Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Логарифмические уравнения

Решение уравнений и неравенств

28.03.2024
1565
0

Логарифмические уравнения

 

План урока

  • Введение понятия логарифмического уравнения
  • Основные методы решения логарифмических уравнений
  • Решение логарифмических уравнений

Цели урока

  • Знать, что такое логарифмическое уравнение, методы решения логарифмических уравнений
  • Уметь решать логарифмические уравнения

Разминка

1. Вспомните свойства логарифмов и логарифмической функции.

 

2. Представьте число a в виде логарифма по основанию b:

 

а) a = 3, b = 2

б) a = 0, b = 5

в) a = 4, b = 2

г) a = -1, b = 9.

 

3. Найти область определения функций:
 

а) y=log36x+2;

б) y=log14x2+3x-18;

в) y=log8-x.

 

4. Что такое равносильные уравнения? Уравнения-следствия?


Логарифмическими уравнениями  называют уравнения вида 

logafx=logagx,            (1)

где a>0, a1 и уравнения, сводящиеся к этому виду.


При решении логарифмического уравнения исходное уравнение всевозможными преобразованиями приводят к виду (1), откуда переходят к уравнению вида f(x)=g(x), решают его, проверяют найденные значения подстановкой в исходное уравнение. Или, можно использовать теорему:


Т е о р е м а. Если – решение системы неравенств 

f(x)>0,g(x)>0,то уравнение logafx=logagx, где a>0, a1 равносильно на множестве Х уравнению f(x)=g(x).

 

Иными словами: сначала найти область допустимых значений уравнения logafx=logagx, затем перейти к уравнению f(x)=g(x), решить его, убедиться, что все найденные корни принадлежат ОДЗ.


Пример 1

Решить:

 

а)log2x-2+log2x-3=1;

б)log3x-1+2log917+x=7+log139;

в)log221-x-2log21-x=3;

г)log2x2+y2=7,log2x+2log4y=6.


Решение

 

а)log2x-2+log2x-3=1.

 

1 способ. Применив одно из свойств логарифма, заменим исходное уравнение на уравнение-следствие: log2(x-2(x-3))=1. Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: 1=log22. Уравнение примет вид: log2(x-2(x-3))=log22. Тогда 

(x-2)(x-3)=2,

x2-5x+4=0,

x1=4; x2=1.

 

Проверка:

Если x = 4, то log24-2+log24-3=1,

log22+log21=1,

1+0=1 – верно, значит, x = 4 является корнем уравнения.

Если x = 1, то log21-2+log21-3=1,

log2-1+log2-2=1 – неверно, т.к. левая часть уравнения теряет смысл, значит, x = 1 не является корнем уравнения.

 

2 способ. ОДЗ: x-2>0,x-3>0,x>2,x>3,x>3.

 

От исходного уравнения перейдем к уравнению (x-2)(x-3)=2,

x2-5x+4=0,

x1=4; x2=1.

Корень x=1 не принадлежит ОДЗ, значит x=4.

 

Ответ: 4.


б)log3x-1+2log917+x=7+log139.

ОДЗ: x-1>0,17+x>0,    x>1,x>-17,    x>1.

log3x-1+2log3217+x=7×log33+log3-132,

log3x-1+log317+x=log337-log332,

log3(x-1(17+x))=log33732,

(x-1)(17+x)=243,

x2+16x-260=0,

x1=-26, x2=10.

Корень x=-26 не принадлежит ОДЗ уравнения, значит, x=10.

 

Ответ: 10.


в)log221-x-2log21-x=3.

ОДЗ: 1 - x > 0, x < 1.

Пусть log21-x=t, тогда уравнение примет вид t2-2t-3=0, t1=3, t2=-1.

Вернемся к исходной переменной:

log21-x=3 или log21-x=-1

1-x=8,                 1-x=12,

x=-7.                    x=12.

Оба корня входят в ОДЗ уравнения.

 

Ответ: -7; 12.


г) log2x2+y2=7,log2x+2log4y=6.

ОДЗ: x > 0, y > 0.

log2x2+y2=log2128,log2x+log2y=log264,x2+y2=128,xy=64.

 

Умножим второе уравнение системы на 2 и вычтем из первого уравнения второе:

х22𝑥𝑦+у2=0,

(𝑥𝑦)2=0,

𝑥=𝑦.

Подставим найденное значение для переменной  в первое уравнение: 2x2=128, x=±8.

 

Из второго уравнения системы выразим переменную y: y=64x.

Если x=8, то y=64x=8. Если x = -8, то y=64-8=-8. Так как по ОДЗ x, y – положительные числа, то решение (8;8).

 

Ответ: (8; 8).


Упражнение 1

Решить уравнение:

 

а)log3x3+x-log3x=log310;

б)log132x-2+log13x-2=2;

в)log4x-log4y=log48,4y2+x-5=0.


Контрольные вопросы

1. Верно ли, что уравнение af(x)=ag(x), где a>0, a1, равносильно уравнению f(x)=g(x)?

2. Верно ли, что уравнение logafx=logagx, где a>0, a1, равносильно уравнению f(x)=g(x)?

3. Сколько корней имеет уравнение log4x=4-3x?


Ответы

Упражнение 1

а)3;

б)213; 11;

в)(4;12).


Предыдущий урок
Логарифмы
Логарифмы
Следующий урок
Равносильные уравнения и неравенства
Решение уравнений и неравенств
Поделиться:
  • Степенная функция, её свойства и график

    Алгебра

  • Центр масс. Теорема о движении центра масс

    Физика

  • Предлоги. Правописание предлогов

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке