Конспект урока: Что такое функция. Вычисление значений функции по формуле

Числовые промежутки

Когда вы слышите слово «промежуток», что приходит вам в голову? Возможно, вы представите себе отрезок на числовой прямой или диапазон значений, которые могут принимать разные переменные. Числовые промежутки помогают нам не только упорядочить числа, но и находить решения уравнений, работать с неравенствами и анализировать различные математические задачи. В ходе нашего занятия мы рассмотрим, что такое числовые промежутки, как они обозначаются и какие имеют свойства. 

Рис. 1. Расположение точек $m$ и $n$

Пусть $m$ и $n$ – некоторые числа, причём $m<n$. Отметим на координатной прямой точки с координатами $m$ и $n$ (рис.  1).  Отметим точку, расположенную между ними. Ей соответствует число $x$ которое больше $m$ и меньше $n$. Верно и обратное утверждение: если число $x$ больше $m$ и меньше $n$, то оно изображается точкой, лежащей между точками с координатами $m$ и $n$.

Рис. 2. Отрезок

Множество чисел $\mathit{m}\mathbf{\le }\mathit{x}\mathbf{\le }\mathit{n}$, изображается на координатной прямой отрезком, ограниченным точками с координатами $m$ и $n$ (рис.  2).  Это множество называют числовым отрезком или просто отрезком и обозначают так:  $\left[m;n\right]$ (читают: отрезок от $m$ до $n$).

Множество чисел, удовлетворяющих условию $\mathit{m}\mathbf{<}\mathit{x}\mathbf{<}\mathit{n}$, называют интервалом и обозначают так: $\left(m;n\right)$ (читают: интервал от $m$ до $n$). Это множество изображено на рисунке 3. Светлые кружки означают, что числа $m$ и $n$ не  принадлежат этому множеству.

Рис. 3. Интервал

Рис. 4. Полуинтервал $m\le x<n$

Множества чисел $x$ для  которых выполняются двойные неравенства $\mathit{m}\mathbf{\le }\mathit{x}\mathbf{<}\mathit{n}$ или $\mathit{m}\mathbf{<}\mathit{x}\mathbf{\le }\mathit{n}$, называют полуинтервалами и обозначают соответственно $[m;n)$ и $(m;n]$ (читают: полуинтервал от $m$ до $n$, включая $m$; полуинтервал от $m$ до $n$, включая $n$). Пример полуинтервала изображён на рисунке 4.

Рассмотрим примеры других числовых промежутков. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству $\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathit{n}$, изображается лучом с началом в точке с координатой $n$, расположенным вправо от неё. Это множество называют замкнутым лучом (рис. 5). Множество чисел, удовлетворяющих неравенству $\mathit{x}\mathbf{>}\mathit{n}$, тоже изображаются лучом, но точка с координатой $n$ в этом случае не включается (рис. 6). Его называют открытым лучом. 

Рис. 5. Замкнутый луч

Рис. 6. Открытый луч

Задайте неравенством числовой промежуток, изображённый на рисунке:

Решение

а) На рисунке изображен замкнутый луч, так как точка с координатой $-1$ имеет темный цвет, значит число $-1$ включено в множество, отмеченное на рисунке. 

Тогда, $x\ge -1$.

б) На рисунке изображен числовой отрезок, так как точки с координатами $-2$ и $2,5$ имеют темный цвет. Тогда, $-2\le x\le 2,5$.

в) На рисунке изображен полуинтервал, так как точка с координатой $4$ имеет темный цвет, а точка с координатой $12$ – светлый. 

Тогда, $4\le x<12$.

г) На рисунке изображен интервал, так как точки с координатами $-5$ и $0,2$ имеют светлый цвет. 

Тогда, $-5<x<0,2$.

Ответ:  a) $x\ge -1$; б) $-2\le x\le 2,5$;

в) $4\le x<12;$ г) $-5<x<0,2$.

Из курса математики вы уже знаете, что расстояние на координатной прямой от произвольной точки $x$ до начала (т. е. до точки с координатой  $0)$ равно $\left|x\right|$. Это знание помогает решать многие задачи на нахождение расстояния между точками. 

Возьмём произвольные точки $M\left(m\right)$ и $N\left(n\right)$. Возможны два варианта расположения точек $M\left(m\right)$ и $N\left(n\right)$ на координатной прямой: $M$ левее $N$ и $M$ правее $N$, т. е. $m<n$ и $m>n$.

Пусть точка $M\left(m\right)$ расположена левее точки $N\left(n\right)$. 

Рассмотрим три случая такого расположения (рис. 7):

1) если $m>0$ и $n>0$, то $MN=ON-OM=\left|n\right|-\left|m\right|=n-m$;

2) если $m<0$ и $n>0$, то $MN=OM+ON=$$\left|m\right|+\left|n\right|=-m+n=$

$=n-m$;

3) если $m<0$ и $n<0$, то $MN=OM-ON=\left|m\right|-\left|n\right|=-m-\left(-n\right)=$

$=-m+n=n-m$.

Рис. 7. Случаи расположения точек $M\left(m\right)$ и $N\left(n\right)$

Итак, если  $m<n$, то $MN=n-m$.

Точно так же можно показать, что если  $m>n$, то $MN=m-n$.

Так как $n-m$ и $m-n$ – числа противоположные, то, объединяя эти два случая, приходим к выводу, что $MN=\left|n-m\right|$.

Найдите расстояние между точками: $S \left(7,45\right)$ и $D \left(1,15\right)$.

Решение

1. $s$ – координата точки $S$, значит $s=7,45$

2. $d$ – координата точки $D$, значит $d=1,15$

3. $SD=\left|d-s\right|=\left|1,15-7,45\right|=\left|-6,3\right|=6,3$

Ответ: $6,3$.

1. Задайте неравенством числовой промежуток, изображённый на рисунке:

2. Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, заданный неравенством: $x\le 6$.

3. Найдите расстояние между точками $K \left(9,43\right)$ и  $L \left(-9,43\right)$.

Что такое функция

Как часто в своей жизни вы встречали слово «функция»? Скорее всего, хотя бы раз вы его слышали. В математике тоже есть своя функция, которая отражает зависимость, связь нескольких величин. Например, расстояние зависит от скорости движения и времени, площадь круга зависит от его радиуса, масса воды в бассейне зависит от его объема. 

В данной статье будет рассматриваться зависимость между двумя величинами. 

К примеру, давайте вспомним, как находится объем куба $V$. Он зависит от длины его ребра $a$. 

Для каждого значения переменной $a$ можно найти соответствующее ему значение $V$. Давайте попробуем:

если $a=2$, то $V=a^3=2^3=8$;

если $a=3$, то $V=a^3=3^3=27$;

если $a=0,1$, то $V=a^3=0,1^3=0,001$.

Зависимость переменной $V$ от значения переменной $a$ можно записать формулой: 

$V=a^3$

Переменную $a$, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную $V$, значения которой определяются в зависимости от выбранного значения переменной $a$, называют зависимой переменной.

Одна сторона прямоугольника равна $5$ см, другая $x$ см. Выразите зависимость площади прямоугольника от его стороны. Найдите значение площади прямоугольника при $x=3$; $2,4$; $5$ см.

Решение

Площадь прямоугольника находится как произведение его длины $a$ на ширину $b$. Запишем это формулой: 

$S=ab$.

Одна из сторон равна $5$ см, другая $x$ см. Подставим их в формулу:

$S=5x$. 

Найдем значение площади прямоугольника при различных значениях переменной $x.$

При $x=3$ см,  $S=5·x=5·3=15$ см²

При $x=2,4$ см, $S=5·x=5·2,4=12$ см²

При $x=5$ см, $S=5·x=5·5=25$ см²

Ответ: $S=5x;$ $15$ см², $12$ см², $25$ см².

На рисунке 1 представлен график зависимости температуры $y$ (в градусах Цельсия) от времени $x$ (в часах). Определите, чему равна температура при 

$x=2,5$ ч, $x=12,5$ ч.

Решение

Рис. 1. График зависимости температуры y от времени x

С помощью графика для каждого момента времени $x$ (в часах) можно найти соответствующую температуру $y$ (в градусах Цельсия). 

 

При $x=2,5$ ч,  температура $y=-4℃.$

При $x=12,5$ ч, температура $y=2℃$.

В данном примере $x$ – независимая переменная, а $y$ – зависимая переменная.

 

Ответ: $-4℃; 2℃$.

При этом, независимую переменную называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Значения зависимой переменной называют значениями функции, а все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. 

1. Маша спешила к Кате на день рождения со скоростью $7$ км/ч. Выразите формулой зависимость расстояния $S$, пройденного Катей, от времени $t$ в пути. 

2. Велосипедист ехал к месту отдыха со скоростью $12$ км/ч. Задайте формулой зависимость расстояния $S$ от времени $t$. Вычислите, какое расстояние велосипедист проехал за $3,5$ ч, за $1,5$ ч, за $30$ минут. 

Вычисление значений функции по формуле

Наиболее распространенный способ задания функции – с помощью формулы, т. к. она позволяет для любого значения аргумента находить соответствующее значение функции путем вычислений.

Найдите все значения функции $f\left(x\right)=\frac{6x-4}{2}$ при целых значениях аргумента, если $-2\le x<4$.

Решение

1. Найдем все целые значения аргумента на указанном промежутке: $-2, -1, 0, 1, 2, 3$.

2. Найдем значения функции при указанных значениях аргумента: 

если $x=-2$, то $f\left(x\right)=\frac{6x-4}{2}=\frac{6·(-2)-4}{2}=\frac{-12-4}{2}=\frac{-16}{2}=-8$;

если $x=-1$, то $f\left(x\right)=\frac{6x-4}{2}=\frac{6·(-1)-4}{2}=\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}=-5$;

если $x=0$, то $f\left(x\right)=\frac{6x-4}{2}=\frac{6·0-4}{2}=\frac{-4}{2}=-2$;

если $x=1$, то $f\left(x\right)=\frac{6x-4}{2}=\frac{6·1-4}{2}=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1$;

если $x=2$, то $f\left(x\right)=\frac{6x-4}{2}=\frac{6·2-4}{2}=\frac{12-4}{2}=\frac{8}{2}=4$;

если $x=3$, то $f\left(x\right)=\frac{6x-4}{2}=\frac{6·3-4}{2}=\frac{18-4}{2}=\frac{14}{2}=7$.

Ответ: $-8, -5, -2, 1, 4, 7$.

Результаты вычислений в предыдущем примере удобно записать в виде таблицы значений функции (таблица 1). Поскольку мы вычисляли целочисленные значения функции, то выбирали значения с шагом 1. 

Таблица 1. Таблица значений функции $f\left(x\right)=\frac{6x-4}{2}$

В рассмотренном примере был указан промежуток, где функция определена (область определения функции), однако, если она не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимых переменных, при которых формула имеет смысл.

Например, область определения функции $y=x^2+4$ состоит из всех чисел. А вот область определения функции $y=\frac{5}{x-7}$ состоит из всех чисел, кроме числа 7, т. к. при подстановке числа 7 в формулу, задающую функцию, получим в знаменателе нуль, чего быть не должно, т. к. на нуль делить нельзя. 

Найдите значение аргумента, при котором значение функции $y=3,5x-12$ равно $16$.

Решение

1. Подставим значение функции в формулу. 

$y=3,5x-12$

$16=3,5x-12$

2. Найдем значение аргумента, решив получившееся уравнение.

$3,5x-12=16$

$3,5x=16+12$

$3,5x=28$

$x=28:3,5$

$x=8$

Ответ: $8$.

1. Функция задана формулой $y=\frac{16}{x}$. В таблице 2 указаны некоторые значения аргумента. Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции.

Таблица 2. Таблица значений функции $y=\frac{16}{x}$

2. Катер, двигаясь со скоростью $v$ км/ч в течение 8 часов, прошел путь $s$ км. Задайте формулой зависимость $s$ от $v$. Пользуясь полученной формулой, найдите: а) $s$, если $v=45$ км/ч; б) $v$, если $s=96$ км.

Ответы

Упражнение 1

1. $-5<x\le -2$

2. 

3. $18,86$.

 

 

Упражнение 2

 

1. $S=7t$. 

2. $S=12t;$ $42$ км, $18$ км, $6$ км.

 

Упражнение 3

 

1. 

$x$	-8	-4	-2	1	4	16
$y$	-2	-4	-8	16	4	1

 

2. $S=8v,$ $360$ км, $12$ км/ч.