- Понятие иррационального неравенства
- Методы решения иррациональных неравенств
- Решение иррациональных неравенств
- Знать понятие иррационального неравенства, методы его решения
- Уметь решать иррациональные неравенства
1. Найти ОДЗ неравенства
а) ;
б) .
2. Какой функции соответствует график:
а) ; б) ; в) ; г)

Иррациональные неравенства
Иррациональным неравенством называется неравенство, содержащее переменную под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень.
Методы решения иррациональных неравенств
Основным методом избавления от корня −й степени является возведение обеих частей неравенства в −ую степень. Но следует помнить, что такое действие может привести к потере решений или получению посторонних.
Пример 1
Решить неравенство:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Решение
а)
Левая часть неравенства неотрицательна при всех из области допустимых значений (). Значит, она не может принимать значений, меньших .
Ответ: нет решений.
б)
ОДЗ: . Возведем обе части неравенства во вторую степень: , откуда . Тогда решением неравенства будет промежуток .
Ответ: .
в)
ОДЗ: . Возведем обе части неравенства в квадрат: , откуда . Тогда решением неравенства будет промежуток .
Ответ: .
г)
ОДЗ: . На этом промежутке левая часть неравенства определена и неотрицательна. Тогда решением будут все значения из ОДЗ.
Ответ: .
д)
ОДЗ: . Нужно избавиться от корня, а для этого возвести в квадрат обе части неравенства. Но правая часто неравенства может быть как положительная, так и неположительная. Поэтому рассмотрим два случая:
1 случай. Если , , то неравенство не имеет решений, т. к. левая его часть неотрицательна.
2 случай. Если , , то обе части неравенства неотрицательны, возведем их во вторую степень. Получим , равносильное исходному. Таким образом, неравенство равносильно системе неравенств . Решив данную систему, получим .
Ответ: .
Для решения неравенств такого типа как в примере 1 д) можно воспользоваться утверждением.
Утверждение 1
Неравенство вида равносильно системе
Неравенство вида равносильно системе
Пример 2
Решите неравенство .
Решение
ОДЗ: . Аналогично предыдущему примеру, рассмотрим два случая, когда правая часть неотрицательна и отрицательна.
1 случай. Если , , то решением неравенства являются все значения , удовлетворяющие системе неравенств , откуда ,
2 случай. Если , , то возведем в квадрат обе части неравенства. Исходное неравенство будет равносильно системе неравенств . Решив последнюю, получим .
Для записи решения объединим решения двух случаев: .
Ответ: .
Утверждение 2
Неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств и .
Неравенство вида равносильно .
Утверждение 3
Утверждение 4
Утверждение 5
При решении неравенств вида (знак может быть ) можно
воспользоваться следующим алгоритмом:
- Найти область допустимых значений неравенства.
- Возвести обе части неравенства во вторую степень.
- Выполнить преобразования так, чтобы выражение под корнем стояло по одну сторону от знака неравенства, все остальное – по другую сторону.
- Возвести обе части неравенства во вторую степень.
- Решить получившееся неравенство.
- Выбрать решения, удовлетворяющие области допустимых значений.
Упражнение
Решить неравенство:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д)
Контрольные вопросы
1. Опишите способы решения неравенства .
2. Опишите способы решения неравенства .
Упражнение
а) нет решений;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .