Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Логарифмические неравенства

Решение уравнений и неравенств

Логарифмические неравенства

План урока

  • Введение понятия логарифмического неравенства
  • Алгоритм решения логарифмических неравенств
  • Решение логарифмических неравенств

Цели урока

  • Знать, что такое логарифмическое неравенство, методы его решения
  • Уметь решать логарифмические неравенства

Разминка

1.Возрастающей или убывающей является функция
 

а) y=log2x;        б) y=log1ex;       в) y=log0,9x.

2. Записать числа:
 

а) 1;0;-2; 4; 13 в виде логарифма по основанию 2;

б) 1; 0; -3;5; 12 в виде логарифма по основанию 3.
 

3. Найти область определения функций:

а) y=log2(5-2x);     б) y=log14(x+9);        в)  y=lg(x2+3).


Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида
 

    logaf(x)>logag(x),    (1)
 

где  a>0,a1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Вообще говоря, знак неравенства может быть любой (>,<,,). Далее в параграфе будем это учитывать.


Простейшие логарифмические неравенства вида
 

                    logax>b           (2)

 

или 
 

                      logax<b            (3)

 

где a>0,a1, имеют решения при любом действительном b.
 

                                        Рис. 1                                                                       Рис. 2

 

Если  a>1 (см. рис. 1), то решение неравенства (2) — x>ab, неравенства (3) — x(0;ab).

Если  0<a<1 (см. рис. 2), то решение неравенства (2) — x(0;ab), неравенства (3) — x>ab.

 

 

Алгоритм решения логарифмического неравенства

 

  1. Найти область допустимых значений неравенства.
  2. Представить (если это возможно) обе части неравенства в виде логарифма по одному и тому же основанию: logaf(x)>logag(x).
  3. Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция y=logax: если a>1, то функция возрастает, если 0<a<1, то убывает.
  4. Перейти к более простому неравенству, учитывая тот факт, что если функция возрастающая, то знак неравенства остается тем же, если убывающая, то меняется на противоположный.
  5. Решить полученное неравенство, записать ответ с учетом области допустимых значений, найденной в пункте 1.

Метод решения простейших неравенств вида (2), (3), описанный выше, вполне можно заменить этим алгоритмом.


Пример 1

Решить неравенство:
 

          а) log0,5(1-x)>-1;

          б) (log3x-2)x2-40;

          в) log0,12x+log0,1x<6;

          г) log7(x-3,5)+log7(x-2)<1.


Решение

          

а) log0,5(1-x)>-1.

ОДЗ: 1-x>0,x<1.

Представим –1 в виде логарифма по основанию 0,5: -1=log0,52. Исходное неравенство примет вид log0,5(1-x)>log0,52. Основание логарифмической функции y = log0,5x находится в промежутке (0;1), значит, функция убывающая, при переходе от этого неравенства к более легкому, знак поменяется на противоположный, т.е. 1-x<2,  x>-1

С учетом области допустимых значений решение — x(-1;1).

 

Ответ: x(-1;1)


б) (log3x-2)x2-40.

Найдем область допустимых значений неравенства – логарифм определен на множестве положительных чисел, арифметический квадратный корень на множестве неотрицательных чисел, значит

x>0x2-40

 

Рис. 3 Рис. 3

Решением второго неравенства системы является промежуток (-;-2][2;+). Учитывая первое неравенство системы, получим ОДЗ x2.

Исходное неравенство решим методом интервалов, для этого найдем нули каждого множителя, нанесем их на числовую прямую с учетом области допустимых значений и определим знаки на каждом из получившихся промежутков.
 

log3x-2=0 или x2-4=0,
log3x=2,               x2-4=0,

x=9                        x=±2

 

Корень -2 не входит в ОДЗ.

Решением будет отрезок [2;9]

 

Ответ: [2;9].


в) log0,12x+log0,1x<6

ОДЗ: x>0.
 

Пусть log0,1x=t, тогда неравенство примет вид t2+t-6<0, решив которое, найдем t(-3;2). Вернемся к исходной переменной:
 

     log0,1x>-3,log0,1x<2,log0,1x>log0,11000,log0,1x<log0,10,01.
 

Так как основание логарифма a=0,1 и 0<0,1<1, то
 

 x<1000,x>0,01.
 

Или x(0,01;1000).

 

Ответ: x(0,01;1000).


г) log7(x-3,5)+log7(x-2)<1.
 

Запишем решение этого неравенства несколько иначе. Данное неравенство равносильно системе из трех неравенств:
 

x-3,5>0,x-2>0,log7(x-3,5)+log7(x-2)<log77,
 

которая в свою очередь равносильна каждой из систем
 

x>3,5,x>2,log7((x-3,5)(x-2))<log77,

x>3,5,(x-3,5)(x-2)<7,                    

x>3,5,0<x<5,5.

 

Значит, 3,5<x<5,5.

 

Ответ: 3,5<x<5,5.


Упражнение 1

Решить неравенство:
 

а) (2-log2x)x2-10;

б) log22x+3log2x<-5;

в) log2(2x+15)<log2(5x)+log2(x-4).


Контрольные вопросы

  1. Если a>1,f(x)>0,g(x)>0, верно ли, что logaf(x)>logag(x) равносильно f(x)<g(x)?
  2. Если a>1,f(x)>0,g(x)>0, верно ли, что logaf(x)>logag(x) равносильно f(x)>g(x)?
  3. Если 0<a<1,f(x)>0,g(x)>0, верно ли, что loga(x)>logag(x) равносильно f(x)<g(x)?
  4. Если 0<a<1,f(x)>0,g(x)>0, верно ли, что loga(x)>logag(x) равносильно f(x)>g(x)?


Ответы

Упражнение 1

а) [1;4];                     б) нет решений;          в)  x>5.


 

Предыдущий урок
Показательные уравнения
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Показательные неравенства
Решение уравнений и неравенств
  • Горнодобывающая промышленность мира

    География

  • Равносильные уравнения и неравенства

    Алгебра

  • Принципы русской орфографии. Правописание гласных в корне

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке