Логарифмические неравенства

План урока

Введение понятия логарифмического неравенства
Алгоритм решения логарифмических неравенств
Решение логарифмических неравенств

Цели урока

Знать, что такое логарифмическое неравенство, методы его решения
Уметь решать логарифмические неравенства

Разминка

1.Возрастающей или убывающей является функция

а) $y = l o g_{2} x$ ; б) $y = l o g_{\frac{1}{e}} x$ ; в) $y = l o g_{0, 9} x$ .

2. Записать числа:

а) $1; 0; - 2; 4; \frac{1}{3}$ в виде логарифма по основанию 2;

б) $1; 0; - 3; 5; \frac{1}{2}$ в виде логарифма по основанию 3.

3. Найти область определения функций:

а) $y = l o g_{2} (5 - 2 x)$ ; б) $y = l o g_{\frac{1}{4}} (x + 9)$ ; в) $y = l g (x^{2} + 3)$ .

Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида

$l o g_{a} f (x) > l o g_{a} g (x)$ , (1)

где $a > 0, a \neq 1$ , и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Вообще говоря, знак неравенства может быть любой $(>, <, \leq, \geq)$ . Далее в параграфе будем это учитывать.

Простейшие логарифмические неравенства вида

$l o g_{a} x > b$ (2)

или

$l o g_{a} x < b$ (3)

где $a > 0, a \neq 1$ , имеют решения при любом действительном b.

Рис. 1 Рис. 2

Если $a > 1$ (см. рис. 1), то решение неравенства (2) — $x > a^{b}$ , неравенства (3) — $x \in (0; a^{b})$ .

Если $0 < a < 1$ (см. рис. 2), то решение неравенства (2) — $x \in (0; a^{b})$ , неравенства (3) — $x > a^{b}$ .

Алгоритм решения логарифмического неравенства

Найти область допустимых значений неравенства.
Представить (если это возможно) обе части неравенства в виде логарифма по одному и тому же основанию: $l o g_{a} f (x) > l o g_{a} g (x)$ .
Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция $y = l o g_{a} x$ : если $a > 1$ , то функция возрастает, если $0 < a < 1$ , то убывает.
Перейти к более простому неравенству, учитывая тот факт, что если функция возрастающая, то знак неравенства остается тем же, если убывающая, то меняется на противоположный.
Решить полученное неравенство, записать ответ с учетом области допустимых значений, найденной в пункте 1.

Метод решения простейших неравенств вида (2), (3), описанный выше, вполне можно заменить этим алгоритмом.

Пример 1

Решить неравенство:

а) $l o g_{0, 5} (1 - x) > - 1$ ;

б) $(l o g_{3} x - 2) \sqrt{x^{2} - 4} \leq 0$ ;

в) $l o {g_{0, 1}}^{2} x + l o g_{0, 1} x < 6$ ;

г) $l o g_{7} (x - 3, 5) + l o g_{7} (x - 2) < 1$ .

Решение

а) $l o g_{0, 5} (1 - x) > - 1$ .

ОДЗ: $1 - x > 0, x < 1$ .

Представим –1 в виде логарифма по основанию 0,5: $- 1 = l o g_{0, 5} 2$ . Исходное неравенство примет вид $l o g_{0, 5} (1 - x) > l o g_{0, 5} 2$ . Основание логарифмической функции $y = l o g_{0, 5} x$ находится в промежутке $(0; 1)$ , значит, функция убывающая, при переходе от этого неравенства к более легкому, знак поменяется на противоположный, т.е. $1 - x < 2, x > - 1$

С учетом области допустимых значений решение — $x \in (- 1; 1)$ .

Ответ: $x \in (- 1; 1)$

б) $(l o g_{3} x - 2) \sqrt{x^{2} - 4} \leq 0$ .

Найдем область допустимых значений неравенства – логарифм определен на множестве положительных чисел, арифметический квадратный корень на множестве неотрицательных чисел, значит

$\{\begin{cases} x > 0 \\ x^{2} - 4 \geq 0 \end{cases}$

Рис. 3

Решением второго неравенства системы является промежуток $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ . Учитывая первое неравенство системы, получим ОДЗ $x \geq 2$ .

Исходное неравенство решим методом интервалов, для этого найдем нули каждого множителя, нанесем их на числовую прямую с учетом области допустимых значений и определим знаки на каждом из получившихся промежутков.

$l o g_{3} x - 2 = 0$ или $\sqrt{x^{2} - 4} = 0,$
$l o g_{3} x = 2,$ $x^{2} - 4 = 0,$

$x = 9$ $x = \pm 2$

Корень -2 не входит в ОДЗ.

Решением будет отрезок $[2; 9]$

Ответ: $[2; 9] .$

в) $l o {g_{0, 1}}^{2} x + l o g_{0, 1} x < 6$

ОДЗ: $x > 0$ .

Пусть $l o g_{0, 1} x = t$ , тогда неравенство примет вид $t^{2} + t - 6 < 0$ , решив которое, найдем $t \in (- 3; 2)$ . Вернемся к исходной переменной:

$\{\begin{cases} l o g_{0, 1} x > - 3, \\ l o g_{0, 1} x < 2, \end{cases}$ $\{\begin{cases} l o g_{0, 1} x > l o g_{0, 1} 1000, \\ l o g_{0, 1} x < l o g_{0, 1} 0, 01 . \end{cases}$

Так как основание логарифма $a = 0, 1 и 0 < 0, 1 < 1$ , то

$\{\begin{cases} x < 1000, \\ x > 0, 01 . \end{cases}$

Или $x \in (0, 01; 1000)$ .

Ответ: $x \in (0, 01; 1000)$ .

г) $l o g_{7} (x - 3, 5) + l o g_{7} (x - 2) < 1$ .

Запишем решение этого неравенства несколько иначе. Данное неравенство равносильно системе из трех неравенств:

$\{\begin{cases} x - 3, 5 > 0, \\ x - 2 > 0, \\ l o g_{7} (x - 3, 5) + l o g_{7} (x - 2) < l o g_{7} 7, \end{cases}$

которая в свою очередь равносильна каждой из систем

$\{\begin{cases} x > 3, 5, \\ x > 2, \\ l o g_{7} ((x - 3, 5) (x - 2)) < l o g_{7} 7, \end{cases}$

$\{\begin{cases} x > 3, 5, \\ (x - 3, 5) (x - 2) < 7, \end{cases}$

$\{\begin{cases} x > 3, 5, \\ 0 < x < 5, 5 . \end{cases}$

Значит, $3, 5 < x < 5, 5$ .

Ответ: $3, 5 < x < 5, 5$ .

Упражнение 1

Решить неравенство:

а) $(2 - l o g_{2} x) \sqrt{x^{2} - 1} \geq 0$ ;

б) $l o {g_{2}}^{2} x + 3 l o g_{2} x < - 5$ ;

в) $l o g_{2} (2 x + 15) < l o g_{2} (5 x) + l o g_{2} (x - 4)$ .

Контрольные вопросы

Если $a > 1, f (x) > 0, g (x) > 0$ , верно ли, что $l o g_{a} f (x) > l o g_{a} g (x)$ равносильно $f (x) < g (x)$ ?
Если $a > 1, f (x) > 0, g (x) > 0$ , верно ли, что $l o g_{a} f (x) > l o g_{a} g (x)$ равносильно $f (x) > g (x)$ ?
Если $0 < a < 1, f (x) > 0, g (x) > 0$ , верно ли, что $l o g_{a} (x) > l o g_{a} g (x)$ равносильно $f (x) < g (x)$ ?
Если $0 < a < 1, f (x) > 0, g (x) > 0$ , верно ли, что $l o g_{a} (x) > l o g_{a} g (x)$ равносильно $f (x) > g (x)$ ?

Ответы

Упражнение 1

а) $[1; 4]$ ; б) нет решений; в) $x > 5$ .

Конспект урока: Логарифмические неравенства

Решение уравнений и неравенств