Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Иррациональные неравенства

Решение уравнений и неравенств

23.07.2024
2350
0

Иррациональные неравенства

План урока

  • Понятие иррационального неравенства 
  • Методы решения иррациональных неравенств 
  • Решение иррациональных неравенств 

Цели урока

  • Знать понятие иррационального неравенства, методы его решения
  • Уметь решать иррациональные неравенства

Разминка

1. Найдите область допустимых значений неравенств
 

1) x-5·x12-x5;

2) (x-5)x12-x3.

 

2. Какой функции соответствует график:
 

1)  y=x;     2) y=x+4;     3) y=x+4;     4) y=x-4

Иррациональные неравенства 


Иррациональным неравенством называется неравенство, содержащее переменную под знаком корня. 


Методы решения иррациональных неравенств 

 

Основным методом избавления от корня n −й степени является возведение обеих частей неравенства в n −ую степень. Но следует помнить, что такое действие может привести к потере решений или получению посторонних. 


Пример 1

Решите неравенство:

 

1) 4-x<-5;

2) 4-x<5;

3) 4-x>5;

4) 4-x>-5;

5) x+8<x+2.


Решение
 

1) 4-x<-5
 

Левая часть неравенства неотрицательна при всех x из области допустимых значений (x4). Значит, она не может принимать значений, меньших 5

 

Ответ: нет решений.


2) 4-x<5
 

ОДЗ: x4. Возведем обе части неравенства во вторую степень: 4𝑥<25, откуда 𝑥>21. Тогда решением неравенства будет промежуток (21; 4]

 

Ответ: (21; 4]


3) 4-x>5
 

ОДЗ: x4. Возведем обе части неравенства в квадрат: 4-x>25, откуда x<-21. Тогда решением неравенства будет промежуток (-;-21).

 

Ответ: (-;-21).


4) 4-x>-5
 

ОДЗ: x4. На этом промежутке левая часть неравенства определена и неотрицательна. Тогда решением будут все значения x из ОДЗ.

 

Ответ: x4.


5) x+8<x+2
 

ОДЗ: x-8. Нужно избавиться от корня, а для этого возвести в квадрат обе части неравенства. Но правая часть неравенства может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Поэтому рассмотрим два случая: 

 

1 случай. Если x+2<0x<-2, то неравенство не имеет решений, т. к. левая его часть неотрицательна. 
 

2 случай. Если x+20x-2, то обе части неравенства неотрицательны, возведем их во вторую степень. Получим x+8<x2+4x+4, равносильное исходному. Таким образом, неравенство x+8<x+2 равносильно системе неравенств x-2,x2+3x-4>0. Решив данную систему, получим x>1.

 

Ответ:  x>1.


Для решения неравенств такого типа как в примере 1 5) можно воспользоваться утверждением. 


Утверждение 1 

Неравенство вида f(x)<gx равносильно системе
 

fx0gx>0fx<g2x

 

Неравенство вида fxgx равносильно системе


fx0gx0fxg2x


Пример 2

Решите неравенство x+8>x+2


Решение

 

ОДЗ: 𝑥8. Аналогично предыдущему примеру, рассмотрим два случая, когда правая часть неотрицательна и отрицательна. 

 

1 случай. Если 𝑥+2<0𝑥<2, то решением неравенства являются все значения x, удовлетворяющие системе неравенств x+80,x+2<0, откуда x[-8; -2),

2 случай. Если 𝑥+20𝑥2, то возведем в квадрат обе части неравенства. Исходное неравенство будет равносильно системе неравенств x-2,x2+3x-4<0. Решив последнюю, получим x [2; 1)

Для записи решения объединим решения двух случаев: x [8; 1).

 

Ответ: [8; 1).


Утверждение 2 

Неравенство вида f(x)>gx равносильно совокупности двух систем неравенств  g(x)<0,f(x)0 и g(x)0,fx>g2x.

 

Неравенство вида fxgx равносильно совокупности двух систем неравенств gx0,fx0 и gx>0,fxg2x.


Утверждение 3 

fx<gxfx<gxfx0


Утверждение 4 

Неравенство вида fx·gx0 равносильно совокупности двух систем gx=0,fx определена и gx>0,fx0.


Утверждение 5 

При решении неравенств вида fx±gx<hx (знак может быть >) можно воспользоваться следующим алгоритмом: 

  1. найти область допустимых значений неравенства;
  2. возвести обе части неравенства во вторую степень;
  3. выполнить преобразования так, чтобы выражение под корнем стояло по одну сторону от знака неравенства, все остальное – по другую сторону;
  4. возвести обе части неравенства во вторую степень;
  5. решить получившееся неравенство;
  6. выбрать решения, удовлетворяющие области допустимых значений.


Упражнение

Решите неравенство:
 

1) 4x-2<-1;

2) 1-2x6;

3) x3-2-2;

4) x2-x-12<x;

5) x-3>x-5


Контрольные вопросы

 

1. Опишите способы решения неравенства f(x)<gx.

2. Опишите способы решения неравенства f(x)>gx.


Ответы

Упражнение
 

1) нет решений; 

2) x-352;12;        

3) x6

4) x4;

5) x[3;7).


Предыдущий урок
Логарифмические уравнения
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Показательные уравнения
Решение уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Морфемика. Словообразование и формообразование

    Русский язык

  • A film review. Отзыв на фильм

    Английский язык

  • Artists. Люди искусства

    Английский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке