемся к исходной переменной:

$- 10 < 2^{x} < 8$ . Так как $2^{x} > 0$ для любого x, то $2^{x} < 8, x < 3$ .

Ответ: $x < 3$ .

в) $5^{x - 1} \times 2^{x + 2} > 8 \times 10^{x^{2} - 3 x + 2}$

$5^{x - 1} \times 2^{x + 2} > 2^{3} \times 5^{x^{2} - 3 x + 2} \times 2^{x^{2} - 3 x + 2}$

$5^{x - 1} \times 2^{x + 2} > 5^{x^{2} - 3 x + 2} \times 2^{x^{2} - 3 x + 5}$

Так как правая часть неравенства положительна, поделим обе части неравенства на $5^{x^{2} - 3 x + 2} \times 2^{x^{2} - 3 x + 5}$ , получим

$\frac{5^{x - 1} \times 2^{x + 2}}{5^{x^{2} - 3 x + 2} \times 2^{x^{2} - 3 x + 5}} > 1$

$5^{- x^{2} + 4 x - 3} \times 2^{- x^{2} + 4 x - 3} > 1$

$10^{- x^{2} + 4 x - 3} > 10^{0}$

$- x^{2} + 4 x - 3 > 0$

Решение последнего неравенство: $x \in (1; 3)$ .

Ответ: $(1; 3)$ .

г) $2^{x} \leq 3 - \sqrt{x}$ .

Рис. 1

Решим это неравенство графически. В одной и той же системе координат построим графики функций $y = 2^{x}$ и $y = 3 - \sqrt{x}$

Графики пересекаются в точке А(1;2). Решением исходного неравенства является промежуток $x \in [0; 1]$ .

Ответ: $x \in [0; 1]$ .

Упражнение 1

Решить неравенство:

а) ${(\frac{1}{5})}^{4 x - 1, 5} < \frac{1}{\sqrt{5}}$ ;

б) $9^{x} - 7 \times 3^{x} - 18 < 0$ ;

в) $5^{\frac{x^{2} - 4}{x - 1}} < 1$ ;

г) $3^{x - 2} < 1 + \sqrt{x + 1}$ .

Контрольные вопросы:

1. Какое утверждение верно, если $a > 1$ :

1) неравенство $a^{f (x)} > a^{g (x)}$ равносильно неравенству $f (x) > g (x)$ ;

2) неравенство $a^{f (x)} > a^{g (x)}$ равносильно неравенству $f (x) < g (x)$ ?

2. Какое утверждение верно, если $0 < a < 1$ :

1) неравенство $a^{f (x)} > a^{g (x)}$ равносильно неравенству $f (x) > g (x)$ ;

2) неравенство $a^{f (x)} > a^{g (x)}$ равносильно неравенству $f (x) < g (x)$ ?

Ответы

Упражнение 1

а) $x > \frac{1}{2}$ ; б) $x < 2$ ; в) $x \in (- \infty; - 2) \cup (1; 2)$ ; г) $x \in [- 1; 3)$ .

Конспект урока: Показательные неравенства

Решение уравнений и неравенств