Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Логарифмические уравнения

План урока

Введение понятия логарифмического уравнения
Основные методы решения логарифмических уравнений
Решение логарифмических уравнений

Цели урока

Знать, что такое логарифмическое уравнение, методы решения логарифмических уравнений
Уметь решать логарифмические уравнения

Разминка

1. Вспомните свойства логарифмов и логарифмической функции.

2. Представьте число a в виде логарифма по основанию b:

а) a = 3, b = 2

б) a = 0, b = 5

в) a = 4, b = 2

г) a = -1, b = 9.

3. Найти область определения функций:

а) $y = \log_{3} (6 x + 2);$

б) $y = \log_{\frac{1}{4}} (x^{2} + 3 x - 18);$

в) $y = \log_{8} (- x) .$

4. Что такое равносильные уравнения? Уравнения-следствия?

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

$\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x),$ (1)

где $a > 0, a \neq 1$ и уравнения, сводящиеся к этому виду.

При решении логарифмического уравнения исходное уравнение всевозможными преобразованиями приводят к виду (1), откуда переходят к уравнению вида $f (x) = g (x)$ , решают его, проверяют найденные значения подстановкой в исходное уравнение. Или, можно использовать теорему:

Т е о р е м а. Если X – решение системы неравенств

$\{\begin{cases} f (x) > 0, \\ g (x) > 0, \end{cases}$ то уравнение $\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x),$ где $a > 0, a \neq 1$ равносильно на множестве Х уравнению $f (x) = g (x)$ .

Иными словами: сначала найти область допустимых значений уравнения $\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x),$ затем перейти к уравнению $f (x) = g (x),$ решить его, убедиться, что все найденные корни принадлежат ОДЗ.

Пример 1

Решить:

а) $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x - 3) = 1;$

б) $\log_{3} (x - 1) + 2 \log_{9} (17 + x) = 7 + \log_{\frac{1}{3}} 9;$

в) ${\log_{2}}^{2} (1 - x) - 2 \log_{2} (1 - x) = 3;$

г) $\{\begin{cases} \log_{2} (x^{2} + y^{2}) = 7, \\ \log_{2} x + 2 \log_{4} y = 6 . \end{cases}$

Решение

а) $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x - 3) = 1 .$

1 способ. Применив одно из свойств логарифма, заменим исходное уравнение на уравнение-следствие: $\log_{2} ((x - 2) (x - 3)) = 1 .$ Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_{2} 2 .$ Уравнение примет вид: $\log_{2} ((x - 2) (x - 3)) = \log_{2} 2 .$ Тогда

$(x - 2) (x - 3) = 2,$

$x^{2} - 5 x + 4 = 0,$

$x_{1} = 4; x_{2} = 1 .$

Проверка:

Если x = 4, то $\log_{2} (4 - 2) + \log_{2} (4 - 3) = 1,$

$\log_{2} 2 + \log_{2} 1 = 1,$

1+0=1 – верно, значит, x = 4 является корнем уравнения.

Если x = 1, то $\log_{2} (1 - 2) + \log_{2} (1 - 3) = 1,$

$\log_{2} (- 1) + \log_{2} (- 2) = 1$ – неверно, т.к. левая часть уравнения теряет смысл, значит, x = 1 не является корнем уравнения.

2 способ. ОДЗ: $\{\begin{cases} x - 2 > 0, \\ x - 3 > 0, \end{cases} \{\begin{cases} x > 2, \\ x > 3, \end{cases} x > 3 .$

От исходного уравнения перейдем к уравнению $(x - 2) (x - 3) = 2,$

$x^{2} - 5 x + 4 = 0,$

$x_{1} = 4; x_{2} = 1 .$

Корень x=1 не принадлежит ОДЗ, значит x=4.

Ответ: 4.

б) $\log_{3} (x - 1) + 2 \log_{9} (17 + x) = 7 + \log_{\frac{1}{3}} 9 .$

ОДЗ: $\{\begin{array}{l} x - 1 > 0, \\ 17 + x > 0, \end{array} \{\begin{array}{l} x > 1, \\ x > - 17, \end{array} x > 1 .$

$\log_{3} (x - 1) + 2 \log_{3^{2}} (17 + x) = 7 \times \log_{3} 3 + \log_{3^{- 1}} 3^{2},$

$\log_{3} (x - 1) + \log_{3} (17 + x) = \log_{3} 3^{7} - \log_{3} 3^{2},$

$\log_{3} ((x - 1) (17 + x)) = \log_{3} \frac{3^{7}}{3^{2}},$

$(x - 1) (17 + x) = 243,$

$x^{2} + 16 x - 260 = 0,$

$x_{1} = - 26, x_{2} = 10 .$

Корень x=-26 не принадлежит ОДЗ уравнения, значит, x=10.

Ответ: 10.

в) ${\log_{2}}^{2} (1 - x) - 2 \log_{2} (1 - x) = 3 .$

ОДЗ: 1 - x > 0, x < 1.

Пусть $\log_{2} (1 - x) = t,$ тогда уравнение примет вид $t^{2} - 2 t - 3 = 0, t_{1} = 3, t_{2} = - 1 .$

Вернемся к исходной переменной:

$\log_{2} (1 - x) = 3 и л и \log_{2} (1 - x) = - 1$

$1 - x = 8, 1 - x = \frac{1}{2},$

$x = - 7 . x = \frac{1}{2} .$

Оба корня входят в ОДЗ уравнения.

Ответ: -7; $\frac{1}{2} .$

г) $\{\begin{cases} \log_{2} (x^{2} + y^{2}) = 7, \\ \log_{2} x + 2 \log_{4} y = 6 . \end{cases}$

ОДЗ: x > 0, y > 0.

$\{\begin{cases} \log_{2} (x^{2} + y^{2}) = \log_{2} 128, \\ \log_{2} x + \log_{2} y = \log_{2} 64, \end{cases} \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 128, \\ x y = 64 . \end{cases}$

Умножим второе уравнение системы на 2 и вычтем из первого уравнения второе:

$х^{2} - 2 𝑥 𝑦 + у^{2} = 0,$

${(𝑥 - 𝑦)}^{2} = 0,$

$𝑥 = 𝑦 .$

Подставим найденное значение для переменной в первое уравнение: $2 x^{2} = 128, x = \pm 8 .$

Из второго уравнения системы выразим переменную y: $y = \frac{64}{x}$ .

Если x=8, то $y = \frac{64}{x} = 8 .$ Если x = -8, то $y = \frac{64}{- 8} = - 8 .$ Так как по ОДЗ x, y – положительные числа, то решение (8;8).

Ответ: (8; 8).

Упражнение 1

Решить уравнение:

а) $\log_{3} (x^{3} + x) - \log_{3} x = \log_{3} 10;$

б) ${\log_{\frac{1}{3}}}^{2} (x - 2) + \log_{\frac{1}{3}} (x - 2) = 2;$

в) $\{\begin{cases} \log_{4} x - \log_{4} y = \log_{4} 8, \\ 4 y^{2} + x - 5 = 0 . \end{cases}$

Контрольные вопросы

1. Верно ли, что уравнение $a^{f (x)} = a^{g (x)},$ где $a > 0, a \neq 1$ , равносильно уравнению $f (x) = g (x) ?$

2. Верно ли, что уравнение $\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x),$ где $a > 0, a \neq 1$ , равносильно уравнению $f (x) = g (x) ?$

3. Сколько корней имеет уравнение $\log_{4} x = 4 - 3 x ?$

Ответы

Упражнение 1

а)3;

б) $2 \frac{1}{3}; 11;$

в) $(4; \frac{1}{2}) .$

Конспект урока: Логарифмические уравнения

Решение уравнений и неравенств