Иррациональные уравнения

План урока

Понятие иррационального уравнения
Методы решения иррациональных уравнений
Решение иррациональных уравнений

Цели урока

Знать понятие иррационального уравнения, методы его решения
Уметь решать иррациональные уравнения

Разминка

1. Укажите область допустимых значений выражений:

а) $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ ;

б) $\sqrt{a b} = \sqrt{- a} \sqrt{- b}$ ;

в) ${(\frac{a}{b})}^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ ;

г) $\sqrt{a^{2}} = - a$ ;

д) $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ ;

е) $\sqrt[6]{x^{2}} = \sqrt[3]{x}$ .

2. Определите, какое из двух уравнений является следствием другого:

а) $\frac{x^{2} - 3 x}{x} = 0$ и $x^{2} - 3 x = 0$ ;

б) $x - 5 = 0$ и $x (x - 5) = 0$ .

Иррациональные уравнения

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала (корня).

Методы решения иррациональных уравнений

Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но следует помнить, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается равносильное уравнение, в четную степень – уравнение-следствие. Поэтому основную трудность составляет возведение в четную степень, когда могут появиться посторонние корни, что требует дополнительной проверки всех полученных решений.

Однако, проверки корней можно избежать, если воспользоваться одним из следующих утверждений:

Утверждение 1

Уравнение вида $\sqrt[2 n]{f (x)} = g (x)$ , где $n \in N$ , равносильно системе

$\{\begin{cases} g (x) \geq 0 \\ f (x) = g^{2 n} (x) \end{cases}$

Утверждение 2

Уравнение вида $\sqrt[2 n]{f (x)} = \sqrt[2 n]{g (x)}$ , где $n \in N$ , равносильно системе

$\{\begin{cases} g (x) \geq 0 \\ f (x) = g (x) \end{cases}$

В этой системе условие $g (x) \geq 0$ можно заменить условием $f (x) \geq 0$ .

Утверждение 3

Уравнение вида $\sqrt[2 n + 1]{f (x)} = \sqrt[2 n + 1]{g (x)}$ , где $n \in N$ , равносильно уравнению $𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑥)$ .

Утверждение 4

Уравнение вида $\sqrt[2 n + 1]{f (x)} = g (x)$ , где $n \in N$ , равносильно уравнению $f (x) = g^{2 n + 1} (x)$ .

Пример 1

Решите уравнение:

1) $\sqrt{6 - 4 x - x^{2}} = x + 4$ ;

2) $\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 6} = 1$ ;

3) $\sqrt[3]{x^{3} - 26} = 1$ .

Решение

1) $\sqrt{6 - 4 x - x^{2}} = x + 4$ .

Решим это уравнение двумя способами.

1 способ. Возведем обе части уравнения во вторую степень:

$6 - 4 x - x^{2} = x^{2} + 8 x + 16,$

$x^{2} + 6 x + 5 = 0,$

$x_{1} = - 5; x_{2} = - 1 .$

Проверка:

Если $x = - 5$ , то $\sqrt{6 - 4 (- 5) - {(- 5)}^{2}} = - 5 + 4,$

$1 = - 1$ – неверно.

Значит, $x = - 5$ не является корнем уравнения.

Если $x = - 1$ , то $\sqrt{6 - 4 (- 1) - {(- 1)}^{2}} = - 1 + 4$ ,

$3 = 3$ – верно.

Значит, $x = - 1$ является корнем уравнения.

2 способ. Для решения уравнения воспользуемся утверждением 1.

$\{\begin{cases} x + 4 \geq 0, \\ 6 - 4 x - x^{2} = x^{2} + 8 x + 16, \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 4, \\ x^{2} + 6 x + 5 = 0, \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \geq - 4, \\ [\begin{matrix} x = - 5, \\ x = - 1, \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow x = - 1 .$

Ответ: –1.

2) $\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 6} = 1$

Решение

ОДЗ: $\{\begin{cases} 2 x + 5 \geq 0, \\ x + 6 \geq 0, \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 2, 5, \\ x \geq - 6, \end{cases} \Leftrightarrow x \geq - 2, 5 .$

$\sqrt{2 x + 5} = 1 + \sqrt{x + 6} .$

Возведем обе части уравнения во вторую степень:

$2 x + 5 = 1 + 2 \sqrt{x + 6} + x + 6,$

$2 \sqrt{x + 6} = x - 2$ .

Снова возведем обе части уравнения в квадрат, но при условии, что правая часть неотрицательна, т. е.

$x - 2 \geq 0$ , $x \geq 2$ (1)

$4 \cdot (x + 6) = x^{2} - 4 x + 4,$

$4 x + 24 = x^{2} - 4 x + 4,$

$x^{2} - 8 x - 20 = 0,$

$x_{1} = 10; x_{2} = - 2$

С учетом ОДЗ и условия (1) $x = 10$ .

Ответ: 10.

3) $\sqrt[3]{x^{3} - 26} = 1$

Решение

Возведем обе части уравнения в третью степень. Это приведет к уравнению, равносильному данному.

$x^{3} - 26 = 1,$

$x^{3} - 27 = 0,$

$x = 3$

Ответ: 3.

Иногда иррациональные уравнения удобно решать функционально-графическим способом. Для этого в одной системе координат строят графики обеих частей уравнения и находят точки их пересечений. Абсциссы этих точек и будут корнями уравнения.

Пример 2

Выясните с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение
$\sqrt{x + 6} = x^{2} - 3$ .

Решение

Рис. 1

Пусть $f (x) = \sqrt{x + 6}$ , $g (x) = x^{2} - 3$ .

Построим графики функций $f (x)$ , $g (x)$ в одной системе координат. Видим, что получилось две точки пересечения графиков, их абсциссы $x_{1}$ , $x_{2}$ – корни уравнения.

Ответ: 2 корня.

Упражнение

Решите уравнение:

1) $\sqrt{x + 7} + \sqrt{x - 2} = 9$ ;

2) $\sqrt{2 x^{2} + 8 x + 7} = x + 2$ .

Контрольные вопросы

Дано уравнение, содержащее один корень второй степени. Опишите алгоритм решения такого уравнения.
Дано уравнение, содержащее три корня второй степени. Опишите алгоритм решения такого уравнения.

Ответы

Упражнение

1) 18; 2) –1.

Конспект урока: Иррациональные уравнения

Решение уравнений и неравенств

Иррациональные уравнения