Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Показательные уравнения

Решение уравнений и неравенств

28.03.2024
1511
0

Показательные уравнения

План урока

  • Введение понятия показательного уравнения
  • Методы решения показательных уравнений и демонстрация их применения на конкретных примерах

Цели урока

  • Знать определение показательного уравнения, методы его решения
  • Уметь решать показательные уравнения с использованием свойств степени, с помощью разложения выражений, содержащих степени, на множители, введением новой переменной, функционально-графическим способом

Разминка

1. Выяснить, возрастающей или убывающей является функция: 

а) y=6,7x;    б) y=0,3x;      в) y=(65)x.

 

2. Сравнить:

а) (83)6 и (83)6,3;    б) (34)9 и (43)-10;  в) (22)-13 и 213.

 

3. Представить числа:

а) 1; 64; 132; 0,25 в виде степени числа 2;

б) 19; 343; 3; 127 в виде степени числа 3. 

 

4. Какие преобразования приводят к уравнению, равносильному данному? Какие к уравнению-следствию?


Показательное уравнение – уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.


Методы решения показательных уравнений

 

1. Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение

 

                                                                              af(x)=ag(x)                                 (1)                      

                 

равносильно уравнению f(x)=g(x), где a>0,a1.


Пример 1

Решить уравнение 0,36-3x=0,09.


Решение

 

0,36-3x=0,09,

0,36-3x=0,32,

6-3x=2

x=43

x=113

 

Ответ: 113.


2. Иногда, чтобы привести показательное уравнение к виду (1), нужно разложить левую часть уравнения на множители, в частности, вынести за скобки общий множитель, например:

 

ax+1-ax-1=b

ax(a-1a)=b, и т.д.

 

Или, например, разделить обе части уравнения на выражение, не равное нулю, например:

 

ax=bx

axbx=1

(ab)x=1 и т.д.


Пример 2

Решить уравнение 3x-2-3x-3=6.


Решение

 

3x-2-3x-3=6,

3x-2(1-13)=6,

3x-2=9,

x-2=2,

x=4.

 

Ответ: 4.


3. Метод введения новой переменной. Главное, помнить, что показательная функция не может принимать отрицательные значения.


Пример 3

Решить уравнение 25x+4×5x-5=0


Решение

 

25x+4×5x-5=0

Пусть 5x=t,t>0. Тогда уравнение примет вид:

 

t2+4t-5=0,

t1=1;t2=-5.

 

Корень t2=-5 не подходит, т.к. он отрицательный. Вернемся к исходной переменной:

 

5x=1,

x=0.

 

Ответ: 0.


4. Функционально-графический метод решения показательного уравнения. В одной и той же системе координат строят графики левой и правой частей уравнения, находят значения абсцисс точек пересечения графиков. По возможности, производят проверку с целью уточнения корня уравнения.


Пример 4

Решить уравнение 9|x+2|=3.


Решение

Рис. 1

В одной и той же системе координат построим графики функции y=9x+2 и y=3 (рис. 1).

 

Графики функций пересекаются в двух точках А(-2,5; 3) и В(-1,5; 3). Абсциссы этих точек и будут решениями исходного уравнения, т.е. x1=-2,5,x2=-1,5.

 

Проверка: если x=-2,5, то 9-2,5+2=3,  

90,5=3 – верно, значит x=-2,5 является корнем уравнения;  

если x=-1,5, то 9-1,5+2=3,  90,5=3  – верно, тогда x=-1,5 тоже является корнем исходного уравнения.

 

Ответ: -2,5; -1,5.


Замечание: при решении уравнения f(x)=g(x), где y=f(x) – убывающая функция, а  y=g(x)  – возрастающая функция (и наоборот) на одном и том же промежутке, и на этом промежутке находится корень уравнения, то этот корень будет единственным на данном промежутке.


Упражнение 1

Решить уравнение:
 

а) (13)5-2x=27;     б) 4x-3+4x=65;      в) 9x-10×3x+9=0;      г) 23-x=4.


Итак:

 

  1. Показательное уравнение – уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.
  2. При решении показательного уравнения нужно свести исходное уравнению к виду af(x)=ag(x),  a1,a>0. Это можно сделать любым удобным способом: разложением левой части уравнения на множители, заменой переменной,  делению обеих частей уравнения на отличное от нуля выражение. Также иногда применим и функционально-графический метод решения.


Контрольные вопросы

  1. Назовите основные методы решения показательных уравнений.
  2. Верно ли, что уравнение 43x-9=64x2 равносильно уравнению x-3=x2. Ответ обоснуйте.
  3. Сколько корней имеет уравнение 5x=5-x? Ответ обоснуйте.


Ответы

Упражнение 1

 

а) 4;       б) 3;            в) 0; 2;        г) -1; 7.


 

Предыдущий урок
Иррациональные неравенства
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Иррациональные уравнения
Решение уравнений и неравенств
Поделиться:
  • Фенол

    Химия

  • Особенности развития современного мирового хозяйства

    География

  • Центр масс. Теорема о движении центра масс

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке