Конспект урока: Иррациональные неравенства

План урока

• Понятие иррационального неравенства 
• Методы решения иррациональных неравенств 
• Решение иррациональных неравенств 

Цели урока

• Знать понятие иррационального неравенства, методы его решения
• Уметь решать иррациональные неравенства

Разминка

1. Найдите область допустимых значений неравенств
 

1) $\frac{\sqrt{x-5}·\sqrt{x}}{\sqrt{12-x}}\ge 5$;

2) $\sqrt{\frac{(x-5)x}{12-x}\le 3}$.

 

2. Какой функции соответствует график:
 

1) $y=\sqrt{x}$;     2) $y=\sqrt{x}+4$;     3) $y=\sqrt{x+4}$;     4) $y=\sqrt{x-4}$

Иррациональные неравенства 

Методы решения иррациональных неравенств 

Основным методом избавления от корня $n$ −й степени является возведение обеих частей неравенства в $n$ −ую степень. Но следует помнить, что такое действие может привести к потере решений или получению посторонних. 

Решите неравенство:

1) $\sqrt{4-x}<-5$;

2) $\sqrt{4-x}<5$;

3) $\sqrt{4-x}>5$;

4) $\sqrt{4-x}>-5$;

5) $\sqrt{x+8}<x+2$.

Решение
 

1) $\sqrt{4-x}<-5$
 

Левая часть неравенства неотрицательна при всех $x$ из области допустимых значений ($x\le 4$). Значит, она не может принимать значений, меньших $-5$. 

Ответ: нет решений.

2) $\sqrt{4-x}<5$
 

ОДЗ: $x\le 4$. Возведем обе части неравенства во вторую степень: $4-𝑥<25$, откуда $𝑥>-21$. Тогда решением неравенства будет промежуток $(-21; 4]$. 

Ответ: $(-21; 4]$. 

3) $\sqrt{4-x}>5$
 

ОДЗ: $x\le 4$. Возведем обе части неравенства в квадрат: $4-x>25$, откуда $x<-21$. Тогда решением неравенства будет промежуток $(-\infty ;-21)$.

Ответ: $(-\infty ;-21)$.

4) $\sqrt{4-x}>-5$
 

ОДЗ: $x\le 4$. На этом промежутке левая часть неравенства определена и неотрицательна. Тогда решением будут все значения $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x\le 4$.

5) $\sqrt{x+8}<x+2$
 

ОДЗ: $x\ge -8$. Нужно избавиться от корня, а для этого возвести в квадрат обе части неравенства. Но правая часть неравенства может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Поэтому рассмотрим два случая: 

1 случай. Если $x+2<0$, $x<-2$, то неравенство не имеет решений, т. к. левая его часть неотрицательна. 
 

2 случай. Если $x+2\ge 0$, $x\ge -2$, то обе части неравенства неотрицательны, возведем их во вторую степень. Получим $x+8<x^2+4x+4$, равносильное исходному. Таким образом, неравенство $\sqrt{x+8}<x+2$ равносильно системе неравенств $\left\{\begin{array}{l}x\ge -2,\\ x^2+3x-4>0.\end{array}\right.$ Решив данную систему, получим $x>1$.

Ответ:  $x>1$.

Для решения неравенств такого типа как в примере 1 5) можно воспользоваться утверждением. 

Неравенство вида $\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right)$ равносильно системе
 

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)<g^2\left(x\right)\end{array}\right.$

Неравенство вида $\sqrt{f\left(x\right)}\le g\left(x\right)$ равносильно системе

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)\le g^2\left(x\right)\end{array}\right.$

Решите неравенство $\sqrt{x+8}>x+2$. 

Решение

ОДЗ: $𝑥\ge -8$. Аналогично предыдущему примеру, рассмотрим два случая, когда правая часть неотрицательна и отрицательна. 

1 случай. Если $𝑥+2<0$, $𝑥<-2$, то решением неравенства являются все значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств $\left\{\begin{array}{l}x+8\ge 0,\\ x+2<0,\end{array}\right.$ откуда $x\in [-8; -2)$,

2 случай. Если $𝑥+2\ge 0$, $𝑥\ge -2$, то возведем в квадрат обе части неравенства. Исходное неравенство будет равносильно системе неравенств $\left\{\begin{array}{l}x\ge -2,\\ x^2+3x-4<0.\end{array}\right.$ Решив последнюю, получим $x\in [-2; 1)$. 

Для записи решения объединим решения двух случаев: $x\in [-8; 1)$.

Ответ: $[-8; 1)$.

Неравенство вида $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$ равносильно совокупности двух систем неравенств  $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\ f\left(x\right)\ge 0\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0,\\ f\left(x\right)>g^2\left(x\right).\end{array}\right.$

Неравенство вида $\sqrt{f\left(x\right)}\ge g\left(x\right)$ равносильно совокупности двух систем неравенств $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\le 0,\\ f\left(x\right)\ge 0\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)>0,\\ f\left(x\right)\ge g^2\left(x\right).\end{array}\right.$

$\sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)}\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)<g\left(x\right)\\ f\left(x\right)\ge 0\end{array}\right.$

Неравенство вида $f\left(x\right)·\sqrt{g\left(x\right)}\ge 0$ равносильно совокупности двух систем $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)=0,\\ f\left(x\right) \mathrm{определена}\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)>0,\\ f\left(x\right)\ge 0.\end{array}\right.$

При решении неравенств вида $\sqrt{f\left(x\right)}\pm \sqrt{g\left(x\right)}<h\left(x\right)$ (знак может быть $>$) можно воспользоваться следующим алгоритмом: 

1. найти область допустимых значений неравенства;
2. возвести обе части неравенства во вторую степень;
3. выполнить преобразования так, чтобы выражение под корнем стояло по одну сторону от знака неравенства, все остальное – по другую сторону;
4. возвести обе части неравенства во вторую степень;
5. решить получившееся неравенство;
6. выбрать решения, удовлетворяющие области допустимых значений.

Решите неравенство:
 

1) $\sqrt{4x-2}<-1$;

2) $\sqrt{1-2x}\le 6$;

3) $\sqrt{\frac{x}{3}-2}\ge -2$;

4) $\sqrt{x^2-x-12}<x$;

5) $\sqrt{x-3}>x-5$